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返回返回返回返回1．三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥，当且仅当或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时等号成立．(a1b1＋a2b2＋a3b3)2bi＝0(i＝1,2,3)2．一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥，当且仅当bi＝0(i＝1,2…n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2返回返回[例1]设x1，x2，…，xn都是正数，求证：1x1＋1x2＋…＋1xn≥n2x1＋x2＋…＋xn.[思路点拨]根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明．返回[证明]∵(x1＋x2＋…＋xn)(1x1＋1x2＋…＋1xn)＝[(x1)2＋(x2)2＋…＋(xn)2][(1x1)2＋(1x2)2＋…＋(1xn)2]≥(x1·1x1＋x2·1x2＋…＋xn·1xn)2＝n2∴1x1＋1x2＋…＋1xn≥n2x1＋x2＋…＋xn.返回柯西不等式的结构特征可以记为：(a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.其中ai，bi∈R＋(i＝1,2，…，n)，在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键．返回1．已知a、b、c、d∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：3a＋1＋3b＋1＋3c＋1≤32.证明：根据柯西不等式，有(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)2≤(1＋1＋1)(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)＝18∴3a＋1＋3b＋1＋3c＋1≤32返回2．设a，b，c为正数，求证：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.证明：由柯西不等式知，(a2b＋b2c＋c2a)(a＋b＋c)＝[(ab)2＋(bc)2＋(ca)2]·[(a)2＋(b)2＋(c)2]≥(ab×b＋bc×c＋ca×a)2＝(a＋b＋c)2，又∵a，b，c为正数，∴a＋b＋c0.∴a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.返回[例2](1)已知x、y、z∈R＋，且x＋y＋z＝1.求1x＋4y＋9z的最小值．(2)设2x＋3y＋5z＝29.求函数μ＝2x＋1＋3y＋4＋5z＋6的最大值．[思路点拨](1)利用1x＋4y＋9z＝(1x＋4y＋98)(x＋y＋z)．(2)利用(2x＋1＋3y＋4＋5z＋6)2＝1×2x＋1＋1×3y＋4＋1×5z＋6)2.返回[解](1)∵x＋y＋z＝1，∴1x＋4y＋9z＝(1x＋4y＋9z)(x＋y＋z)≥(1x·x＋2y·y＋3z·z)2＝(1＋2＋3)2＝36.当且仅当x＝y2＝z3，即x＝16，y＝13，z＝12时取等号．所以1x＋4y＋9z的最小值为36.返回(2)根据柯西不等式，有(2x＋1·1＋3y＋4·1＋5z＋6·1)2≤[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]·(1＋1＋1)＝3×(2x＋3y＋5z＋11)＝3×40＝120.故2x＋1＋3y＋4＋5z＋6≤230，当且仅当2x＋1＝3y＋4＝5z＋6，即x＝376，y＝289，z＝2215时等号成立．此时μmax＝230.返回利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．返回解析：(a＋b＋c＋d)·(1a＋1b＋1c＋1d)＝[(a)2＋(b)2＋(c)2＋(d)2]·[(1a)2＋(1b)2＋(1c)2＋(1d)2]≥(a·1a＋b·1b＋c·1c＋d·1d)2＝(1＋1＋1＋1)2＝42＝16，当且仅当a＝b＝c＝d时取等号．3．设a，b，c，d均为正实数，则(a＋b＋c＋d)·(1a＋1b＋1c＋1d)的最小值为________．答案：16返回4．已知：x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝2，则x＋2y＋3z的最大值为()A．27B．23C．4D．5解析：∵(x＋2y＋3z)2＝(1×x＋2y＋3·z)2≤(12＋22＋(3)2)[(x)2＋(y)2＋(z)2]＝8(x＋y＋z)＝16.(当且仅当x＝14y＝13z＝14时取等号)．∴x＋2y＋3z≤4.答案：C返回5．把一根长为12m的细绳截成三段，各围成三个正方形．问：怎样截法，才能使围成的三个正方形面积之和S最小，并求此最小值．解：设三段绳子的长分别为x，y，z，则x＋y＋z＝12，三个正方形的边长分别为x4，y4，z4均为正数，三个正方形面积之和：S＝(x4)2＋(y4)2＋(z4)2＝116(x2＋y2＋z2)．∵(12＋12＋12)(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝122，返回即x2＋y2＋z2≥48.从而S≥116×48＝3.当且仅当x1＝y1＝z1时取等号，又x＋y＋z＝12∴x＝y＝z＝4时，Smin＝3.故把绳子三等分时，围成的三个正方形面积之和最小，最小面积为3m2.