韩国平考研数学必背问题2

考研数学必背的内容CH9线积分面积分（6~10）○1曲线:Lxyybxa，则dxyxyxFdsyxFbaL2'1,,；○2曲线:Ltxx，tyyt，则dtyxtytxFdsyxFL22'',；○3曲线:Lrr，，则drrrrFdsyxFL22sincos,，；○4曲线:Ltxx，tyy，tzz，则dtzyxtztytxFdszyxFT222''',,,,注：积分下限必小于上限○1曲线段的长度：Llds，Tlds；○2曲线段的质量：dsmL，dszyxm,,；○3曲线的重心坐标：dsdsxxLL，dsdsyyLL，dsdskkLL；○4转动惯量：平面：dsyxyILx,2；空间：dszyxzyILx,,22对坐标的曲线积分计算：○1:Lxyy：起点ax，终点bx，则dxxyxyxQxyxpQdypdxbaL',,；○2txxL:，tyy：起t，终点t，则dttytytxQtxtytxpQdypdxL,',；○3rrL:：起点，终点，则drQrrrpQdypdxL'sin'cossin,cos；○4空间曲线:Ttzztyytxx,,，起点t，终点t，则dttRzQytpxRdzQdydxzyxpT''',,两种曲线积分之间的关系：dsQpQdypdxLLcoscos，dsdxcos，dsdycos，曲线切向量的方向余弦dsrRQpRdzQdypdxLLcoscoscos，dsdxcos，dsdycos，dsdzrcos格林公式：设函数yxQyxp,,,在域D及其边界L上具有一阶连续偏导数，则dxdyyPxQQdyPdxDL，L取正向平面曲线积分与路径无关的等价命题(单连通域)（1）LPdxQdy在D内与路径无关；（2）0QdyPdxL，L为D内任一分段光滑闭曲线；（3）yPxQ；（4）存在yxu,，使QdyPdxdu，且dyyxQdxyxPyxuyyxx00,,,0注：如果yPxQ，21LL、包围同一瑕点，则：12LL空间曲线积分：RdzQdyPdxT与路径无关xQyP，yRzQ，zPxR注：力RkQjPiF沿作功：LRdzQdyPdxW对面积的曲面积分○1yxzz,：：dxdyzzyxzyxfdszyxfyxDxy221,,,,,；○2zxyy,:：dxdzyyzzxyxfdszyxfzxDxz221,,,,,；○3zyxx,:：dydzxxzyzyxfdszyxfzyDyz221,,,,,（4）应用：○1曲面的质量：dszyxm,,；○2曲面的重心坐标：dsdszyxkk,,，k为,,xyz○3曲面的转动惯量：dszyxzyIx,,22，yI=22,,xzxyzds对坐标的曲面积分计算：○1yxzz,:，投影域xyD，则dxdyyxzyxRdxdyzyxRxyD,,,,,；○2:zyxx,，投影域yzD，则dydzzyzyxPdydzzyxPyzD,,,,,；○3zxyy,:，投影域xzD，则dxdzzzxyxQdxdzzyxQxzD,,,,,注：1、与法向量与相应坐标轴的夹角有关：锐角，钝角负2、负侧正侧法向量的指向两种曲面积分之间的关系：dsrRQPRdxdyQdzdxPdydzcoscoscos，其中rcoscoscos、、为曲面的法向量的方向余弦高斯公式：设zyxRzyxQzyxP,,,,,,、、在空间闭域上具有一阶连续偏导数，则PQRPdydzQdzdxRdxdydvxyz，其中是的边界曲面外侧注：○1一阶连续偏导；○2外侧；○3闭曲面.斯托克斯定理：设函数zyxRzyxQzyxP,,,,,,、、在包含曲面的空间域内具有一阶连续偏导数，设为曲面的边界曲线，则RQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdx流体流过曲面的流量：RdxdyQdzdxPdydz梯度、散度、旋度：设zyxuu,,，则梯度：kzujyuixugradu；RkQjPiA，则散度：zRyQxPdirA，旋度：RQPzyxkjiArotCH10级数（8~10）○1nu收敛，则称nu绝对收敛；○2nu收敛，nu发散，则称nu条件收敛性质：（1）若nu收敛，其和为,sk为常数，则1nnku也收敛，且其和为ks（2）若级数nnuV、分别收敛于S和T，则nnuv也收敛，且收敛于ST注：○1如一发散，一收敛，则其代数和发散；○2如两发散，则结论不一定（3）在级数前面增加、减少或改变有限项，并不影响其敛散性，但级数收敛时，仅可能改变其和（4）收敛级数的各项按原次序分组加括号所得新级数仍收敛，且其和不变（5）若级数1nnu收敛，则0limnu注：若lim0nu，则nu发散定理及审敛法（1）正项级数nu收敛部分和数列nS有界；（2）比较审敛法：○1设nnvu、都是正项级数：A、若从某项起，有0,kNnKVunn且nV收敛，则nu也收敛；B、若从某项起，有nnuKV且nu发散，则nV也发散○2设nnVu、是两个正项级数，且llVunnn0,lim，则nnVu、同敛散注：对于正项级数可利用等价无穷小代换，只能用在(正项或负项)级数（3）比值审敛法：设有正项级数1nnu，若1limnnnupu，则：○1当01p时，级数nu收敛；○21p时，级数nu发散注：含!n或n的乘积形式（4）根值审敛法：设有正项级数1nnu，若limnnnup，则：○110p时，级数nu收敛；○21p时，级数nu发散注：含以n为指数的因子（5）交错级数审敛法：若交错级数11(1)nnnu满足：○11nnuu；○20limnnu，则该交错级数收敛，且其和1us，其余项的绝对值1nnur（6）绝对收敛定理：若nu收敛，则nu也收敛注：○1改变绝对收敛级数项的次序所得的新级数仍绝对收敛，且与原级数有相同的和；○2设级数nnvu、都绝对收敛，它们的和分别为S和T，则它们逐项相乘后，依任意方式排列所得级数仍绝对收敛，且其积为ST公式：（1）11pnn：1p时收敛，1p时发散；（2）1nna：1a时收敛，1a时发散；（3）11lnpnnn：1p时收敛，1p时发散；函数项级数定理公式：（1）阿贝尔引理：若幂级数nnax：当0xx时收敛，则对0xx的x，nnax绝对收敛；当0xx发散，则对0xx的x，nnax发散注：收敛点是连成一片的（2）设R是幂级数nnax的收敛半径，且1limnnnapa：○1当0p时，1Rp；○20p时，R；○3p时，0R（3）幂级数的分析运算性质：设幂级数0nnnaxSx，其收敛半径为0R，则：○1和函数Sx在,RR内连续；○2和函数Sx在,RR内可导，且0nnnSxax；○3和函数Sx在,RR内任何区间上可积，且dttadxxSnnxnx000注：逐项求导，逐项积分并不改变收敛半径，但可改变端点的敛散性（4）几个重要的麦克劳林展开式：!!212nxxxenx；3521sin13!5!21!nnxxxxxn；242cos112!4!2!nnxxxxn；nnxnxxxx1321321ln；nxnnxxx!11!21112；（5）泰勒定理：设()fx在点0x的某个邻域内具有任意阶导数，则()fx在0x处的泰勒级数在该邻域内收敛于()fx的充要条件是：当n时，()fx在点0x的泰勒级数余项0xRn注：()fx在点0x的幂级数展开式000()!nnnfxfxxxn付立叶级数：○1()fx是周期为2的周期函数：则nxdxxfancos1，nxdxxfbnsin1○2()fx在,ll上以2l为周期：dxlxnxflallncos1，dxlxnxflbllnsin1○3fx在,ab上：dxabxnxfababan2cos2，dxabxnxfabbban2sin2（4）付立叶级数：以付立叶系数nnba、构成的三角级数01cossin2nnnaanxbnx付立叶级数（4）正弦级数、余弦级数（奇偶延拓）只含正弦项的级数正弦级数；只含余弦项的级数余弦级数注：奇延拓正弦即：奇函数正弦偶延拓余弦偶函数余弦定理如fx在，上满足：（1）连续或只有有限个第一类间断点；（2）至多有有限个极值点,则xf的付立叶级数Sx在,ab上收敛，且：○1x为fx的连续点，xfxs○2x为fx的间断点，2xfxfxs○3x为fx的端点，bxax,,2bfafxs微分方程（8~12）1、如果1y、2y是二阶线性齐次方程：0)(')(''yxQyxpy的两个解，则2211ycycy也是它的解，其中21cc、是任意常数；2、如果12yy、是'''0ypxyQxy的两个线性无关的解，则2211ycycy就是该方程的通解；3、如果y是二阶非齐次线性方程：xfyxQyxpy')(''的一个特解，而Y是它对应的齐次方程的通解，则yYy是该非齐次方程的通解；4、如果1y是)('''1xfyxQyxpy的解，2y是)('''2xfyxQyxpy的解，则2121)(')(''ffyxQyxpyyy是的解CH1行列式(4~6)性质：①行与列互换，其值不变；②行列式的两行或两列互换，行列式改变符号；③行列式中某行（列）的公因子可提到行列式的外面，若以一个数乘行列式等于用该数乘行列式的任意一行（列）；④行列式中若有两行（列）成比例，则该行列式为零；⑤若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两行列式之和：nnnnniiinnnnniniinnnnnininiiiinaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa21211121121211121121221111211''''''⑥把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然