函数与导数典型例题选讲

樊战胜资料（函数与导数典型例题选讲）答疑电话：[phone]第1页共23页函数与导数典型例题选讲1．（重庆市南开中学2010届高三9月月考（文））(1)解不等式213xx;(2)记(1)中不等式的解集为A,函数()lg[(1)(2)],1gxxaaxa的定义域为B.若AB,求实数a的取值范围.【解析】由321xx得:11xx≥0,解得1x或1x,即)1[)1(，，A由0)2)(1(xaax得:0)2)(1(axax由1a得aa21,∴)12(aaB，∵AB,∴21a或11a即12a或2a而1a,∴112a或2a故当AB时,实数a的取值范围是)121[]2(，，2．（天津市第一百中学09-10学年高一上学期第一次月考）求函数()321fxxx的定义域和值域【解析】∵10x∴定义域为1,设1(0)xtt22()22(1)3(0)fxtttt由二次函数的图像得值域为3,3．（浙江温州中学2010届高三9月月考（理））设函数1()1(0)fxxx(1)求()fx的单调区间;(2)是否存在正实数,()abab,使函数()fx的定义域为[,]ab时值域为[,]66ab?若存在,求,ab的值,若不存在,请说明理由.【解析】(1)1()1(0)fxxx樊战胜资料（函数与导数典型例题选讲）答疑电话：[phone]第2页共23页11,111,01xxxx∴()fx在1,上单调增,在0,1上单调减(2)假设存在正实数,()abab,使函数()fx的定义域为[,]ab时,值域为[,]66ab(i)当01ab时,1()1fxx在0,1上单调减,故66bfaafb,即116116baab,解得ab,与已知相矛盾(ii)当1ab时,1()1fxx在1,上单调增,故66afabfb,即116116aabb,∴,ab是方程116xx的两个根,解得3333,ab(iii)当01ab时,由于1,ab,而1066,abf,∴不满足综上(i)(ii)(iii),当3333,ab时满足题意4．（重庆市南开中学2010届高三月考）已知二次函数2()2(,)fxxbxcbcR,且(1)0f.(1)若函数)(xfy与x轴的两个交点)0,(),0,(21xBxA之间的距离为2,求b的值;(2)若关于x的方程0)(bxxf的两个实数根分别在区间)1,0(),2,3(内,求b的取值范围.【解析】(1)由题可知,12121,,2xxcxxb又12|||1|213xxcc或02b或(2)令22()()(21)(21)1gxfxxbxbxbcxbxb樊战胜资料（函数与导数典型例题选讲）答疑电话：[phone]第3页共23页由题,5(3)07(2)0115(0)05571(1)0bggbbgbg5．（重庆市南开中学2010届高三9月月考（文））已知奇函数122)(xxbaxf的反函数)(1xf的图象过点)13(，A.(1)求实数ba,的值;(2)解关于x的不等式mxf)(1(m为参数).【解析】(1)由)(xf是奇函数可得)1()1(ff即012121122bababa又)(1xf过点)13(，A)(xf过点)31(，32ba所以,1ba;(2)xxxf2121)()11(11log)(21xxxxxf或01)21()21(21111log2xxxxmxxmmm当0m时,mmx2121或1x;当0m时,1x;当0m时,12121xmm.6．（福建省泉州七中2010届高三第一次月考（理））设函数)(xf=21mxx的图象的对称中心为点(1,1).(1)求m的值;(2)判断并证明函数)(xf在区间(1,+∞)上的单调性;(3)若直线y=a(a∈R)与)(xf的图象无公共点,且)23|2(|tf2a+)4(af,求实数t的取值范围.樊战胜资料（函数与导数典型例题选讲）答疑电话：[phone]第4页共23页【解析】(1)由)(xf=2()(1)21mxfxxmxx.)(1xf=2xxm,∴m=1;(2)任取1x、2x∈(1,+∞),且设1x2x,则:)(1xf-)(2xf=)1)(1()(32112xxxx0,∴)(xf=12xx在(1,+∞)上是单调递减函数;(3)当直线y=a(a∈R)与)(xf的图象无公共点时,a=1,∴)23|2(|tf2+)4(f=4=)2(f,|t-2|+232,得:t25或t237．（湖北省宜昌一中2010届高三9月月考（理））已知函数xf定义域是RxZkkxx,,2,且02xfxf,xfxf11,当121x时:xxf3｡⑴判断fx的奇偶性,并说明理由;⑵求xf在21,0上的表达式;⑶是否存在正整数k,使得x12,212kk时,kkxxxf2log23有解,并说明理由｡【解析】(1)xfxfxfxf11112,所以xf的周期为2所以002xfxfxfxf,所以xf为奇函数(2)任取xfxfxfxxx111,211,0,2121,0,11331xxxf(3)任取kxkxfxfkxkkx232,1,21212,212∴223log(3)2xkxkxk在12,212xkk有解，即210xkx在12,212xkk有解，*kN樊战胜资料（函数与导数典型例题选讲）答疑电话：[phone]第5页共23页所以1(0,1)2,212kkk所以*112()2kkkN，无解。所以不存在这样的*kN8．（湖南省长郡中学09-10学年高一上学期第一次月考）某公司要将一批不易存放的蔬菜从A地运到B地,有汽车、火车两种运输工具可供选择,两种运输工具的主要参考数据如下表:运输工具途中速度(km/h)途中费用(元/km)装卸时间(h)装卸费用(元)汽车50821000火车100442000若这批蔬菜在运输过程(含装卸时间)中损耗为300元/h,设（）A．B两地距离为xkm(I)设采用汽车与火车运输的总费用分别为()fx与()gx,求()fx与()gx;(II)试根据A．B两地距离大小比较采用哪种运输工具比较好(即运输总费用最小).(注:总费用=途中费用+装卸费用+损耗费用)【解析】由题意可知,用汽车运输的总支出为:()81000(2)300141600(0)50xfxxxx用火车运输的总支出为:()42000(4)30073200(0)100xgxxxx(1)由()()fxgx得16007x;(2)由()()fxgx得16007x(3)由()()fxgx得16007x答:当A．B两地距离小于16007km时,采用汽车运输好当A．B两地距离等于16007km时,采用汽车或火车都一样当A．B两地距离大于16007km时,采用火车运输好9．（2010北京海淀区高三年级第一学期期中练习理）设函数1(0)11[][[][xxfxxxxxx,其中[x表示不超过x的最大整数,如1[2]=2,[]0,[1.8]13.(Ⅰ)求3()2f的值;樊战胜资料（函数与导数典型例题选讲）答疑电话：[phone]第6页共23页(Ⅱ)若在区间[2,3)上存在x,使得()fxk成立,求实数k的取值范围;(Ⅲ)求函数()fx的值域.【解析】(Ⅰ)因为32[]1,[]023,所以3231323().3232212[][][][]12323f(Ⅱ)因为23x,所以,则.求导得211()(1)3fxx,当23x时,显然有()0fx,所以()fx在区间[2,3)上递增,即可得()fx在区间[2,3)上的值域为510[,)69,在区间[2,3)上存在x,使得()fxk成立,所以56k(Ⅲ)由于()fx的表达式关于x与1x对称,且x0,不妨设x1.当x1时,1x1,则112f;当x1时,设xn,nN*,01.则xn,10x,所以1()1nnfxfnn1gxxx设,'21()10,gxx()gx在1,上是增函数,又1nnn,11nnnnnn,当2x时,1111,,211nnnnnfxInnnn*N当(1,2)x时,15(1,4fxI故(1,)x时,()fx的值域为I1∪I2∪…∪In∪…1[]2,[]0xx11()()3fxxx樊战胜资料（函数与导数典型例题选讲）答疑电话：[phone]第7页共23页设22111111,11111nnnnnnnabnnnnn,则,nnnIab.1212nnnaannn,当n2时,a2a3a4…an…又bn单调递减,b2b3…bn…a2,b2I2I3I4…In1112225510,1,,,,469IabIabI1∪I2∪…∪In∪…I1∪I25510551,,,46964.综上所述,()fx的值域为155,26410．（武汉二中08-09学年高二年级下学期期末）设函数()fx定义在R上,对任意的,mnR,恒有()()()fmnfmfn,且当1x时,()0fx.试解决以下问题:(1)求(1)f的值,并判断()fx的单调性;(2)设集合(,)|()()0,(,)|(2)0,AxyfxyfxyBxyfaxyaR,若AB,求实数a的取值范围;【解析】(1)在()()()fmnfmfn中令1mn,得(1)0f;设120xx,则121xx,从而有12()0xfx所以,11122222()()()()()xxfxfxfxffxxx所以,()fx在R上单调递减(2)22()()()0(1)fxyfxyfxyf,由(1)知,()fx在R上单调递减,22001xyxyxy,故集合A中的点所表示的区域为如图所示的阴影部分;而(2)0(1)faxyf,所以,10axy,故集合B中的点所表示的区域为一直线,如图所示,由图可知,要AB,只要1a,∴实数a的取值范围是(,1)11．（安徽省利辛中学2010届高三第二次月考（理））已知函数)(xf是定义在[-1,1]上的奇函数,且1)1(f,若Oyx1yax樊战胜资料（函数与导数典型例题选讲）答疑电话：[phone]第