10.03.29高二数学(文)《黄金分割法》(课件)

1.黄金分割常数1.黄金分割常数***探究***对于一般的单峰函数，如何安排试点才能迅速找到最佳点？对于单峰函数，在同侧，离最佳点越近的点越是好点，且最佳点与好点必在差点的同侧．由此，可按如下想法安排试点:先在因素范围[a,b]内任选两点各做一次试验，根据试验结果确定差点与好点，在差点处把[a,b]分成两段，截掉不含好点的一段，1.黄金分割常数***探究***对于一般的单峰函数，如何安排试点才能迅速找到最佳点？留下存优范围[a1,b1],显然有[a1,b1][a,b];再在[a1,b1]内任选两点各做一次试验，并与上次的好点比较，确定新的好点和新的差点，并在新的差点处把[a1,b1]分成两段，截掉不包含新好点的那段，留下新的存优范围[a2,b2]，同样有[a2,b2][a1,b1]……重复上述步骤，可使存优范围逐步缩小.在这种方法中，试点的选取是任意的,只要试点在前一次留下的范围内就行了.这种任意性会给寻找最佳点的效率带来影响.例如，假设因素区间为[0,1]，取两个试点2/10、1/10，那么对峰值在(0,1/10)中的单峰函数，两次试验便去掉了长度为4/5的区间(图1)；但对于峰值在(2/10,1)的函数，只能去掉长度为1/10的区间(图2)，试验效率就不理想了.***思考***怎样选取各个试点，可以最快地达到或接近最佳点?***思考***怎样选取各个试点，可以最快地达到或接近最佳点?我们希望能最快找到或接近最佳点的方法不只针对某个具体的单峰函数,而是对这类函数有普遍意义.由于在试验之前无法预先知道哪一次试验效果好,哪一次差,即这两个试点有同样的可能性作为因素范围[a,b]的分界点,所以为了克服盲目性和侥幸心理,在安排试点时,最好使两个试点关于[a,b]的中心(a+b)/2对称.同时,为了尽快找到最佳点,每次截去的区间不能太短,但是也不能很长.因为为了一次截得足够长,就要使两个试点x1和x2与(a+b)/2足够近,这样,第一次可以截去[a,b]的将近一半.但是按照对称原则，做第三次试验后就会发现,以后每次只能截去很小的一段,结果反而不利于很快接近最佳点.为了使每次去掉的区间有一定的规律性，我们这样来考虑：每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相同.下面进一步分析如何按上述两个原则确定合适的试点..,],[,,2,1,12211221xbaxbaxxxxxx即的中心对称关于且和点分别为试第试点设第如图abx1x2).(],[,,3],[].,(,,.,,)(,12331112112如图的中心对称关于与设试点为次试验内安排第优范围再在存于是舍去是差点是好点设不妨舍去的区间长度都等于由对称性是好点还是差点或点不论点显然xaxxxxabxxxxbxxax1x2x3)1(,,.,)(,.,],(],,[,,,.1211212312232323axxxabxbxxxxbxxaxxxxxx我们有等式成比例舍去的原则按于被舍去的区间长度都等差点是好点还是或点不论点于是原则违背成比例舍去的的长度相同区间的而它的长度与上次舍去舍去区间要是差点时是好点那么当的右侧在点因为如果点左侧应在点点)2(.,11,)1(.,,1211211axaxabaxaxxxabxb即得形变对式例数右边是第二次舍去的比例数左边是第一次舍去的比其中)4(1)3(,,.)2(2121tabaxaxxbtabaxt可得则由即数为前全区间的比例弃后的存优范围占舍弃设每次舍比例数范围占舍弃前全区间的的存优两边分别是两次舍弃后式.01,1),5()4()3()5(,)2(2121tttttabaxabaxabax即得代入与把得由式.618.0,,618.0,,215.,.,,.251,251121法也把黄金分割法叫做相应地我们往往取其近似值具体应用时无理数是由于割法试点的方法叫做黄金分确定利用黄金分割常数试验方法中表示用常数这就是黄金分割为对本问题有意义的根其中解得ttt2.黄金分割法——0.618法2.黄金分割法——0.618法[例1]炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料，使炼出的钢满足一定的指标要求.假设为了炼出某种特定用途的钢，每吨需要加入某元素的量在1000g到2000g之间，问如何通过试验的方法找到它的最优加入量？[例2]若某原始的因素范围是[100,1100],现准备用黄金分割法进行试验找到最优加入量.分别以an表示第n次试验的加入量(结果都取整数).(1)求a1，a2.(2)若干次试验后的存优范同包含在区间[700,750]内,请写出{an}的前6项.(3)在条件(2)成立的情况下，写出第6次试验后的存优范围.解：(1)由黄金分割法知：第一次的加入量为：a1=100+0.618×(1100－100)=718.所以a2=100+1100－718=482.(2)因为[700,750]包含存优范围．所以最优点在区间[700,750]上.由此知前两次试验结果中，好点是718，所以此时存优范围取[482,1100]，所以a3=482+1100－718=864，同理可知第三次试验后，好点仍是718，此时存优范围是[482,864]所以a4=482+864－718=628.同理可求得a5=628+864－718=774；a6=628+774－718－684.(3)由(2)知第6次试验前的存优范围是[628,774]，又718是一个好点，第6次试验点是684，比较可知718是好点，去掉684以下的范围，故所求存优范围是[684,774].[例3]调酒师为了调制一种鸡尾酒.每100k烈性酒中需要加入柠檬汁的量1000g到2000g之间，现准备用黄金分割法找到它的最优加入量.(1)写出这个试验的操作流程.(2)如果加入柠檬汁误差不超出1g，问需要多少次试验?解：(1)试验可按以下进行：①做第一次试验：第一次试验的加入量为:(2000－1000)×0.618+1000=1618(g)，即取1618g柠檬汁进行第一次试验.②做第二次试验：在第一点的对称点处做为第二次试验点，这一点的加入量可用下面公式计算(此后各次试验点的加入量也按下面公式计算)：大－中+小=第二点.即第二点的加入量为：2000－1618+1000=1382(g).③比较两次试验结果，如果第二点比第一点好，则去掉1618克以上的部分；如果第一点较好，则去掉1382克以下部分．假定试验结果第一点较好，那么去掉1382克以下的部分，即存优范围为[1382，2000]，在此范围找出第一点(即1618)的对称点做第三次试验.其加入量用公式计算：加入量=大－中+小.即第三次试验的加入量为：2000－1618+1382=1764(g).④再将第三次试验结果与第一点比较，如果仍然是第一点好些，则去掉1764克以上部分，如果第三点好些，则去掉1618克以下部分.假设第三点好些，则在留下部分(即[1618,2000])找出第三点(即1764)的对称点做第四次试验.第四点加入量为：2000－1764+1618=1854(g).⑤第四次试验后，再与第二点比较，并取舍.在留下部分用同样方法继续试验，直至找到最佳点为止.(2)若误差不超出1g，即精度(2×1)/1000=0.002.所以0.618n－10.002，得nlg0.002/lg0.618+1，即n18.697.故需要19次试验.