钢结构规范二阶分析理解

钢结构规范二阶分析理解北京首钢国际工程技术有限公司张渊整理Part1欧拉公式的定义轴向受压的理想直杆，在下图所示与直线平衡构形无限接近的微弯曲构形的局部的平衡条件。得到任意截面x上的弯矩为：M(x)=𝐹𝑥𝑤(𝑥)（1-1）由小饶度微分方程：M(x)=−EId2w(x)dx2（1-2）得到：d2w(x)dx2+k2w=0（1-3）这是压杆在微弯屈曲构形时的平衡方程，是用平衡方法确定交叉荷载的主要依据，其中：w=w(x),k2=FpEI（1-4）该平衡方程的解可以写成：w=Asinkx+Bcoskx（1-5）利用两端的边界条件w(0)=0；w(L)=0得到：{0∙A+B=0sinkL∙A+coskL∙B=0（1-6）根据线性代数知识，A，B不全为零的条件是系数行列式等于零，即：|01sinkLcoskL|=0由此解得到：sinkL=0于是有kL=0，π，2π，⋯，nπ，即kL=nπ(n=1,2,⋯)从中解出k式后带入（1-4），便得到所要求的分叉荷载的表达式：Fpcr=n2π2EIL2（1-7）当n=1是，由上式得到有实际意义的分叉荷载的最小值：Fpcr=π2EIL2（1-8）从（1-6）式的第一式求解出B=0，连同k=nπ/L一同带入（1-5）得到与直线平衡构形无限接近的屈曲模态：w(x)=AsinnπxL（1-9）这是n个正弦半波，时中A称屈曲模态幅值，它是个不定常数。不同刚性支撑条件下，由静力学平衡方法得到的压杆的平衡微分方程和边界条件都可能各不相同，确定分叉荷载的表达式亦以此而异，但是其基本分析方法是相同的，对于长细杆，这些公式可以写成通用形式：Fpcr=π2EI（μL)2（1-10）这一表达式称为欧拉公式，其中μL为不同压杆屈曲后绕曲线上正弦半波的长度，称为有效长度（effectivelength），μ为反应不同支座约束影响的系数，称为长度系数（coefficientoflength）。需要注意的是，上述分叉荷载公式只有在压杆的微弯曲状态下仍处于弹性范围是才是成立的，也即当压杆有截面进入弹塑性，该公式将不再成立。此外，（1-10）中的长度系数μ可由屈曲后的正弦半波长度与两端铰支压杆初始屈曲时的正弦半波长度的比值确定。Part2何为一阶分析，何为二阶分析在钢结构进行分析时，先应搞清楚什么是一阶，什么是二阶。在结构设计中，当平衡方程按结构变位前的轴线建立时，称为一阶，也称几何线性；当平衡方程按结构变位后的轴线建立称为二阶，也称为几何非线性。在明确了何为一阶，何为二阶后，根据应变与位移的关系为线性和非线性（既结构截面进入弹塑性阶段），对钢结构框架的设计有可分为如下常用的四种方法：一阶弹性分析二阶弹性分析一阶弹-塑性分析二阶弹-塑性分析注：其实还有一阶刚-塑性分析和二阶刚-塑性分析，具体可见吕烈武等编著《钢结构构件稳定理论》，由于应用不多，所以一般书中并没有提及。一阶弹性分析方法就是初等结构力学中的结构分析方法。这里有一个大家很熟知的假定：1)材料本构方程（应力-应变方程式）假设为线弹性。还有两个常常被大家忘记了的基本假设：2)小位移，此假设得应变与位移的关系为线性，如梁的变形弹性曲线转角为位移的一阶导数，曲率为位移的二阶导数。3)平衡方程式建立在结构变形之前的几何状态上，不考虑结构受力后产生的变形对结构受力的影响。此三个基本假设确定了一阶线性分析方法是只考虑结构材料与几何均为线性的分析方法。此外一阶线性分析方法还忽略结构实际存在的缺陷：1)框架整体几何缺陷，安装偏差引起的节点坐标与理想位置的偏差。2)杆件初始缺陷，钢构件中由热轧、冷热加工和切割引起的初始残余应力，以及构件的初始弯曲，轴压力的初始偏心等。以一个中心受压的压杆为例，一阶线性分析方法假设压杆是绝对直杆，无初始残余应力，中心受压无初始偏心。当然这些假设均与实际工程中的结构不符，必须用其它方法解决，而无法在一阶线性分析方法的框架内解决。再以一个框架为例，如果其整体抗侧移刚度很差，如果在施工过程中存在整体几何缺陷，也即施工时的构件安装偏差，这样结构底部构件在竖向力的作用下就会有初始弯矩，当然这样一阶线性分析方法也是无法解决的。综上所述，正如下图所示，二阶分析时包含P-Δ和P-δ双重的分析，也即框架整体层面上的P-Δ效应和单根杆件层面上的P-δ效应。也即在实际的结构中，通常P-Δ效应是针对结构的整体而言，是一个相对宏观的概念，而P-δ效应是针对具体的单个构件而言的。Part3一阶分析方法的缺点欧拉于1744年得到了细长压杆失稳后弹性曲线的精确解及压曲载荷的计算公式。这就是大家熟悉的压杆欧拉临界屈曲荷载计算公式，此方法比一阶线性分析方法向前推进了一步，考虑了压杆失稳变形对受力的影响，也就是轴压力作用在失稳后的弹性曲线所引起的压杆内的弯矩。这就是二阶效应。各种不同边界条件的压杆，理论上可以通过一个计算长度系数换算成一个等效长度的两端简支压杆来计算临界屈曲荷载。这就是2003版钢结构设计规范直到现在还在使用的计算长度法(EffectiveLengthMethod).此方法有两大缺陷：1)边界条件复杂、弹性约束情况下，压杆计算长度难以确定。2)计算/有效长度是个细长压杆的弹性屈曲失稳概念，用在工程中常见的中等和短处压杆的弹塑性压杆屈曲失稳上并非站得住。所以近十年来欧美钢结构设计规范抛弃计算长度法而推崇在分析中直接考虑各种效应的直接分析法。Part4缺陷的简化分析结构和杆件不可避免的都会存在各种几何和物理的缺陷，而这些缺陷会直接影响结构的稳定承载力，因此用于工程设计的分析必须能反应缺陷的影响。使用二阶弹性分析计算稳定时，最重要的一步是对结构的缺陷的估计和模拟，这往往也是最困难的一步。到目前为止的所有的有限元软件都对此不能自动的完成，而需要人工的干预。第一种考虑缺陷的方法是将所有的结合和物理缺陷，都通过等效的几何缺陷来考虑，也就是考虑相应的结构和杆件的变形。德国标准DIN18800part2中认为，等效的几何缺陷包括了几何缺陷，材料的非均匀性以及塑性区域的开展。这种方法对于框架而言就是结构的初始侧移缺陷（swayimperfection），该侧移缺陷会加强结构的P-Δ效应；同样这种方法对于杆件而言就是杆件的初始弯曲缺陷（bowimperfection），该缺陷会加强杆件P-δ效应。等效的几何缺陷一般是通过考虑结构的最低阶屈曲模态来考虑结构的整体缺陷，这是因为最低阶屈曲模态对应使得结构产生屈曲的荷载值最小。一般的做法就是使用有限元软件先对结构进行线性屈曲分析（bucklinganalysis），得到结构的最低阶屈曲模态后，通过数据处理再将其指定回结构，也就是使得结构整体或者杆件具有最低阶屈曲模态的变形形状，当然具体变形的数值，各国规范各不相同。例如对于使用等效的几何缺陷来考虑结构各种缺陷，建成后结构节点坐标与理想结构节点坐标的偏差正好与第一阶弹性屈曲模态相符。对常见的框架结构，欧盟和香港钢规取结构初始几何缺陷的层间偏差角为1/200见下面图。对非框架结构，香港钢规建议结构整体初始几何缺陷取第一阶弹性屈曲模态，最大偏差取结构高度的1/200.对于杆件而言，一般都将这些构件初始缺陷的总效应用一个等效的构件初弯曲来代表，如下图。初弯曲曲线与连接构件两端节点的弦直线（chord）之间的偏差用半个正弦波来表示。中点与弦之间的最大偏差e0香港钢规建议在L/200到L/550，EC3建议在L/150到1/350.上面是考虑缺陷的一种方法，此外在AISC360的直接分析方法（Directanalysismethod）中，采用了有别于前面的思路。要求在二阶分析过程中同时考虑下列三种因素。1）结构的初始几何缺陷；2）材料的塑性；3）主要抗侧结构刚度的折减。相对于前面只考虑一个大的涵盖所有因素的等效几何缺陷的方法，这种方法明显麻烦很多。Part5框架结构进行整体分析时，一阶分析及二阶分析各自适用范围的确定基于上面的原因，在研究框架的稳定问题时，正确的分析方法都应该是考虑位移对内力产生的影响，也就是分析时应该根据位移后的结构建立平衡方程，即采用二阶分析方法。之前由于计算机硬件的关系，采用二阶分析有困难，所以一般都使用一阶分析来计算框架内力，框架在平面内的稳定问题则采用框架柱的计算长度l0=𝜇𝑙（𝜇为计算长度系数，𝑙为柱的几何长度）来解决，当然，𝜇值的确定是以已经发生位移的结构为依据的。严格来讲，这种一阶分析方法加计算长度来处理稳定问题的方法是一种近似方法。在一定条件下，如水平和竖向荷载不很大而侧向刚度较大的单层框架，误差不大，而竖向荷载或侧移较大时，误差就较大。一阶分析加计算长度来处理框架结构的稳定问题，其误差主要取决于侧移或竖向荷载的大小，侧移和竖向荷载大，误差就大，侧移和竖向荷载小，误差就小。当然随着计算机计算和结构分析理论的发展，当使用二阶分析来计算框架内力已经不成问题的时候，对原来最初使用一阶分析方法误差大的结构，就应该建议使用二阶分析方法。由上面分析可知，侧移和竖向荷载是决定是否使用二阶分析方法的因素，这里便存在一、二阶分析各自适用的范围判定。这样便有了侧移敏感结构和侧移不敏感结构的划分。这里童根树《钢结构设计方法》书中3.4节有详细的说明。如果一个结构满足下式：剪切型结构V𝑖S𝑖∙ℎ𝑖0.1𝑖=1,2,⋯⋯𝑛弯剪型结构V0.7∑𝜋2𝐸𝐼𝐵0.34𝐻2(1+𝜋2𝐸𝐼𝐵0.34𝐻2𝑆𝐵0.3)+ℎ0.7𝑆0.7≤0.1𝑖=1,2,⋯⋯𝑛弯曲型结构4V0.7𝐻2∑𝜋2𝐸𝐼𝐵0.3≤0.1则这个结构为侧移不敏感结构。𝑉𝑖-----第i层及其以上各层的竖向荷载总和；𝑆𝑖-----第i层的层抗侧移刚度，是各片剪切型结构层抗剪刚度之和；不包含弯曲型和弯剪型支撑架截面的层抗侧刚度。ℎ𝑖-----第i层的高度；V0.7-----距离地面0.7H处楼层（称为荷载代表层）一以上的总竖向荷载；𝐸𝐼𝐵0.3-----各片弯曲型支撑架截面等抗弯刚度。侧移敏感和侧移不敏感结构的区分是随着二阶分析方法的引入而引入的。在英国BS5950规范，EC3规范均有这个分类。但是国内03版的钢结构设计规范只有剪切型结构的公式来作为是否侧移敏感的判断依据。这方面详细的解释可见童根树书中39页的解释。Part6框架结构进行二阶分析时采用的假想荷载法作为最简单的二阶分析方法，假想荷载法（NotionalLoadApproach）被引入各个国家的钢结构设计规范。这是因为，研究认为，钢结构的缺陷可以综合起来由附加的假象水平力统一体现。也就是在在进行二阶分析时，应在每层柱顶附近考虑由规范公式（3.2.8-1）计算的假想水平力Hni。当柱顶有安装偏差即初始侧移Δ0时，存在倾覆力矩P∙Δ0（图1），它可以由柱顶等效的水平力H=P∙Δ0/h=ψP来替代（图2），次力就具有假想荷载性质。然而构件还有初弯曲（图3）需要计入。因此假想荷载应在安装偏差的基础上加以放大。构件的初始弯曲不能仅仅考虑制造偏差，还需同时将计入残余应力的影响。采用假想荷载法避免了弹性分叉屈曲计算，把问题完全放在极限承载力的框架内解决。内力分析可用二阶弹性分析方法，验算柱在框架平面内稳定时计算长度取其几何长度，不再需要乘以系数𝜇。为了使得这样设计的最终结果应和精细的二阶塑性分析的承载力相当，需要对假想荷载进行校核来确定它的取值。研究工作表明，影响假想水平荷载H的因素很多，包括材料强度、框架层数、每层内柱数和柱长细比，并给出相应的修正系数。Clarke和Bridge经过校准计算提出概念荷载系数ψ为：ψ=0.005k𝑦，k𝑦=22√fyE对于fy≈250N/mm2的钢材，ψ值可以取0.004。Luka和Stefamo细致分析了框架层数的影响，指出层数越多则构件缺陷的影响越小，而每层柱数并无显著影响，从而建议取ψ为：ψ=1175√0.2+1/ns式中ns为框架层数。此式中没有考虑材料强度的影响，且在校准计算中考虑初弯曲δ0h=1250,取值偏大。根据压弯构件在平面内稳定的计算原理，设δ