线性微分方程组

学校代码：11059学号：0907011019HefeiUniversity毕业论文（设计）BACHELORDISSERTATION论文题目：矩阵在解线性微分方程组中的应用研究学位类别：理学学士学科专业：信息与计算科学作者姓名：导师姓名：完成时间：2013.5.9矩阵在解线性微分方程组中的应用研究中文摘要常微分方程是现代数学的一个重要分支，在微分方程的理论中，线性微分方程组是重要的内容之一。线性微分方程组在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛的应用。本课题主要研究矩阵在解线性微分方程组中的应用，介绍了关于线性微分方程组的一些基本理论及其解的性质和定理.在此基础上研究了利用矩阵的相似三角形和矩阵的若当标准型求解齐次线性微分方程组的方法，以及解非齐次线性微分方程组的线性变换解法、常数变易法和拉普拉斯变换法。关键词：常微分方程；矩阵；线性微分方程组；若当标准型；拉普拉斯变换ResearchonsolvingsystemoflineardifferentialequationsinapplicationoftheMatrixABSTRACTOrdinarydifferentialequationsisanimportantbranchofmodernmathematics.Inthetheoryofdifferentialequations,lineardifferentialequationsisoneoftheimportantcontents.Lineardifferentialequationsalsohasawiderangeofapplicationsinphysics,mechanicsandengineering,naturalsciences.Theissuemainresearchtheapplicationofthematrixinthesolutionoflineardifferentialequations.Anditintroducesaboutsomeofthebasictheoryoflineardifferentialequationsandthenatureandtheoremofitssolution.Thenitresearchthemethodofhowtousethematrixsimilartrianglesandmatrixcanonicalformtosolvehomogeneouslineardifferentialequations,aswellasLineartransformationmethod,constantchangeActandtheLaplacetransformmethodinsolvingnon-homogeneouslineardifferentialequationsonthisbasis.KEYWORD:OrdinaryDifferentialEquations;Matrix;Lineardifferentialequations;Canonicalform;Laplacetransform目录第一章前言.....................................................................................................................................1第二章常微分方程的相关定义及定理...................................................................................22.1常微分方程基本概念.............................................................................................................22.1.1常微分方程............................................................................................................................22.1.2线性和非线性........................................................................................................................22.1.3齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程........................................................................22.1.4线性微分方程组....................................................................................................................32.2常微分方程解的基本性质...................................................................................................42.2.1齐次线性微分方程解的基本性质...................................................................................42.2.2非齐次线性微分方程的解的基本性质...........................................................................62.2.3齐次线性微分方程组的解的基本性质...........................................................................72.2.4非齐次线性微分方程组的性质定理...............................................................................8第三章矩阵在解微分方程组中的应用.....................................................................................103.1矩阵在解齐次线性微分方程组中的应用..............................................................................103.1.1理论基础..............................................................................................................................103.1.2利用矩阵的相似三角形求解线性微分方程组..................................................................103.1.3利用矩阵的若当标准形求解线性微分方程组..................................................................153.2矩阵在解非齐次线性微分方程组中的应用..........................................................................193.2.1线性变换法.........................................................................................................................193.2.2常数变易法解非齐线性微分方程组..................................................................................233.3.3拉普拉斯变换法..................................................................................................................25第四章总结...................................................................................................................................291第一章前言常微分方程在自动控制、电子学、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性等学很多科领域内有着重要的应用。这些问题都可以转化为常微分方程的数学模型.目前,常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的．数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。在微分方程的理论中，线性微分方程组是非常值得重视的内容。这是因为线性微分方程是研究非线性微分方程组的基础，很多工程技术问题的数学模型都是以微分方程组的形式出现，所以对微分方程组的求解问题研究具有现实意义。它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛的应用。利用矩阵表示线性微分方程(组)的解问题，形式比较简单，而矩阵函数又使线性微分方程(组)的求解问题得到简化。不仅如此，矩阵微分方程(组)还是系统工程和控制理论的重要数学基础。在弹性力学、流体力学、电动力学和自动控制理论中的一些大量的实际工程技术问题的研究中，往往会直接导出各种各样的变系数线性微分方程组。2第二章常微分方程的相关定义及定理2.1常微分方程基本概念2.1.1常微分方程定义2.1[1]微分方程是联系着自变量、未知函数及其导数的关系式.如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们称这种微分方程为常微分方程．其方程形式如：22dxdxbcxftdtdt2.120dxdxtxdtdt2.2这里x是未知函数，t是自变量．微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数．一般的n阶常微分方程具有形式,,,,0nndxdxFtxdtdt2.3这里,,,,nndxdxFtxdtdt是,,,,nndxdxtxdtdt的已知函数，而且一定含有nndxdt；x是行距间的未知函数，t是自变量．2.1.2线性和非线性定义2.2[1]如果方程2.3的左端为x及,,nndxdxdtdt的一次有理整式，则称2.3为n阶线性微分方程.例如，方程2.1是二阶线性微分方程.一般n阶线性微分方程具有以下形式1111nnnnnndxdxdxatataxftdtdtdt2.4这里1,,,natatft是t的已知函数．不是线性微分方程的方程称为非线性微分方程．2.1.3齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程如果方程2.4中0ft，则方程2.4变为31111...0nnnnnndxdxdxatatatxdtdtdt2.5称方程2.