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江苏省2016年普通高校专转本选拔考试高等数学模拟卷一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题卷的指定位置上）1．当0x→时，2e(1)xaxbx−++是比2x高阶的无穷小，则A．A．112ab==，B．11ab==，C．112ab=−=−，D．11ab=−=，解依题意22000e(1)e2e2120limlimlim222xxxxxxaxbxaxbaaxx→→→−++−−−−====，得12a=，又由0lim(e2)10xxaxbb→−−=−=，得到1b=．答案：A．2．设曲线1()sinfxxx=，则曲线A．A．有且仅有水平渐近线B．有且仅有垂直渐近线C．既有水平渐近线，又有垂直渐近线D．既无水平渐近线，又无垂直渐近线解由11lim()limsinlim1xxxfxxxxx→∞→∞→∞==⋅=，知曲线又一条水平渐近线1y=，01lim()limsin0xxfxxx→→∞==，没有垂直渐近线．答案：A．3．设()0()00fxxFxxx≠==，，，其中()fx在0x=可导，(0)0(0)0ff′≠=，，则0x=是()Fx的．A．连续点B．可去间断点C．跳跃间断点D．第二类间断点解000()()(0)lim()limlim(0)0(0)xxxfxfxfFxfFxx→→→−′===≠=，0x=是()Fx的可去间断点．答案：B．4．设(e)xyf=，则dy=．A．(e)dxfx′B．(e)dexxf′C．[(e)]dexxf′D．(e)edexxxf′解dd[(e)](e)d(e)xxxyff′==，答案：B．5．设()fxy，连续函数，则二次积分1400d(cossin)dfrrrrπθθθ，可化为C．A．22120d()dxxxfxyy−，B．221200d()dxxfxyy−，C．22120d()dyyyfxyx−，D．221200d()dyyfxyx−，2221yx=−yx=6．下列级数中绝对收敛的是C．A．1(1)21nnnn∞=−+B．11(1)nnn∞=+−C．21(1)nnn∞=−D．1(1)nnn∞=−二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7．已知2lim8xxxaxa→∞+=−，则a=．ln2解333238limlim1eaxxaxaxaaxxxaaxaxa−−→∞→∞+==+=−−，3ln83ln2a==，ln2a=．8．曲线231xtyt=+=在2t=的切线方程为．37yx=−解当2t=时，58xy==，，2d3dytt=，d2dxtt=，2dd33ddd22dyytttxxtt===，2d3dtyx==，切线方程为83(5)yx−=−，即37yx=−．9．定积分121(1)1dxxx−+−=．2π解111222111(1)1d1d1d2xxxxxxxxπ−−−+−=−+−=．10．已知ab，都是单位向量，且a与2ab−垂直，则a与b的夹角等于．3π解由2aab⊥−，得0(2)212aabaaabab=⋅−=⋅−⋅=−⋅，12ab⋅=，1cos(,)2||||ababab⋅==，所以a与b的夹角等于3π．11．设sin()exyz=，则dz=．sin()decos()(dd)xyzxyyxxy=+解sin()ecos()xyzxyyx∂=⋅∂，sin()ecos()xyzxyxy∂=⋅∂，sin()dddecos()(dd)xyzzzxyxyyxxyxy∂∂=+=+∂∂、12．幂级数21(1)2nnnnxn∞=−⋅的收敛域为．[2,2]−解12(1)2212(1)(1)2limlim(1)2122nnnnnnnnxxnxnnxn+++→∞→∞−+==−+，22x，||2x，当2x=−时，幂级数为211(1)(1)=2nnnnnnxnn∞∞==−−⋅收敛，当2x=时，幂级数为211(1)(1)=2nnnnnnxnn∞∞==−−⋅收敛，因而收敛域为[2,2]−．三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）13．求极限20esin1lim11xxxx→−−−−．解200002esin1esin1ecoslim=limlimlim(esin)1111()2xxxxxxxxxxxxxxx→→→→−−−−−==+=−−−−．14．设函数()yyx=由方程1exyyx=+所确定，求0ddxyx=，220ddxyx=．解当0x=时，1y=，方程两边同时对x求导得ee()xyxyyxyxy′′=++，将此式再对x求导得2e()e()e()e()xyxyxyxyyyxyyxyxyxyxyyxy′′′′′′′′′=++++++++，因而将0x=，1y=代入得0d=1dxyx=，220d2dxyx==．15．已知()fx的一个原函数为sinxx，求不定积分3()dxfxx′．解依题意有2sincossin()()xxxxfxxx−′==，于是333332()dd()()()d()3()dxfxxxfxxfxfxxxfxxfxx′==−=−32322sinsinsin()3d()3(d)xxxxfxxxfxxxxxx=−=−⋅−33()3(sin2sind)()3sin6cosxfxxxxxxfxxxxc=−−=−−+32cossin3sin6cosxxxxxxxcx−=⋅−−+2cos4sin6cosxxxxxc=−−+．16．计算定积分211221dxxx−．解设sinxu=，则当12x=时，4uπ=；当1x=时，2uπ=．于是有222444221122221cos1dd(1)d(cot)1sinsin4xxxuuuuxxxπππππππ−==−=−−=−．17．求通过两平面1220xyzπ+−−=：和232210xyzπ−−+=：的交线，并与平面332360xyzπ++−=：垂直的平面方程．解平面1π与2π交线的方向向量21147322ijksijk=−=−+−−−，依题意所求平面的法向量41717911323ijknijk=−−=−−，令1z=，得平面1π与2π交线上一点(111)，，，于是所求平面方程为17(1)9(1)11(1)0xyz−−−−−=，即1791130xyz−−+=．18．设函数()()xyzyfxyxϕ=+，其中函数fϕ，具有二阶连续偏导数，求222zzxyxxy∂∂+∂∂∂．解设xuy=，yvx=，则()()zyfuxvϕ=+，于是21()zfyyxyfxxxxyxϕϕϕϕ∂∂∂′′=++=⋅++−∂∂∂yfxϕϕ′′=+−；2222223311111()()zfyyyyfyfxxxxxxyxxxyxϕϕϕϕϕϕϕ′′∂∂∂∂′′′′′′′′′′′=+−−+=−−−−=+∂∂∂∂；2222111()()zfxyxyyffxyyyxyyxxxyxϕϕϕϕϕϕϕ′′∂∂∂∂′′′′′′′′′′′=+−+=−+−+=−−∂∂∂∂∂．则22223221()()0zzyxyxyxfyfxxyyxyxϕϕ∂∂′′′′′′′′+=++−−=∂∂∂．xfuyxϕvy19．已知函数eexxyyx−−==，是二阶常系数齐次线性微分方程0ypyqy′′′++=的两个特解，求微分方程2exypyqy−′′′++=的通解．解依题意二阶常系数齐次线性微分方程0ypyqy′′′++=的特征方程有两相等的实根121rr==−，因而特征方程为2(1)0r+=，即2210rr++=，因而线性微分方程为22exyyy−′′′++=，由于1λ=−是特征二重根，设特解*2exyAx−=，*222ee(2)exxxyAxAxAxAx−−−′=−=−+，*22(22)e(2)e(42)exxxyAxAAxAxAxAxA−−−′′=−+−−+=−+，代入方程得22A=，即有1A=，则*2exyx−=，所求方程的通解为212()eexxyccxx−−=++20．计算二重积分22(+)ddDxyxy，其中D是由yx=−，2222420xyxxy+=−+=，所围成在第一、第二象限的平面闭区域．解34222cos22330000(+)ddddddDxyxyrrrrππθθθ=−324022cos4400011d44rrrππθθ=⋅−24034cosdππθθ=−319344224πππ=−⋅⋅⋅=．四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）21．过点(10)P，作曲线2yx=−的切线．求（1）切线方程；（2）曲线、切线及x轴所围成的平面图形的面积；（3）该平面图形分别绕x轴、y轴旋转一周所形成的旋转体的体积．解（1）设切点坐标为00(,2)xx−，于是切线方程为00012()22yxxxx−−=−−，由于切线经过点(10)P，，得00012(1)22xxx−−=−−，解得03x=，所求切线方程为11(3)2yx−=−，即1122yx=−．（2）平面图形面积112320011[2(21)]d()33syyyyyy=+−+=−+=．1123（3）33222221(2)d(2)3326xVxxxxπππππ=−−=−−=．11122245200016[(2)(21)]d(43)d(23)55yVyyyyyyyyyππππ=+−+=−+=−+=．22．设曲线()yfx=上一点()xy，处切线的斜率为24yxx+，且曲线经过(11)，点，试求：（1）函数()fx的表达式；（2）函数()fx的单调区间与极值；（3）曲线()yfx=的凹凸区间与拐点．解依题意有24yyxx′=+，即有24yyxx′−=则1()pxx=−，2()4qxx=，于是11()d()d()d()d22e(()ed)e(4ed)(2)xxpxxpxxxxyqxxcxxcxxc−−−−=+=+=+．（1）曲线经过(11)，点，代入得1c=−，函数()fx的表达式为3()2fxxx=−．（2）2()61fxx′=−，令()0fx′=得驻点116x=−，216x=，x1(,)6−∞−16−11(,)66−161(,)6+∞()fx′+0−0+()fx极大值69极小值69−由表可知：函数在1(,)6−∞−、1(,)6+∞内单调增加；而在11(,)66−内单调减少．在16x=−取得极大值16()96f−=，在16x=取得极小值16()96f=−．（3）()12fxx′′=，令()0fx′′=得0x=，当0x时，()0fx′′；而当0x时，()0fx′′，故曲线在(,0)−∞内是凸的，在(0,)+∞内是凹的，点(0,0)是曲线的拐点．五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．证明不等式221ln(1)1xxxx+++≥+．证明设22()1ln(1)1fxxxxx=+++−+，222()ln(1)11xxfxxxxx′=+++−++2ln(1)xx=++，令()0fx′=得唯一驻点0x=，又(0)10f′′=，故()fx在0x=处取得极小值，从而()fx在0x=处取得最小值(0)0f=，因而有()0fx≥，即有221ln(1)1xxxx+++≥+．24．设10()()dfxxttϕ=，其中函数()xϕ连续，且0()lim1xxxϕ→=，证明：函数()fx在0x=处可导，且1(0)2f′=．证明依题意有(0)0ϕ=，10(0)(0)d(0)0ftϕϕ===．设xtu=，当0t=时，0u=，当1t=时，ux=．于是1000()1()()dd()dxxufxxttuuuxxϕϕϕ===，则00200001()d()d()(0)()1(0)limlimlimlim22xxxxxxuuuufxfxxfxxxxϕϕϕ→→→→−′=====．