与轴对称相关的线段之和最短问题

与轴对称相关的线段之和最短问题一．问题的引入：在学习了作轴对称图形之后，人教版八年级上册P42，有这样一个问题在这个问题中，利用轴对称，将折线转化为直线，再根据“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，等相关的知识，得到最短线段，这一类问题也是当今中考的热点题型。通常会以：直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为载体。本文试图对这一类问题进行分类，在每一类中有若干题型，且给出了基本的解答。若掌握了下面列举的题型，让学生能够明白与轴对称相关的线段之和最短问题在这些载体中的表现形式，则能收到举一反三，事倍功半的效果。二．数学模型：1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小为方便归类，将以上三种情况统称为“两边之和大于第三边型”4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的周长最小。为方便归类，将这种情况称为“两点之间线段最短型”5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小6..如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小为方便归类，将以上两种情况，称为“垂线段最短型”三.两边之和大于第三边型(一)直线类1．如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？作点B关于直线CD的对称点B'，连接AB'，交CD于点M则AM+BM=AM+B'M=AB'，水厂建在M点时，费用最小如右图，在直角△AB'E中，AE=AC+CE=10+30=40EB'=30所以：AB'=50总费用为：50×3=150万2．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；(2)请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式x2+4+(12-x)2+9的最小值(1)AC=(8-x)2+25，CE=x2+1则AC+CE=(8-x)2+25+x2+1(2)A、C、E三点共线时AC+CE最小连接AE，交BD于点C，则AE就是AC+CE的最小值最小值是10(3)如右图，AE的长就是这个代数式的最小值在直角△AEF中,AF=5EF=12根据勾股定理AE=13MEB'CDAB51x8-xFE'BDAEC3．求代数式x2+1+(4-x)2+4（0≤x≤4）的最小值如右图，AE的长就是这个代数式的最小值在直角△AEF中AF=3EF=4则AE=5所以，这个代数式的最小值是5(二)角类4．两条公路OA、OB相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P，如在两条公路上各设置一个加油站，，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.分析这是一个实际问题，我们需要把它转化为数学问题，经过分析，我们知道此题是求运油车所走路程最短，OA与OB相交，点P在∠AOB内部，通常我们会想到轴对称，分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2，连结P1P2分别交OA、OB于C、D，C、D两点就是使运油车所走路程最短，而建加油站的地点，那么是不是最短的呢？我们可以用三角形的三边关系进行说明.解：分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2，连结P1P2分别交OA、OB于C、D，则C、D就是建加油站的位置.若取异于C、D两点的点，则由三角形的三边关系，可知在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短.点评：在这里没有详细说明为什么在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短，请同学们思考弄明白。5．如图∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、P分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．32x12-xCFBDAE21x4-xFBDAECRQP2P1AOBP分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA、OB于点Q，R，连接OP1，OP2，则OP=OP1=OP2=10且∠P1OP2=90°由勾股定理得P1P2=102(三)三角形类6．如图，等腰Rt△ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为即在AC上作一点P，使PB+PE最小作点B关于AC的对称点B'，连接B'E，交AC于点P，则B'E=PB'+PE=PB+PEB'E的长就是PB+PE的最小值在直角△B'EF中，EF=1，B'F=3根据勾股定理，B'E=107．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。即是在直线AB上作一点E，使EC+ED最小作点C关于直线AB的对称点C'，连接DC'交AB于点E，则线段DC'的长就是EC+ED的最小值。在直角△DBC'中DB=1，BC=2，根据勾股定理可得，DC'=58．等腰△ABC中，∠A=20°，AB=AC=20，M、N分别是AB、AC上的点，求BN+MN+MC的最小值分别作点C、B关于AB、AC的对称点C’、B’，连接C’B’交AB、AC于点M、N，则BN+MN+MC=B’N+MN+MC’=B’C’，BN+MN+MC的最小值就是B’C’的值∵∠BAC’=∠BAC，∠CAB’=∠CAB∴∠B’AC’=60°∵AC’=AC，AB’=AB，AC=AB∴AC’=AB’∴△AB’C’是等边三角形∴B’C’=209．如图，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，且AE=2，求EM+EC的最小值FPB'EＡＣＢＣ'DＡＣＢENMB'C'CBAHMDACBE因为点C关于直线AD的对称点是点B，所以连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小，过点B作BH⊥AC于点H，则EH=AH–AE=3–2=1，BH=BC2-CH2=62-32=33在直角△BHE中，BE=BH2+HE2=(33)2+12=27(四)正方形类10．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。即在直线AC上求一点N，使DN+MN最小故作点D关于AC的对称点B，连接BM，交AC于点N。则DN＋ＭＮ＝BN＋ＭＮ＝ＢＭ线段ＢＭ的长就是DN＋ＭＮ的最小值在直角△ＢＣＭ中，ＣＭ＝６，ＢＣ＝８，则ＢＭ＝１０故DN＋ＭＮ的最小值是１０11．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（）A．23B．26C．3D．6即在AC上求一点P，使PE+PD的值最小点D关于直线AC的对称点是点B，连接BE交AC于点P，则BE=PB+PE=PD+PE，BE的长就是PD+PE的最小值BE=AB=2312．在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.即在AC上求一点P，使PB+PQ的值最小因为点B关于AC的对称点是D点，所以连接DQ，与AC的交点P就是满足条件的点DQ=PD+PQ=PB+PQMBCDANPEBCDAPQBCDADABCME故DQ的长就是PB+PQ的最小值在直角△CDQ中，CQ=1，CD=2根据勾股定理，得，DQ=513．如图，四边形ABCD是正方形，AB=10cm，E为边BC的中点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值；连接AE，交BD于点P，则AE就是PE+PC的最小值在直角△ABE中，求得AE的长为55(五)矩形类14．如图，若四边形ABCD是矩形，AB=10cm，BC=20cm，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值；作点C关于BD的对称点C'，过点C'，作C'B⊥BC，交BD于点P，则C'E就是PE+PC的最小值直角△BCD中，CH=205错误！未定义书签。直角△BCH中，BH=85△BCC'的面积为：BH×CH=160所以C'E×BC=2×160则CE'=16(六)菱形类15．如图，若四边形ABCD是菱形，AB=10cm，∠ABC=45°，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值；点C关于BD的对称点是点A，过点A作AE⊥BC，交BD于点P，则AE就是PE+PC的最小值在等腰△EAB中，求得AE的长为52(七)直角梯形类16．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（）A、17172B、17174C、17178D、3作点A关于BC的对称点A'，连接A'D，交BC于点PPA'DCBAEBCDAPECADBHPEC'DACB则A'D=PA'+PD=PA+PDA'D的长就是PA+PD的最小值S△APD=4在直角△ABP中，AB=4，BP=1根据勾股定理，得AP=17所以AP上的高为：2×417=81717(八)圆类17．已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是AD︵的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．即是在直线CD上作一点P，使PA+PB的值最小作点A关于CD的对称点A'，连接A'B，交CD于点P，则A'B的长就是PA+PB的最小值连接OA'，OB，则∠A'OB=90°，OA'=OB=4根据勾股定理，A'B=4218．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为()A22B2C1D2即在MN上求一点P，使PA+PB的值最小作点A关于MN的对称点A'，连接A'B，交MN于点P，则点P就是所要作的点A'B的长就是PA+PB的最小值连接OA'、OB，则△OA'B是等腰直角三角形所以A'B=2(九)一次函数类19．在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n=______时，AC+BC的值最小．点C（1，n），说明点C在直线x=1上，所以作点A关于直线x=1的对称点A'，连接A'B，交直线x=1于点C，则AC+BC的值最小设直线A'B的解析式为y=kx+b，则xy1234–1–2–3–41234–1–2–3–4A'BAOPA'BADOCPA'BANOM-2=-k+b2=4k+b解得：k=(4/5)b=-(6/5)所以：y=(4/5)x-(6/5)当x=1时，y=-(2/5)故当n=-(2/5)时，AC+BC的值最小20．一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．（1）求该函数的解析式；（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．(1)由题意得：0=2x+b4=b解得k=-2，b=4，所以y=-2x+4(2)作点C关于y轴的对称点C'，连接C'D，交y轴于点P则C'D=C'P+PD=PC+PDC'D就是PC+PD的最小值连接CD，则CD=2，CC'=2在直角△C'CD中，根据勾股定理C'D=22求直线C'D的解析式，由C'(-1，0)，D(1，2)所以，有0=-k+b2=k+b解得k=1，b=1，所以y=x+1当x=0时，y=1，则P(0，1)21．如图，一次函数y=12x与反比例函数y=kx交于点A，AM⊥x轴于点M，S△OAM=1(1)求k的值，(2)点B为双曲线y