常用几何体的内切外接球

常见几何体的内切、外接球①若球为正方体的外接球a32R若球为正方体的内切球，则2R=a③若球与正方体的各棱相切，则a22R1.几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球②若球为正方体的内切球，则③若球与正方体的各棱相切，则知识拓展2R=aa22Ra32R(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.a2＋b2＋c2(3)正四面体棱长为a,外接球的半径：内切球的半径：球心的位置：高的四等分点外接球的半径与内切球的半径之比：3:164Ra612raCBDAOSEF23SEa引申探究1.已知棱长为4的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解答又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43，由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.从而V外接球＝43πR3＝43π×(23)3＝323π，V内切球＝43πr3＝43π×23＝32π3.2.已知棱长为a的正四面体，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？解答正四面体的表面积为S1＝4·34·a2＝3a2，其内切球半径r为正四面体高的14，即r＝14·63a＝612a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝πa26，则S1S2＝3a2πa26＝63π.3.已知侧棱和底面边长都是3的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？解答依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为322－12×62＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.2思维升华空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解.