2014版《创新方案》高中数学人教版A版选修4-5教学课件：第一讲-一-3-三个正数的算术――几何平

返回返回返回3．三个正数的算术—几何平均不等式返回返回1．定理3如果a，b，c∈R＋，那么a＋b＋c3≥3abc，当且仅当时，等号成立，用文字语言可叙述为：三个正数的不小于它们的．(1)不等式a＋b＋c3≥3abc成立的条件是：，而等号成立的条件是：当且仅当.(2)定理3可变形为：①abc≤(a＋b＋c3)3；②a3＋b3＋c3≥3abc.a＝b＝c算术平均几何平均a，b，c均为正数a＝b＝c返回(3)三个及三个以上正数的算术－几何平均值不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即“一正，二定，三相等”．2．定理3的推广对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…ana1＝a2＝…＝an返回返回[例1]已知a，b，c∈R＋，求证：b＋c－aa＋c＋a－bb＋a＋b－cc≥3.[思路点拨]欲证不等式的右边为常数3，联想到不等式a＋b＋c≥33abc(a，b，c∈R＋)，故将所证不等式的左边进行恰当的变形．返回[证明]b＋c－aa＋c＋a－bb＋a＋b－cc＝(ba＋cb＋ac)＋(ca＋ab＋bc)－3≥33ba·cb·ac＋33ca·ab·bc－3＝6－3＝3.当且仅当a＝b＝c时取等号．返回(1)不等式的证明方法较多，关键是从式子的结构入手进行分析．(2)运用三个正数的平均值不等式证明不等式时，仍要注意“一正、二定、三相等”，在解题中，若两次用平均值不等式，则只有在“相等”条件相同时，才能取到等号．返回1.设a、b、c∈R＋，求证：(a＋b＋c)1a＋1b＋1c≥9.证明：∵a，b，c∈R＋时，a＋b＋c≥33abc，1a＋1b＋1c≥331abc.∴(a＋b＋c)1a＋1b＋1c≥9.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．返回证明：因为a1是正数，根据三个正数的平均不等式，有2＋a1＝1＋1＋a1≥33a1.同理2＋aj≥33aj(j＝2,3，…n)．将上述各不等式的两边分别相乘即得2．已知a1，a2，…，an都是正数，且a1a2…an＝1，求证：(2＋a1)(2＋a2)…(2＋an)≥3n.返回(2＋a1)(2＋a2)…(2＋an)≥(33a1)(33a2)…(33an)＝3n·3a1a2…an.∵a1a2…an＝1，∴(2＋a1)(2＋a2)…(2＋an)≥3n.当且仅当a1＝a2＝…＝an＝1时，等号成立.返回[例2](1)求函数y＝(x－1)2(3－2x)(1x32)的最大值．(2)求函数y＝x＋4x－12(x1)的最小值．[思路点拨]对于积的形式求最大值，应构造和为定值．(2)对于和的形式求最小值，应构造积为定值．返回解：(1)∵1x32，∴3－2x0，x－10.y＝(x－1)2(3－2x)＝(x－1)(x－1)(3－2x)≤(x－1＋x－1＋3－2x3)3＝(13)3＝127，当且仅当x－1＝x－1＝3－2x即x＝43∈(1，32)时，ymax＝127.返回(2)∵x＞1，∴x－10，y＝x＋4x－12＝12(x－1)＋12(x－1)＋4x－12＋1≥3312x－1·12x－1·4x－12＋1＝4，当且仅当12(x－1)＝12(x－1)＝4x－12，即x＝3时等号成立．即ymin＝4.返回(1)利用三个正数的算术－几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．(2)应用平均不等式定理，要注意三个条件“即一正二定三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．返回3．设x0，则f(x)＝4－x－12x2的最大值为()A．4－22B．4－2C．不存在D.52解析：∵x0，∴f(x)＝4－x－12x2＝4－(x2＋x2＋12x2)≤4－33x2·x2·12x2＝4－32＝52.答案：D返回4．已知x，y∈R＋且x2y＝4，试求x＋y的最小值及达到最小值时x、y的值．解：∵x，y∈R＋且x2y＝4，∴x＋y＝12x＋12x＋y≥3314x2y＝3314×4＝3.当且仅当x2＝x2＝y时等号成立．又∵x2y＝4，∴当x＝2，y＝1时，x＋y取最小值3.返回[例3]如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即E＝ksinθr2.这里k是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？返回[思路点拨]根据题设条件建立r与θ的关系式→将它代入E＝ksinθr2→得到以θ为自变量，E为因变量的函数关系式→用平均不等式求函数的最值→获得问题的解返回[解]∵r＝2cosθ，∴E＝k·sinθcos2θ4(0θπ2)．∴E2＝k216·sin2θ·cos4θ＝k232·(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ≤k232·(2sin2θ＋cos2θ＋cos2θ3)3＝k2108.当且仅当2sin2θ＝cos2θ时取等号，即tan2θ＝12，tanθ＝22.∴h＝2tanθ＝2.即h＝2时，E最大．返回本题获解的关键是在获得了E＝k·sinθcos2θ4后，对E的表达式进行变形求得E的最大值．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可求解．返回5．已知长方体的表面积为定值S，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．解：设长方体的体积为V，长、宽、高分别是a，b，c，则V＝abc，S＝2ab＋2bc＋2ac.V2＝(abc)2＝(ab)(bc)(ac)≤(ab＋bc＋ac3)3＝(S6)3＝S3216.返回当且仅当ab＝bc＝ac，即a＝b＝c时，上式取“＝”号，V2取最小值S3216.由a＝b＝c，2ab＋2bc＋2ac＝S，解得a＝b＝c＝6S6.即当长方体的长宽高都等于6S6时，体积最大，最大值为S6S36.