2014版《创新方案》高中数学人教版A版选修4-5教学课件：第一讲-一-1-不等式的基本性质

返回返回返回1．不等式的基本性质返回返回1．实数大小的比较(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的．在数轴上，右边的数总比左边的数．(2)如果a－b＞0，则；如果a－b＝0，则；如果a－b＜0，则.(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的．大小大a＝ba＞ba＜b差a－b的符号差的符号返回2．不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即.(2)如果a＞b，b＞c，那么.即a＞b，b＞c⇒.(3)如果a＞b，那么a＋c.(4)如果a＞b，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acbc.a＞b⇔b＜aa＞ca＞cb＋c返回(5)如果ab0，那么anbn(n∈N，n≥2)．(6)如果ab0，那么nanb(n∈N，n≥2)．＞＞3．对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1)等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得不等式；②c＝0时得；③c0时得不等式．同向等式异向返回(2)a＞b，c＞d⇒a＋cb＋d，即两个同向不等式可以相加，但不可以；而ab0，cd0⇒acbd，即已知的两个不等式同向且两边为时，可以相乘，但不可以．(3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为，并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽条件，ab⇒anbn(n＝2k＋1，k∈N)，ab⇒nanb(n＝2k＋1，k∈N＋)．相减正值相除正值返回返回[例1]已知x，y均为正数，设m＝1x＋1y，n＝4x＋y，试比较m和n的大小．[思路点拨]两式作差――→变形转化为因式乘积形式―――→与0比较判断正负，得出大小返回[解]m－n＝1x＋1y－4x＋y＝x＋yxy－4x＋y＝x＋y2－4xyxyx＋y＝x－y2xyx＋y，∵x，y均为正数，∴x0，y0，xy0，x＋y0，(x－y)2≥0.∴m－n≥0，即m≥n.(当x＝y时，等号成立)．返回比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．返回1．已知a，b∈R，比较a4＋b4与a3b＋ab3的大小．解：因为(a4＋b4)－(a3b＋ab3)＝a3(a－b)＋b3(b－a)＝(a－b)(a3－b3)＝(a－b)2(a2＋ab＋b2)＝(a－b)2[(a＋b2)2＋34b2]≥0(当且仅当a＝b时，取“＝”号)所以a4＋b4≥a3b＋ab3.返回2．在数轴的正半轴上，A点对应的实数为6a29＋a4，B点对应的实数为1，试判别A点在B点的左边，还是在B点的右边？解：因为6a29＋a4－1＝－a2－329＋a4≤0，所以6a29＋a4≤1.当且仅当a＝±3时取“＝”，所以当a≠±3时，A点在B点左边，当a＝±3时，A点与B点重合．返回[例2]已知ab0，cd0，e0.求证：ea－ceb－d.[思路点拨]可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明．返回[证明]法一：ea－c－eb－d＝eb－d－a＋ca－cb－d＝eb－a＋c－da－cb－d，∵ab0，cd0，∴b－a0，c－d0.∴b－a＋c－d0.又∵a0，c0，∴a－c0.同理b－d0，返回∴(a－c)(b－d)0.∵e0，∴eb－a＋c－da－cb－d0.即ea－ceb－d.法二：cd0⇒－c－d0ab0⇒a－cb－d0⇒1a－c1b－de0⇒ea－c＞eb－d.返回进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．返回3．判断下列命题的真假，并简述理由．(1)若ab，cd，则acbd；(2)若ab0，cd0，则acbd；(3)若ab，cd，则a－cb－d；(4)若ab，则an＞bn，nanb(n∈N且n≥2)．返回解：(1)取a＝3，b＝2，c＝－2，d＝－3，即32，－2－3.此时ac＝bd＝－6.因此(1)为假命题．(2)因同向不等式不能相除，取a＝6，b＝4，c＝3，d＝2，此时ac＝bd＝2.因此(2)为假命题．(3)∵cd，∴－c－d，因此(3)为真命题．(4)当ab0时，才能成立，取a＝－2，b＝－3，当n为偶数时不成立，因此(4)为假命题．返回4．已知a，b，x，y都是正数，且1a1b，xy，求证：xx＋ayy＋b.证明：因为a，b，x，y都是正数，且1a1b.xy，所以xayb，所以axby.故ax＋1by＋1，即x＋axy＋by.所以xx＋ayy＋b.返回[例3](1)已知：－π2≤αβ≤π2，求α－β的范围．(2)已知：－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a＋3b的范围．[思路点拨]求代数式的范围应充分利用不等式的基本性质．返回[解](1)∵－π2≤αβ≤π2，∴－π2≤α≤π2，－π2≤－β≤π2.且α≤β.∴－π≤α－β≤π且α－β≤0.∴－π≤α－β0.即α－β的范围为[－π，0]．返回(2)设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b.解得λ1＝53，λ2＝－23.∴－53≤53(a＋b)≤53，－2≤－23(a－2b)≤－23.∴－113≤a＋3b≤1.即a＋3b的范围为[－113，1]．返回求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．返回5．“已知－π2≤α≤π2，－π2≤β≤π2”，求α＋β2，α－β2的取值范围．解：∵－π2≤α≤π2，－π2≤β≤π2，∴－π≤α＋β≤π.∴－π2≤α＋β2≤π2.又∵－π2≤α≤π2，－π2≤－β≤π2，∴－π≤α－β≤π.∴－π2≤α－β2≤π2.∴α＋β2、α－β2的取值范围均为[－π2，π2]．返回6．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值范围．解：设2α－β＝m(α＋β)＋n(α－β)，∴m＋n＝2，m－n＝－1.⇒m＝12，n＝32.又1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1∴12≤12α＋β≤2，－3≤32α－β≤－32，⇒－52≤2α－β≤12.∴2α－β的取值范围为[－52，12]