空间几何体的外接球问题

球与空间几何体的接、切问题（一）考纲要求近年高考统计命题规律及趋势了解球的表面积和体积计算公式2018全国Ⅲ，文122017全国Ⅲ，文82017全国Ⅰ，文162017全国Ⅱ，文152016全国Ⅱ，文42016全国Ⅲ，文11热点：以球与几何体内切或外接为题的背景，求球的表面积或体积。难度：中等及偏下3、球心和截面圆心的连线____于截面；2、用一个平面去截球，截面是_______；4、球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系:圆面垂直相关知识：𝑅2=𝑑2+𝑟2识梳理1、相关公式：球的表面积S=𝟒𝝅𝑹𝟐球的体积𝑽=𝟒𝟑𝝅𝑹𝟑这个直角三角形我们称之为“特征三角形”．球与空间几何体的接、切问题（一）多面体的外接球：多面体的顶点都在球面上；ABCDD1C1B1A1以正方体的外接球为例：考点一空间几何体的外接球14𝝅O考点自测（2017全国Ⅱ15）长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为。ABCDD1C1B1A1OAA1B1C1D1BCD对角面对角面A𝐴1C𝐶1O方法点津1：长方体和圆柱，可以不找球心，直接求外接球半径R。O1、直接法对于长方体2R=特别地，正方体2R=对于圆柱2R=𝒉𝟐𝒓𝒂𝒃𝒄𝒂𝒂𝟐+𝒃𝟐+𝒄𝟐𝟑𝒂𝒉𝟐+𝟐𝒓𝟐考点一空间几何体的外接球2、构造法思考：哪些几何体能构造为能用“直接法”的柱体？例1如图，在直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，∠𝐵𝐴𝐶=300，𝐵𝐶=1，𝐵𝐵1=2，则三棱柱外接球的体积为。解析：以底面外接圆为底面，构造圆柱ABCC1B1A1𝟖𝟐𝟑𝝅在𝛥𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶=1，∠𝐵𝐴𝐶=300∴2𝑟=1sin300=2设外接球半径为R，体积为V，底面外接圆半径为r。∴2𝑅=𝐵𝐵12+2𝑟2=22∴𝑅=2∴𝑉=𝟖𝟐𝟑𝝅ABCC1B1A1方法点津2：1.可以构造圆柱的几何体：1）底面存在外接圆的直棱柱；2）顶点在底面的投影在底面多边形外接圆的圆周上的棱锥.考点一空间几何体的外接球2、构造法注意：需要高h和底面外接圆半径r2R=𝒉𝟐+𝟐𝒓𝟐思考：哪些柱体和锥体能构造为圆柱？对点训练如图，在三棱锥P-ABC中，PB⏊面ABC，∠𝐵𝐴𝐶=300，𝐵𝐶=3，𝑃𝐵=4，则三棱锥外接球的半径为。考点一空间几何体的外接球2、构造法P𝐵𝐴𝐶𝟏𝟑解析：顶点P在底面的投影为B，B显然在底面外接圆上，可构造圆柱考点一空间几何体的外接球2、构造法方法点津2：2.可以构造长方体的几何体：对棱分别相等的三棱锥；A1D1C1BDCAB1𝐴𝐷1=𝐵1𝐶𝐵1𝐷1=𝐴𝐶𝐴𝐵1=𝐷1𝐶其中最特殊的就是正四面体课后思考：还有什么几何体能构造长方体？ADBC考点一空间几何体的外接球对点训练如图，在正四面体ABCD中，棱长为1，则正四面体外接球的半径为。𝟔𝟒2、构造法解析：正四面体对棱相等，可构造为正方体。考点一空间几何体的外接球ADBC解析：法二设外接球半径为R，𝛥BCD外接圆半径为r，球心为O，且点E为底面𝛥BCD外接圆圆心OERR3、找特征三角形𝟔𝟒关键：顶点、底面外接圆圆心、球心三点共线。例2如图，在正四面体ABCD中，棱长为1，则正四面体外接球的半径为。（不用构造法）连接DE，DO，r过A作AE⏊面BCD于点E，则O在AE上，则DE=r，DO=AO=R考点一空间几何体的外接球3、找特征三角形图6PADO1OCB图7-1PAO1OCB图8PAO1OCBR𝒉图8-3DPOO2AB图8-2POO2ABC图8-1DPOO2ABC方法点津3：顶点、底面外接圆的圆心与外接球球心三点共线的锥体可以找“特征三角形”解决外接球问题。Rℎ𝑹𝟐=𝒉−𝑹𝟐+𝒓𝟐考点一空间几何体的外接球练习正三棱锥P-ABC中，ΔABC为等边三角形，AB=3，PA=5，三棱锥P-ABC的外接球表面积为_______。PABC堂小练𝟐𝟓𝟒𝝅OD考点一空间几何体的外接球纳总结“接”的问题与方法：1、直接法——3、找特征三角形——2、构造法——适用于长方体和圆柱；能构造为圆柱的几何体；适用于顶点、底面外接圆的圆心与外接球球心三点共线的锥体。能构造为长方体的几何体；“两心一点”共线的锥体考点一空间几何体的外接球练习（2017全国Ⅰ16）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径。若平面SCA⏊面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为。堂小练𝟑𝟔𝝅练习（2017.全国8）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A𝜋B34𝜋C𝜋2D𝜋4考点一空间几何体的外接球堂小练B2R=𝒉𝟐+𝟐𝒓𝟐考点一空间几何体的外接球ABCP解析：ΔABC为等边三角形，PA=PB=PC=3，所以ΔPAB≅ΔPBC≅ΔPAC。∵PA⏊PB，∴PA⏊PC，PB⏊PC。以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱作正方体，则正方体的外接球即为三棱锥P-ABC的外接球。∵正方体体对角线长为32+32+32=33∴其外接球半径R=332∴𝑉=4𝜋3×3323=2732𝜋ABCP练习三棱锥P-ABC中，ΔABC为等边三角形，PA=PB=PC=3，PA⏊PB，三棱锥P-ABC的外接球体积为（）A272𝜋B2732𝜋C273D27𝜋B变式训练某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为_____.侧视图俯视图主视图121PDCBA216π考点一空间几何体的外接球3、构造法解析：根据长方体的体对角线的性质以及长方体的长为2，宽为1和高为1，可知，对角线的长为222PAabc6，所以，可得球面的面积为6π.R=62方法点津3：锥体含线线垂直关系或者线面垂直关系，可用“构造法”解决外接球问题。考点二空间几何体的内切球思考题：若正四面体的棱长为𝒂，则其内切球的半径为_______。解析法一：如图正四面体P-ABC的中心为O，P𝐷⏊面AB𝐶，内切球半径为r，即𝑂𝐷=𝑟。∵AB=𝑎，∴正四面体的高ℎ=PD=63𝑎又𝑉𝑃−ABC=4𝑉𝑂−𝐴B𝐶∴13𝑆ΔABC∙PD=4×13𝑆ΔABC∙𝑂D∴OD=14PD，即𝑟=14ℎ=612𝑎𝟔𝟏𝟐𝒂小结：正四面体内切球半径是高的𝟏𝟒，外接球半径是高的𝟑𝟒。2、等体积法训练：直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于．在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中易得球半径解得故此球的表面积为4πR2=20π20πOABCC1B1A1𝑶‘训练：已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为()A.52B.3－1C.12D.2－1如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE，∵△ABC是正三角形，∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．∵AB＝23，∴S△ABC＝33，DE＝1，PE＝2.∴S表＝3×12×23×2＋33＝36＋33.∵PD＝1，∴三棱锥的体积V＝13×33×1＝3.设球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，则r＝3336＋33＝2－1.D训练：在正三棱锥P-ABCD中，侧面与底面所成角为𝜋3，则它的外接球的半径R与内切球半径r的比值为__________。思考题：正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为__________。解析：用构造法将四面体ABCD放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，设截面半径为r，球心到截面距离为d，外接球半径为R，则r=𝑹𝟐−𝒅𝟐，显然球心到截面距离为d越大，r越小，易知OE为d的最大值，故截面半径最小值为r=𝑹𝟐−𝒅𝟐=𝟐，∵棱长为4，∴正方体边长为𝟐𝟐∴OE=𝟐，正方体体对角线为𝟐𝟔∴𝑹=𝟔∴截面面积最小值为𝝅𝒓𝟐=𝟒𝝅