线性代数章节作业

第一章3.222111abcabc；解：||=|()()|=()()()4.222222abcaabbcabcccab；解：||=（）||=（）||=（a+b+c）*1*（-a-b-c）*（-a-b-c）=（）5.1111111111111111；解：||=||=1*2*2*2=86.1234234134124123解：||=10||=10||=10*1*1*（-4）*（-4）=1608.1111123413610141020解：=||=||=1*1*1*1=1第二章1.已知A为四阶方阵，且|A|=2，求：(1)|-A|；(2)|2A|；(3)|AAT|；(4)|A2|.解:（1）|-A|=()||=2(2)|2A|=||=32(3)|AAT|=||||=||||=2×2=4(4)|A2|=||||=2×2=42.设矩阵2112A,E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+E，求|B|解：∵BA=B+E∴B(A-1)=E(())→()→()→()∵=()所以可得：B=()||=||=ⅹ-(-)ⅹ=3.设A，B均为三阶方阵，且已知|A|=4，|B|=5，求|2AB|.解：||=||||=||||=8ⅹ4ⅹ5=1606.已知矩阵142031,121101,ABC，矩阵X满足AXB=C，求解X.解：AXB=CAX=C(B，)(，)有：()()即=()(A，C)→()→()→（，）可得：X=()7.设01011111,2010153AB，且X满足X=AX+B，求X.解：X=AX+BX(E-A)=B(())→()→()得：=()∴X=()第三章1.已知1234(1,2,3),(3,2,1),(2,0,2),(1,2,4)，求：(1)12343254；(2)123452.解：(1)12343254=（3，6，9）+（6，4，2）-（-10，0，10）+（4，8，16）=（23，18，17）(2)123452=（5，10，15）+（6，4，2）-（-2，0，2）-（1，2，4）=(12，12，11)2.已知123(1,1,0,1),(2,1,0,0),(1,2,0,1)，又满足1323()2()5()，求.解：设=（，，，）有1323()2()5()3（1-，1-，-，-1-）+2（-1+，2+，，1+）=5（-2+，1+，，）整理可得：{得{即：=(，，，)3.设向量,,满足5()3()o，其中(2,1,3,0),(2,1,0,3)求.解：设=(，，，)由5()3()o可得5（-2-，，，)+3（-2+，，，）=o（-10-5，，，)+（-6+3，，，）=o{得{所以=(-8，-4，，)4.将向量(5,0,7)T表示成向量组12(1,1,0),(2,1,3),TT3(3,1,2)T的线性组合.解：设=有()=()()(){得：{即=5.将下列各题中向量表示为其他向量的线性组合.(1)123(3,5,6),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)；解：设=有（3,5,-6）=()()(){得{即(2)123(2,1,5,1),(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),4(0,0,0,1).解：设（2,-1,5,1）=()()()()有{即第四章2.求出下面非齐次线性方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示).(1)123231232432232263xxxxxxxx；解：（A，b）=()()原方程组同解方程组{{令得一特解=()原方程的导出组同解方程组{令有()原方程的通解为𝛈=其中属于任意实数(2)123412341234221245224xxxxxxxxxxxx；解：（A，b）=()()原方程组同解方程组{{令得一特解()原方程组导出组同解方程组{令，有=()令，有=()原方程的通解为𝛈=其中，属于实数。(3)12341234123431323442980xxxxxxxxxxxx；解:（A，b）=()()原方程组同解方程组{{令得一特解()原方程组导出组同解方程组{令，=()令，=()原方程的通解为𝛈=其中，属于实数。(4)12341234124523113134323331xxxxxxxxxxx.解：（A，b）=()()原方程组同解方程组{{令得一特解()原方程导出组同解方程组{令，=()令，=()原方程的通解为𝛈=其中，属于实数。3.已知齐次线性方程组1231231230200xxxxxxaxxx，当a为何值时，方程组只有零解？又在何时有非零解？在有非零解时，求出其通解(要求用基础解系表示)．解：()()当r(A)=n时，只有零解a-1≠0a≠1即：当a≠1时，只有零解同理当a=1时，有非零解(){{令得()即其通解为𝛈=其中属于实数4.设3元齐次线性方程组123123123000axxxxaxxxxax，(1)当a为何值时，方程组有非零解；(2)当方程组有非零解时，求出它的基础解系并表示出通解．(1)解：||||()()当||时有非零解即a=-2或a=1时有非零解(2)当a=1时A=()()得{令，=()令，=()方程的通解为𝛈=其中，属于实数。当a=-2时A=()()同解方程组{{令得()原方程的通解为𝛈=其中属于实数5.已知线性方程组13123123213225xxxxxxxxa　　，(1)求当a为何值时，方程组无解、有解；(2)当方程组有解时，求出其通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)．(1)解：()()当a=-3时，r(A)n有解当a≠-3时，r(A)=n无解（2）由（1）可知方程组有解时有()原方程同解方程组{{令得一特解()原方程导出组同解方程组{令得()原方程的通解为𝛈=其中属于实数6.已知线性方程组123123123223xxxxxxxxx　，(1)求当为何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解；(2)当方程组有无穷多解时，求出方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)．解：||=||=-()()（1）当||时，λ≠-2且λ≠1方程组有唯一解当λ=-2时()()由于r()=3≠r(A)=2所以方程组无解当λ=1时()()由于r()=r(A)=1n=3所以方程组有无穷多解（2）当λ=1有无穷多解，同解方程组令=0得一特解()导出组同解方程组令()分别取()，()得()，()故原方程的通解为𝛈=其中，属于实数。第五章1.设1205A，求B=A2-A+2E所有的特征值.解：||=||=()()=0所以A的特征值为1，5由于B=A2-A+2E所以B得特征值为2，222.设1224A，求出A的所有特征值和特征向量.解：||=||=λ（λ-5）=0A的特征值为0，5当=0时()()有{令得()当=5时()()有{令得()故：A的特征值为0，5特征向量()，()为任意的非零常数3.求矩阵200111113A的特征值和特征向量.解：||||=()=0所以A得特征值为=2当=2时()()可得{令有()令有()故：A的特征值为=2特征向量为()()为任意的非零常数4.求矩阵110112002A的特征值和特征向量.解：||||=()=0即A的特征值为，当时，()()可得{令有()当时，()()可得{令有()故：A的特征值为，特征向量为()()为任意的非零常数5.设矩阵122012021A，(1)求A的特征值和特征向量；(2)判断矩阵A是否与对角矩阵相似，若相似写出可逆矩阵P及对角矩阵Λ.（1）解：||||（）()所以A的特征值为，当时，()()有{令得()当时，()()有{令，得()令，得()故：A的特征值为，特征向量为()，()，()，为任意的非零常数（2）因为三阶矩阵A有三个线性无关特征向量，，所以A能相似于对角矩阵，且P=()=()Λ=()第六章1.写出下列二次型所对应的矩阵：(1)222112132233()26283fxxxxxxxxxx；解：由题易得A=()(2)21213234()2fxxxxxxxx.解：由题易得A=()3.判断二次型222123123121323(,,)255448fxxxxxxxxxxxx是否为正定二次型.解：由题可知A=()∵||=20||||=100可判断f(，，)为正定二次型4.设222212341234121323(,,,)222fxxxxxxxxxxxxxx，当2时，判断f是否是正定二次型.解：由题易得A=()当2时，A的各阶顺序主子式都大于零，所以f是正定二次型。5.求a的值，使下列二次型为正定二次型.(1)2221231213235224xxxaxxxxxx解：A=()要使二次型为正定二次型，则||=10||||=0即{整理得当可使A为正定二次型。(2)2221231213235422xxaxxxxxxx解：A=()||=50||||=-20若A为正定二次型，必有-20，即26.设2221231231223(,,)2344fxxxxxxxxxx，用正交变换法化二次型为标准形，并写出所作的正交替换.解：由题可知A=()||()=（）（）（）=0即A的特征值为，，当时，有()()有{令得特征向量()同理：当时，得特征向量()当时，得特征向量()̃=||||()，̃=||||()，̃=||||()P=(̃，̃，̃)()做正交变换x=Py得二次标准型为: