一元二次方程根与系数的关系(成都市东湖中学)

1.一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的根的情况怎样确定？2.一元二次方程的求根公式是什么？)0(02acbxaxacb42没有实数根两个相等的实数根两个不相等的实数根000)04(2422acbaacbbx填写下表：方程两个根两根之和两根之积a与b之间关系a与c之间关系1x2x21xx21xxabac猜想：如果一元二次方程的两个根分别是、，那么，你可以发现什么结论？)0(02acbxax1x2x0432xx0652xx01322xx23212123214656531213434已知：如果一元二次方程的两个根分别是、。abxx21acxx21)0(02acbxax1x2x求证：推导:aacbbaacbbxx24242221aacbbacbb24422ab22abaacbbaacbbxx2424222122244aacbb244aacac如果一元二次方程的两个根分别是、，那么：abxx21acxx21)0(02acbxax1x2x这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。0462xx01522xx522x05322xx0732xx1.3.2.4.5.•口答下列方程的两根之和与两根之积。1.已知一元二次方程的两根分别为，则：0122xx21,xx__21xx__21xx2.已知一元二次方程的两根分别为，则：632xx21,xx3.已知一元二次方程的的一个根为1，则方程的另一根为___，m=___：0932mxx__21xx__21xx4.已知一元二次方程的两根分别为-2和1，则：p=__;q=__02qpxx1、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？013.12xx223.22xx032.32xxxx214.422、设x1、x2是方程利用根与系数的关系，求下列各式的值：的根03422xx11).1(21xx2112).2(xxxx返回已知12,xx是方程22410xx的两个实数根，求2212xx的值。解：根据根与系数的关系:121212,2xxxx222121212()2xxxxxx2122()25例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程两个根的；（1）平方和；（2）倒数和01322xx解：设方程的两个根是x1x2，那么32123112413212232121,2321212122221212212121xxxxxxxxxxxxxxxx∵返回例1.不解方程，求方程的两根的平方和、倒数和。01322xx二、典型例题例题1：已知方程x2＝2x＋1的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值。（1）（x1－x2）2（2）x13x2＋x1x23（3）212112xxxx解：设方程的两根分别为和，则：而方程的两根互为倒数即：所以：得：2.方程的两根互为倒数，求k的值。01232kkxx1x2x1221kxx121xx112k1k练习1已知关于x的方程012)1(2mxmx当m=时,此方程的两根互为相反数.当m=时,此方程的两根互为倒数.－11分析:1.0121mxx2.11221mxx注意：△=b2-4ac≥0212xx21xx411412题３则：21xx2221xx221)(xx＝221)(xx221)(xx214xx＝应用：一求值求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.练习2(1)设的两个实数根为则:的值为()A.1B.－1C.D.012xx21,xx2111xx555A以为两根的一元二次方程(二次项系数为1)为:0)(21212xxxxxx2,1xx二已知两根求作新的方程题4.点p(m,n)既在反比例函数的图象上,又在一次函数的图象上,则以m,n为根的一元二次方程为(二次项系数为1):)0(2xxy2xy解:由已知得,mn22mn{即m·n=－2m+n=－2{∴所求一元二次方程为:0222xx题5以方程X2+3X-5=0的两个根的相反数为根的方程是（）A、y2＋3y-5=0B、y2－3y-5=0C、y2＋3y＋5=0D、y2－3y＋5=0B分析:设原方程两根为则:21,xx5,32121xxxx新方程的两根之和为3)()(21xx新方程的两根之积为5)()(21xx4、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。5、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。解：设方程的另一个根为x1,319则x1+1=,∴x1=,316又x1●1=,3m∴m=3x1=16解：由韦达定理，得x1+x2=-2,x1·x2=23∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-2+()+1=23256关于x的方程X²-(2m+1)x+m=0的两根之和与两根之积相等，则m=___________（7）一元二次方程x²+5x+k=0的两实根之差是3，则k=——1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由韦达定理得x1+x2=,x1x2=21k23k∴12342)21(kk解得k1=9,k2=-3当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。求作新的一元二次方程时:1.先求原方程的两根和与两根积.2.利用新方程的两根与原方程的两根之间的关系,求新方程的两根和与两根积.(或由已知求新方程的两根和与两根积)3.利用新方程的两根和与两根积,求作新的一元二次方程.练习:1.以2和－３为根的一元二次方程（二次项系数为１）为：062xx题6已知两个数的和是1，积是-2，则两个数是。2和-1解法(一):设两数分别为x,y则:1yx2yx{解得:x=2y=－1{或ｘ＝－1y=2{解法(二):设两数分别为一个一元二次方程的两根则:022aa求得1,221aa∴两数为2,－１三已知两个数的和与积，求两数题7如果－1是方程的一个根，则另一个根是___ｍ=____。（还有其他解法吗？)022mxx-3四求方程中的待定系数题8已知方程的两个实数根是且求k的值。解：由根与系数的关系得X1+X2=-k，X1×X2=k+2又X12+X22=4即(X1+X2)2-2X1X2=4K2-2(k+2）=4K2-2k-8=0∵△=K2-4k-8当k=4时，△＜0当k=-2时，△＞0∴k=-2解得：k=4或k=－2022kkxx2,1xx42221xx题9方程有一个正根，一个负根，求m的取值范围。解:由已知,0)1(442mmm△=0121mmxx{即{m0m-10∴0m1)0(0122mmmxmx设X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则X1+X2=___X1X2=____，X12+X22=；(X1-X2)2=；基础练习12211211xxxxxx另外几种常见的求值2111.1xx2121xxxx)1)(1.(321xx1)(2121xxxx1221.2xxxx212221xxxx21212212)(xxxxxx21.4xx221)(xx212214)(xxxx1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另一个根是___，m=____。2、设X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则X1+X2=___,X1X2=____，X12+X22=(X1+X2)2-___=___(X1-X2)2=(___)2-4X1X2=___3、判断正误：以2和-3为根的方程是X2－X-6=0（）4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是_____。X1+X22X1X2-3411412×2和-1基础练习（还有其他解法吗？）231.已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值.解：设方程的两个根分别是、，其中。所以：即：由于得：k=-7答：方程的另一个根是，k=-70652kxx0652kxx1x2x21x562221xxx532x5)53(221kxx53例题2：（1）若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是－2，求它的另一个根及n的值。（2）若关于x的方程x2＋kx－6＝0的一个根是－2，求它的另一个根及k的值。1.已知一元二次方程的的一个根为1，则方程的另一根为___，m=___：2、已知方程的一个根是1，求它的另一个根和m的值。01932mxx0932mxx例2.已知方程的两根为、，且，求k的值。02)12(2kxkkx1x2x32221xx4、已知关于x的方程x2+(2k+1)+k2-2=0的两根的平方和比两根之积的3倍少10，求k的值.例6方程x2(m1)x2m10求m满足什么条件时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？解:(m1)24(2m1)m26m5①∵两根互为相反数∴两根之和m10,m1,且0∴m1时,方程的两根互为相反数.②∵两根互为倒数m26m5,∴两根之积2m11m1且0,∴m1时,方程的两根互为倒数.③∵方程一根为0,∴两根之积2m10且0,∴时,方程有一根为零.21m21m引申:1、若ax2bxc0(a00)（1）若两根互为相反数,则b0;（2）若两根互为倒数,则ac;（3）若一根为0,则c0;（4）若一根为1,则abc0;（5）若一根为1,则abc0;（6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.一正根，一负根△＞0X1X2＜0两个正根△≥0X1X2＞0X1+X2＞0两个负根△≥0X1X2＞0X1+X2＜0{{{22310200920100xxxx例1、不解方程，写出方程的两根之和与两根之积（1）2（2）22270(1)(1)xx例2、已知、是方程2的两根，不解方程求下列代数式的值（1）（2）（3）（4）22121212430(......)331144xxxxxxxxx例3、若关于的一元二次方程kk的两个实根分别为，，且满足则k的值为A、或B、C、D、不存在2P303Pxx例4、已知一元二次方程的一个根为，则=____2540xx例5、已知2是一元二次方程c的一个根，则方程的另一个根是7例6、已知两个数的和为，积为12，求这两个数12122525xxxx例7、已知，，试求做一个一元二次方程，使该方程的两根分别为，20xpxq例8、小华和小兵两同学分别解形如的一元二次方程，小华看错了一次项的系数p，结果的根1和-3；小兵看错了常数项，结果解得根为4和-2，求这个方程。22()201001120100例9、若非零实数a、bab满足aa，bb则ab222201103xx例10、若、是方程的两根，求的值2211(23)11131xxmxmm例11、已知、是关于的一元二次方程=0的两实根，且，则的值是A、3或B、3C、D、或22x(35)4(1)0xx例12、已知关于