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Cq重庆大学电子课件课件制作:吴新生樊桂洁课程:高等数学2005年6月第一章函数与极限分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁本章主要内容：映射函数函数极限数列极限无穷大与无穷小函数的连续性与间断点第一节映射与函数一、集合二、映射三、函数一、集合（一）定义及表示法定义1：称为集元素a属于集合M,记作.Ma元素a不属于集合M,记作Ma(或Ma).不含任何元素的集合称为空集,记作.含有有限个元素的集合成为有限集.不是有限集的集合称为无限集.N：全体自然数集合N+：全体正整数集合Z：全体整数集合Q：全体有理数集合R:全体实数集合R*:全体正实数集合合。组成集合的事物称为元素.(1)列举法：按某种方式将集合中的元素一一列举出来.例:有限集合naaaA,,,21niia1(2)描述法：xMx所具有的特征例:整数集合ZxNx或Nx有理数集qpQ,N,Zqpp与q互质实数集合Rxx为有理数或无理数表示法：1、基本运算：•并集：由所有属于A或者属于B的元素组成的集合，记作A∪B。•交集：由即属于A又属于B的元素组成的集合，记作A∩B。•差集：所有属于A而不属于B的元素组成的集合，记作A\B•补集：称集合I为全集，称I\A为A的余集或补集。ABA\BBABAAcABB•直积),(yxBA,AxBy特例:RR记2R为平面上的全体点集ABBA（二）集合的运算交换律：A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A；结合律：（A∪B）∪C＝A∪（B∪C），分配律：（A∪B）∩C＝（A∩C）∪（B∩C），对偶律：（A∪B）C＝AC∩BC，（A∩B）∩C＝A∩（B∩C）；（A∩B）∪C＝（A∪C）∩（B∪C）；（A∩B）C＝AC∪BC；2、集合的并、交、补运算满足下列法则：点的邻域其中,a称为邻域中心,称为邻域半径.去心邻域左邻域:右邻域:)(aaaf二、映射（一）映射的概念设X,Y是两个非空集合，如果存在一个法则f,使得对X中的每个元素x，按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射。记作定义：.:YXf元素y称为元素x在映射f下的像,记作).(xfy元素x称为元素y在映射f下的原像.集合X称为映射f的定义域;Y的子集)(XfXxxf)(称为f的值域.XxYy1、构成映射必备的三要素：2、元素x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一.③对应法则f是对每个x∈X，有唯一确定的y=f(x)与之对应。②值域范围DfY;①定义域Df=X；注意：对映射若YXf)(,则称f为满射;XYf)(Xf若有则称f为单射;若f既是满射又是单射,则称f为双射或一一映射.XY满射：单射：双射：X(数集或点集)在不同数学分支中有不同的惯用X(≠)Y(数集)ff称为X上的泛函X(≠)Xff称为X上的变换Rff称为定义在X上的为函数映射又称为算子.名称.例如,说明:1、逆映射的定义定义:若映射为单射,则存在一新映射使习惯上,Dxxfy,)(的逆映射记成)D(fx,)x(fy1例如,映射其逆映射为)(DfDf1f其中称此映射1f为f的逆映射.（二）逆映射与复合映射定义：设有两个映射其中1YXg:ZYf2:，21YY则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个映成XxZxgf)]([Xxxgfxgf,ZXgf)],([))((:显然，这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射称为映射g和f构成的复合映射，记作gf即2、复合映射三、函数（一）函数的概念定义域Df定义4.设数集,RD则称映射为定义在D上的函数,记为Dxxfy,)(自变量因变量f(D)称为值域Rf(对应规则)(值域)(定义域)DxfDxxfyyDfy),()(•定义域•对应规律——对应规律的表示方法:解析法、图象法、列表法。使表达式及实际问题都有意义的函数构成要素如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，自变量集合.那么这两个函数就是相同的，否则就是不同。设函数,,)(Dxxfy且有区间.DI1、有界性,Dx,0M使,)(Mxf称)(xf,Ix,0M使,)(Mxf称)(xf为有界函数.在I上有界.,Dx使若对任意正数M,均存在,)(Mxf则称f(x)无界.，称在I上有上界称在I上有下界当（二）函数的几种特性,0M,xI)(xf使Mxf)(,0M,xI使Mxf)()(xf2、单调性,,21Ixx21xx时,,)()(21xfxf若称)(xf为I上的,)()(21xfxf若称)(xf为I上的单调增函数;单调减函数.xy1x2x,Dx且有,Dx若则称f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.xyoxx3、奇偶性由定义知偶函数关于y轴对称xy,Dx且有,Dx由定义知奇函数关于原点对称,Dx有,Dlx则称)(xf为周期函数,且称l为周期(一般指最小正周期).xo2y2周期为注:周期函数不一定存在最小正周期.Cxf)(4、周期性设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个正数l，使得对于任一例如：常数函数狄里克雷函数x为有理数x为无理数,1,0或1、反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆映射习惯上,Dxxfy,)(的反函数记成)(,)(1Dfxxfy称此映射1f为f的反函数.（三）反函数与复合函数其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增2)函数与其反函数的图形关于直线对称.)(xfyxy),(abQxyo如图：),(,xeyx对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数性质:2、复合函数1),(Duufy1)(DDg且则设有函数链称为由①,②确定的复合函数,①②u称为中间变量.注意:构成复合函数的条件1)(DDg不可少.例如,函数链:,arcsinuy函数但函数链22,arcsinxuuy不能构成复合函数.可定义复合例如,0,uuy可定义复合函数:Zn02cot,22xkxk时),2,1,0(,cotkkvvu),(,2xxv其中u、v都是中间变量两个以上函数也可构成复合函数.3、函数的运算;),()())((Dxxgxfxgf)(),(xgxf2121DDDDD,,的定义域依次为则可以定义两个函数的下列运算和（差）商})(|{\,)()())((0xgxDxxgxfxgfgf积;),()())((Dxxgxfxgfgfgf1、基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数2、初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数.并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.例如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数.定义（四）初等函数内容小结1.集合及映射的概念定义域对应规律3.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性4.初等函数的结构2.函数的定义及函数的二要素