(精品)直线与方程知识点+经典习题

第1页共8页直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即tank。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当90,0时，0k；当180,90时，0k；当90时，k不存在。②过两点的直线的斜率公式：)(211212xxxxyyk注意下面四点：(1)当21xx时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程①点斜式：)(11xxkyy直线斜率k，且过点11,yx注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。②斜截式：bkxy，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b③两点式：112121yyxxyyxx（1212,xxyy）直线两点11,yx，22,yx④截矩式：1xyab其中直线l与x轴交于点(,0)a,与y轴交于点(0,)b,即l与x轴、y轴的截距分别为,ab。⑤一般式：0CByAx（A，B不全为0）注意：○1各式的适用范围○2特殊的方程如：平行于x轴的直线：by（b为常数）；平行于y轴的直线：ax（a为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线0000CyBxA（00,BA是不全为0的常数）的直线系：000CyBxA（C为常数）（二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k的直线系：00xxkyy，直线过定点00,yx；（ⅱ）过两条直线0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl的交点的直线系方程为0222111CyBxACyBxA（为参数），其中直线2l不在直线系中。第2页共8页（6）两直线平行与垂直当111:bxkyl，222:bxkyl时，212121,//bbkkll；12121kkll注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl相交交点坐标即方程组00222111CyBxACyBxA的一组解。方程组无解21//ll；方程组有无数解1l与2l重合（8）两点间距离公式：设1122(,),AxyBxy，（）是平面直角坐标系中的两个点，则222121||()()ABxxyy（9）点到直线距离公式：一点00,yxP到直线0:1CByAxl的距离2200BACByAxd（10）两平行直线距离公式利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0lAxByC，22:0lAxByC之间的距离公式1222||CCdAB，推导过程为：在直线2l上任取一点00(,)Pxy，则0020AxByC，即002AxByC.这时点00(,)Pxy到直线11:0lAxByC的距离为001122222||||AxByCCCdABAB。3.1．1倾斜角与斜率【知识点归纳】1.直线的倾斜角：2.直线的斜率：3.直线的斜率公式：【典型例题】题型一求直线的倾斜角例1已知直线l的斜率的绝对值等于3，则直线的倾斜角为（）.A.60°B.30°C.60°或120°D.30°或150°变式训练：设直线l过原点，其倾斜角为，将直线l绕原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线1l，则1l的倾斜角为（）。A.45B.135C.135D.当0°≤α＜135°时为45，当135°≤α＜180°时，为135题型二求直线的斜率例2如图所示菱形ABCD中∠BAD=60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.第3页共8页变式训练：已知过两点22(2,3)Amm,2(3,2)Bmmm的直线l的倾斜角为45°，求实数m的值.题型三直线的倾斜角与斜率的关系例3右图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（）.A.k1＜k2＜k3B.k3＜k1＜k2C.k3＜k2＜k1D.k1＜k3＜k2拓展一三点共线问题例4已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．变式训练:若三点P（2，3），Q（3，a），R(4，b)共线，那么下列成立的是（）.A．4,5abB．1baC．23abD．23ab拓展二与参数有关问题例5已知两点A(-2,-3),B(3,0),过点P(-1,2)的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.变式训练：已知(2,3),(3,2)AB两点，直线l过定点(1,1)P且与线段AB相交，求直线l的斜率k的取值范围.拓展三利用斜率求最值例6已知实数x、y满足28,xy当2≤x≤3时，求yx的最大值与最小值。变式训练：利用斜率公式证明不等式：(0amaabbmb且0)m3.1.2两条直线平行与垂直的判定【知识点归纳】1.直线平行的判定2.两条直线垂直的判定（注意垂直与x轴和y轴的两直线）：【典型例题】第4页共8页题型一两条直线平行关系例1已知直线1l经过点M（-3，0）、N（-15，-6），2l经过点R（-2，32）、S（0，52），试判断1l与2l是否平行？变式训练：经过点(2,)Pm和(,4)Qm的直线平行于斜率等于1的直线，则m的值是（）.A．4B．1C．1或3D．1或4题型二两条直线垂直关系例2已知ABC的顶点(2,1),(6,3)BC，其垂心为(3,2)H，求顶点A的坐标．变式训练：（1）1l的倾斜角为45°，2l经过点P（-2，-1）、Q（3，-6），问1l与2l是否垂直？（2）直线12,ll的斜率是方程2310xx的两根，则12ll与的位置关系是.题型三根据直线的位置关系求参数例3已知直线1l经过点A(3,a)、B（a-2,-3）,直线2l经过点C（2，3）、D（-1，a-2）,（1）如果1l//2l，则求a的值；（2）如果1l⊥2l，则求a的值题型四直线平行和垂直的判定综合运用例4四边形ABCD的顶点为(2,222)A、(2,2)B、(0,222)C、(4,2)D，试判断四边形ABCD的形状.变式训练：已知A（1，1），B（2，2），C（3，-3），求点D，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．探点一数形结合思想例5已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.（1）证明：点C、D和原点O在同一直线上.（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.探点二分类讨论思想例6ABC的顶点(5,1),(1,1),(2,)ABCm，若ABC为直角三角形，求m的值.3.2直线的方程第5页共8页3.2.1直线的点斜式方程【知识点归纳】1.直线的点斜式方程：2.直线的斜截式方程：【典型例题】题型一求直线的方程例1写出下列点斜式直线方程：（1）经过点(2,5)A，斜率是4；（2）经过点(3,1)B，倾斜角是30.例2倾斜角是135，在y轴上的截距是3的直线方程是.变式训练：1.已知直线l过点(3,4)P，它的倾斜角是直线1yx的两倍，则直线l的方程为2.已知直线l在y轴上的截距为－3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l的方程3.将直线31yx绕它上面一点（1，3）沿逆时针方向旋转15°，得到的直线方程是.题型二利用直线的方程求平行与垂直有关问题例3已知直线1l的方程为223,yxl的方程为42yx，直线l与1l平行且与2l在y轴上的截距相同，求直线l的方程。探究一直线恒过定点或者象限问题例4.已知直线31ykxk.（1）求直线恒经过的定点；（2）当33x时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围.探究二直线平移例5已知直线l：y=2x-3，将直线l向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位后得到的直线方程为__________________3.2.2直线的两点式方程【知识点归纳】1.直线的两点式方程：2.直线的截距式方程：【典型例题】题型一求直线方程例1已知△ABC顶点为(2,8),(4,0),(6,0)ABC，求过点B且将△ABC面积平分的直线方程.变式训练：1.已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）.A．425xyB．425xyC．25xyD．25xy2.已知1122234,234xyxy，则过点1122(,),(,)AxyBxy的直线l的方程是（）.A.234xyB.230xyC.324xyD.320xy例2求过点(3,2)P，并且在两轴上的截距相等的直线方程.第6页共8页变式训练：已知直线l过点（3，-1），且与两轴围成一个等腰直角三角形，则l的方程为题型二直线方程的应用例3长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用y（元）是行李重量x（千克）的一次函数，其图象如图所示.（1）求y与x之间的函数关系式，并说明自变量x的取值范围；（2）如果某旅客携带了75千克的行李，则应当购买多少元行李票？探究一直线与坐标轴围成的周长及面积例4已知直线l过点(2,3)，且与两坐标轴构成面积为4的三角形，求直线l的方程．探究二有关光的反射例5光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程.变式训练：已知点(3,8)A、(2,2)B，点P是x轴上的点，求当APPB最小时的点P的坐标．3.2.3直线的一般式方程【知识点归纳】1．直线的一般式：2．直线平行与垂直的条件：【典型例题】题型一灵活选用不同形式求直线方程例1根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：（1）斜率是－12，经过点A（8，－2）；（2）经过点B(4，2)，平行于x轴；（3）在x轴和y轴上的截距分别是32,－3；（4）经过两点1P（3，－2）、2P（5，－4）.题型二直线不同形式之间的转化例2求出直线方程，并把它化成一般式、斜截式、截距式：过点(5,6),(4,8)AB.题型三直线一般式方程的性质例3直线方程0AxByC的系数A、B、C分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质?（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与x轴相交；（3）只与y轴相交；（4）是x轴所在直线；（5）是y轴所在直线.变式训练：已知直线:5530laxya。（1）求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求a的取值范围。题型四运用直线平行垂直求参数例4已知直线1l：220xmym，2l：10mxym，问m为何值时：（1）12ll；（2）12//ll.oyx6106080（千克）元第7页共8页变式训练：（1）求经过点(3,2)A且与直线420xy平行的直线方程；（2）求经过点(3,0)B且与直线250xy垂直的直线方程.题型五综合运用例5已知直线1:60lxmy，2:(2)320lmxym，求m的值，使得：（1）l1和l2相交；（2）l1⊥l2；（3）l1//l2；（4）l1和l2重合.3.3直线的交点坐标与距离公式【知识点归纳】1.两条直线的焦点坐标：2.两点间的距离公式：【典型例题】题型一求直线的交点坐标例1判断下列各对直线的位置关系