线性代数重要定理

线性代数重点知识第一章行列式一、把行列式某个数所在的行和列划去后剩下的数组成的行列式叫做这个数的余子式。二、行列式的值等于它某一行（列）上所有的数分别乘以他们的余子式和（-1）^（行标+列标）的和。三、行列式与它的转置行列式相等。（转置行列式：把一个行列式的行作列列作行所得到的行列式）四、互换行列式的两行（列），行列式改变符号。五、若行列式D中某一行（列）的所有元素均为零，则D=0。六、若行列式D中有两行（列）相同，则D=0。七、如果行列式D中某行（列）的所有元素是两个数的和，那么D可表示成两个新行列式之和。八、行列始中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。九、如果行列式D的某两行（列）对应元素成比例，则D=0。十、把行列式中某一行（列）的各元素乘以常数k后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式保持不变。十一、代数余子式：在一个n阶行列式D中,把元素aij(i,j=1,2,.....n)所在的行与列划去后，剩下的(n-1)^2个元素按照原来的次序组成的一个n-1阶行列式Mij,称为元素aij的余子式，Mij带上符号(-1)^(i+j)称为aij的代数余子式,记作Aij=(-1)^(i+j)Mij。十二、一个n阶行列式D，如果其中第i行（或第i列）所有元素除了aij外都为零，则这个行列式等于aij与它的代数余子式的乘积。十三、行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。十四、克莱姆法则：1：克莱姆法则的重要理论价值：研究了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系;2：应用克莱姆法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解:（1）：当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解；（2）：如果方程组无解或者有两个不同的解，那么方程组的系数行列式必定等于零；3：克莱姆法则的局限性：（1）：当方程组的方程个数与未知数的个数不一致时，或者当方程组系数的行列式等于零时，克莱姆法则失效。（2）：运算量较大，求解一个N阶线性方程组要计算N+1个N阶行列式。十五、如果齐次方程组有非零解，则齐次线性方程组的系数行列式D=0.第二章n维向量一、由n个数naaa,...,,21组成的n元有序数组（naaa,...,,21）称为n维向量，其中ia（1，2，...，n）称为n维向量（naaa,...,,21）的第i个分量（或坐标），分量是实数的向量，称为实向量，分量是复数的向量，称为复向量。通常，定义中n维向量（naaa,...,,21）用表示时，记作=（naaa,...,,21）有时，向量也可以写成一列：=naaa21称为列向量。二、把分量全是零的向量，称为零向量，记作0，即0=（0，0，...，0）把向量（naaa-,...,-,-21）称为向量=（naaa,...,,21）的负向量，记作-，即-=（naaa-,...,-,-21）三、设向量=（naaa,...,,21）和向量),...,,(21nbbb，如果它们对应的分量均相等，即iiba（i=1，2，...，n），则称这两个向量相等，记作=β。n维向量之间的基本关系是以向量的加法和数量乘法来表示的。四、设向量=（naaa,...,,21）和向量),...,,(21nbbb，则向量),...,,(2211nnbababa称为向量和β的和，记作+β，即+β=),...,,(2211nnbababa由此可以推出如下运算定律：（1）交换律+β=β+（2）结合律)()(（3）0（4）0-）（利用负向量定义，我们可以定义向量的减法：),...,,--2211nnbababa（）（五、设向量=（naaa,...,,21），R，则向量（naaa,...,,21）称为数与向量的数量乘积，简称数乘，记作，即=（naaa,...,,21）由定义立即推出如下运算规律：（1）1（2）)()(（3）)(（4）)(由数乘定义及运算规律，得若000或，则六、设m,...,,,21都是n维向量，如果存在一组数m,...,,21，使得mm...2211，那么向量称为m,...,,21的线性组合。或者说，可由m,...,,21线性表示。七、设有n维向量组m,...,,21如果存在不全为零的数mkkk,...,,21，使得0...2211mmkkk成立，则称向量组m,...,,21线性相关；如果上式仅当0...21mkkk时才成立，则称向量组m,...,,21线性无关。注意：（1）在向量组的线性相关定义中，只要求存在不全为零的数mkkk,...,,21，使得0...2211mmkkk成立，并不要求mkkk,...,,21都不等于零。（2）在向量组的线性无关定义中，要特别注意“仅当”这个词。例如，向量)0,2(1，)0,4(2，当021kk时，有02211kk，但是由此不能判断出向量组21,线性无关。这是因为并没有证明仅当021kk时，等式02211kk才成立。（3）一个向量组不是线性无关就必然是线性相关。（4）设向量组m,...,,21线性无关，且0...2211mmkkk，则0...21mkkk根据定义七，可以直接的出发以下结论：（1）只包含一个向量的向量组线性相关，当且仅当0。事实上，因线性相关，由定义七知，存在0k，使0k由数乘的性质，有0)(1kk，从而0。反之，如果0，取k=1，则01，故向量组线性相关。（2）由一个非零向量构成的向量组必线性无关。事实上，对任意不为零的数k，由数乘的性质，有0k所以只有当k=0时，才有0k，故一个非零向量构成的向量组是线性无关的。（3）在二维与三维的情况下：两个向量21,线性相关，就表示向量21与共线；两个向量21,线性无关，就表示向量21与不共线。三个三维向量321,,线性相关，就表示向量321,,共面；三个三维向量321,,线性无关，就表示321,,不共面。八、一般的，设n个n维向量所组成的向量组为,.....................).,...,,(................................),,...,,(),,...,,(21222211121121222212112111nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaDaaaaaaaaa且则（1）向量组n,...,,21线性相关的充分必要条件是D=0；（2）向量组n,...,,21线性无关的充分必要条件是0D。九、n维向量组)2(,...,,21mm线性相关的充分必要条件是m,...,,21中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示。十、任意一个包含零向量的向量组必线性相关。证明：设所给向量组为m,...,,21，其中有一个零向量，不妨设01。现在取0...,1321mkkkk，于是mkk,...,,12是一组不全为0的数，从而有00...01...212211mmmkkk，因此向量组m,...,,21线性相关。十一、两个向量线性相关的充分必要条件是它们的各对应分量成比例。十二、如果一个向量组的一部分向量线性相关，则整个向量组就线性相关。十三、如果一个向量组线性无关，那么它的任意一个部分分向量也线性无关。十四、设向量m,...,,21线性无关，若添加向量β后所得向量组,,...,,21m线性相关，则β可由m,...,,21线性表示。十五、设).,...,2,1(),,...,,(),,...,2,1(),...,,(12121miamiiririiiiriii如果r维向量组m,...,,21线性无关，那么r+1维向量组m,...,,21也线性无关。该定理说明，线性无关的向量组，在每一个向量上添一个分量所得到的新向量组仍线性无关。这个定理可以推广到添加若干个分量的情形。推论：在r维向量组的每个向量上添加n-r个分量，使之成为n维向量。如果r维向量线性无关，则n维向量也线性无关。注：（1）一个向量组线性无关，则每个向量添加相同个数的分量后得到的向量组仍线性无关；一个向量组线性相关，则每个向量减少相同个数的分量后得到的新向量也线性相关。（2）一个向量组线性相关，则每个向量减少相同个数的分量后得到的向量组不一定线性无关。（3）一个向量组线性相关，则每个向量增加相同个数的分量后得到的新向量组不一定仍线性相关。十六、任意n+1个n维向量都是线性相关的。推论：m,...,,21都是n维向量，如果mn，那么m,...,,21必线性相关。十七、设有两个n维向量组.,...,,:;,...,,:2121srBA如果向量组A中的每个向量都可由向量组B中的向量线性表示，则称向量组A可由向量组B线性表示。如果向量组A可由向量组B线性表示，并且向量组B也可由向量组A线性表示，则称向量组A与向量组B等价。（1）反身性：每一个向量组都与它自身等价；（2）对称性：如果向量组A与向量组B等价，则向量组B也与向量组A等价；（3）传递性：如果向量组A与向量组B等价，向量组B与向量组C等价，则向量组A与向量组C等价。十八、若一个向量组中的部分向量组m,...,,21满足：（1）m,...,,21线性无关；（2）向量组中任一向量都是m,...,,21的线性组合。则称m,...,,21是该向量组的一个最大线性无关向量组或极大线性无关向量组，简称最大无关组或极大无关组。注意：（1）一般来说，一个向量组的最大线性无关组不是唯一的。（2）一个向量组与它的最大线性无关组是等价的。（3）由（2）及等价的传递性可知，一个向量组的任意两个最大线性无关组都是等价的。（4）一个线性无关向量组的最大线性无关组就是这个向量组本身。（5）当一个向量组的向量都是零向量时，那么这个向量组的最大无关组是空集。十九、设有两个n维向量组：.,...,,:;,...,,:2121srBA如果向量组A可以由向量组B线性表示，而且向量组A线性无关，则sr。证明：用反证法，假设rs，由于向量组A可由向量组B线性表示，故有：...................................................,...,...22112222121212121111srsrrrssssaaaaaaaaa（1）上式的系数构成r个s维向量),,...,,(................................),,...,,(),,...,,(21r222212112111rsrrssaaaaaaaaa因为rs，即向量的个数r大于向量的维数s，所以它们是线性相关的，于是存在一组不全为0的数rkkk,...,,21，使0...2211rrkkk。（2）以这r个数rkkk,...,,21做线性组合rrkkk...2211，（3）将（1）式代入（3）式，整理得srsrssrrsrsrrrssssrrakakakakakakaaakaaakaaakkkk)...(...)...()...(...)...()...(...221111212111221122221212121211112211，