函数与导数压轴题 二轮专用

中小学教育资源交流中心提供函数与导数第一轮补充练习函数与导数相结合压轴题精选(一)1、设1x、2x是函数)0(23)(223axaxbxaxf的两个极值点，且2||||21xx．（1）证明：10a；（2）证明：934||b；（3）若函数)(2)()(1xxaxfxh，证明：当21xx且01x时，axh4|)(|解：（1）22)(abxaxxf．∵21,xx是)(xf的两个极值点，∴21,xx是方程0)(xf的两个实数根．1分∵abxxaxxa2121,0,0．2分∴aabxxxx4||||||222121．3分∵322222144,44,2||||aabaabxx即．4分∵10,02ab．5分（2）设3244)(aaag，则)32(4128)(2aaaaag．6分由1320)(,3200)(aagaag，8分得)(ag在区间)32,0(上是增函数，在区间1,32(]上是减函数，∴2716)32()(maxgag．9分∴934||b．10分（3）∵21,xx是方程0)(xf的两个实数根，))(()(21xxxxaxf．11分)2)(()(2))(()(21121xxxxaxxaxxxxaxh．中小学教育资源交流中心)2|2|||(|2|||||)(|xxxxaxxxxxxaxh．12分111||,xxxxxx．又22.0,0,022211xxxxx．∵xxxxxxx2|2|.02,2222．∴42|2|||1221xxxxxx．∴axh4|)(|．14分2、已知函数),()1(2131)(23为常数cbcxxbxxf.（Ⅰ）若31)(xxxf和在处取得极值，试求b、c的值；（Ⅱ）若),(),,()(21xxxf在上单调递增且在),(21xx上单调递减，又满足,112xx求证：);2(22cbb（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若121,xcbttxt与试比较的大小，并加以证明.解：（Ⅰ）cxbxxf)1()(2，由题意得，1和3是方程cxbx)1(2=0的两根，∴.3,3,31,311cbcb解得…………4分（Ⅱ）由题得，当0)(,),(;0)(,),(),,(2121xfxxxxfxxx时时∴cxbxxfxx)1()(,221是方程的两根，则cxxbxx2121,1…6分∴14)1(42)2(2222cbcbbcbb1)(14)(21221221xxxxxx,112xx∴,01)(212xx∴)2(22cbb…………9分（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，),)(()1(212xxxxcxbx即xxxxxcbxx))((212…………12分所以，)1)(())((2112112xtxtxtxtxtxcbxt，,1112txx∴,0,0112xtxt又∴01xt∴,0)1)((21xtxt即.12xcbxt…………14分中小学教育资源交流中心、已知函数.||1)(xaxf（1）求证：函数),0()(在xfy上是增函数.（2）若),1(2)(在xxf上恒成立，求实数a的取值范围.（3）若函数],[)(nmxfy在上的值域是)](,[nmnm，求实数a的取值范围.解：（1）当.1)(,),0(xaxfx时用定义或导数证明单调性均可…………3分（2）),1(21在xxa上恒成立.设),1()(12)(在则xhaxxxh上恒成立.可证),1()(在xh单调增……………5分故3)1(aha即a的取值范围为]3,(…………6分（3）)(xf的定义域为0},0|{mnRxxx…………7分当),0()()1(,0在知由时xfmn上单调增)(),(nfnmfm故012axx有两个不相等的正根m，n，200aa………………9分当0nm时，可证)0,()(在xf上是减函数.01,)(),(amnnmmfnnfm此时故而…………11分综上所述，a的取值范围为),2(}0{…………12分4、已知二次函数)(xf满足：①在1x时有极值；②图像过点)3,0(，且在该点处的切线与直线02yx平行。(1)求)(xf的解析式；(2)求函数1,0),()(xxefxgx的值域；(3)若曲线)(xefy上任意两点的连线的斜率恒大于aa1，求a的取值范围。中小学教育资源交流中心)(122)0(02)3,0(020)1(12)(133)0()0(,)()1(22xxxfabfyxbafxbaxxfcfacbxaxxf分得解不等式分率恒大于上任意两点的连线的斜曲线分为增函数时〉为减函数，时又分设分，的值域是分上的增函数，为时分则设120,0221211121)(10)(,0)(2ln)(,0)(2ln92121)21(2)2(2)(32)()()()3(8324)(,4)1()(7,010)(0105),1()2(22222aaaaaaefyxhxhxxhxhxeeexheeefxheexguufeuxuuxxexeeuxeuxxxxxxxxxxx5、已知函数aaxxgxxf(21)(,ln)(2为常数），直线l与函数)(xf、)(xg的图象都相切，且l与函数)(xf图象的切点的横坐标为1．（1）求直线l的方程及a的值；（2）若)1()(xfxhg′)(x[注：g′)(x是g)(x的导函数]，求函数)(xh的单调递增区间；（3）当Rk时，试讨论方程kxgxf)()1(2的解的个数．解：（1）由1|)(1xxf，故直线l的斜率为1，切点为（1，)1(f），即（1，0），∴直线l的方程为1xy．2分直线l与)(xgy的图象相切，等价于方程组axyxy221,1只有一解，即方程0)1(212axx的两个相等实根，∴0)1(2141a，∴21a．（2）∵)1()1ln()(xxxxh，由1111)(xxxxh，7分中小学教育资源交流中心提供,011,0)(xxh∴01x，∴当x)0,1(时，)(xf是增函数，即)(xf的单调递增区间为（1，0）9分（3）令2121)1ln()()1(2221xxxgxfy，ky2．由223211)1)(1(112xxxxxxxxxxy，令01y，则0x，1，1．11分当x变化时，11,0yy的变化关系如下表：x（1,）－1（－1，0）0（0，1）1（1，）y+0－0+0－y极大值2ln极小值21极大值2ln又2121)1ln(221xxy为偶函数，据此可画出2121)1ln(221xxy的示意图如右图：当),2(lnk时，方程无解；当2lnk或)21,(k时，方程有两解；当21k时，方程有三解；当)2ln,21(k时，方程有四解．14分6、已知b＞1，c＞0，函数()fxxb的图像与函数2()gxxbxc的图像相切．（Ⅰ）设()bc，求()c；（Ⅱ）设()()()gxDxfx(其中x＞b)在[1,)上是增函数，求c的最小值；（Ⅲ）是否存在常数c，使得函数()()()Hxfxgx在(,)内有极值点？若存在，求出中小学教育资源交流中心的取值范围；若不存在，请说明理由．（Ⅰ）【方法一】由2()()(1)0fxgxxbxcb，依题设可知，2(1)40bc．∵b＞1，c＞0，∴12bc，即()21bcc．【方法二】依题设可知()()fxgx，即21xb，∴12bx为切点横坐标，于是11()()22bbfg，化简得2(1)4bc．同法一得()21bcc．（Ⅱ）依题设2()xbxccDxxxbxb，∴2()1(1)(1)()cccDxxbxbxb．∵()Dx在[1,)上是增函数，∴(1)(1)ccxbxb≥0在[1,)上恒成立，又x＞b，c＞0，∴上式等价于1cxb≥0在[1,)上恒成立，即c≤xb，而由（Ⅰ）可知c≤21xc，∴c≥1x．又函数1x在[1,)上的最大值为2，∴c≥2，解得c≥4，即c的最小值为4．（Ⅲ）由2322()()()2()Hxxbxbxcxbxbcxbc，可得22()34()Hxxbxbc．令2234()0xbxbc，依题设欲使函数()Hx在(,)内有极值点，则须满足24(3)4(41)bccc＞0，中小学教育资源交流中心＞0，解得c＜23或c＞23，又c＞0，∴0＜c＜743或c＞743．故存在常数(0,743)(743,)c，使得函数()Hx在(,)内有极值点．（注：若△≥0，则应扣1分．）7、已知Rm，研究函数xemxmmxxf63)1(3)(2的单调区间解：222)(]63)1(3[)]1(32[)(xxeemxmmxemmxxf=xexmmx3)3(2.……………………3分记.0,3)3()(2xexmmxxg只需讨论)(xg的正负即可.（1）当.33)(,0xxgm时当.0)(,1,0)(;0)(,1,0)(xfxxgxfxxg时当时).,1(),1,()(,0减区间为的增区间为时当xfm…………5分（2）当1,3;0)(,021xmxxgm有两个根时，①当.0)(,0)(,),3(),1,(,,021xfxgmxxm即上在区间时)(xf在此区间上是增函数；在区间.0)(,0)(,)3,1(xfxgm即上)(xf在此区间上是减函数；……………………7分②当,,3021xxm时在区间.0)(,0)(,),1(),3,(xfxgm即上)(xf在此区间上是减函数；在区间.0)(,0)(,)1,3(xfxgm即上)(xf在此区间上是增函数；………………9分当.0)(,0)(,),1(),1,(,,321xfxgxxm即上在区间时1)(xxf在处连续，)(xf在),(上是减函数；…………11分④当21,3xxm时，在区间.0)(,0)(,),3(),1,(xfxgm即上中小学教育资源交流中心提供)(