东师大2017春概率论与数理统计期末考核

期末作业考核《概率论与数理统计》满分100分一、计算题（每题10分，共70分）1、设)4,3(~2NX，试求X的概率密度为)(xf。解：因为随机变量X服从正态分布，所以它的密度函数具有如下形式：)(21)(222)(xexfx，进而，将2,3代入上述表达式可得具体密度函数为：)(xf)(2218)3(2xex。2、随机变量的密度函数为其他,0),0(,2)(Axxxp，其中A为正的常数，试求A。解：随机变量的密度函数为其他,0),0(,2)(Axxxp，其中A为正的常数，则由于20211AxdxA，0,1AA。3、设随机变量服从二项分布，即),(~pnB，且3E，71p，试求n。解：()Enp,3/np=214、已知一元线性回归直线方程为xay4ˆˆ，且3x，6y，试求aˆ。解：由4ˆb可得6ˆˆxbya5、设随机变量X与Y相互独立，且4)(,3)(YDXD，求)4(YXD。解：D（X－4Y）=D(X)-2Cov(X,4Y)+D(4Y)=D(X)+D(4Y)=D(X)+16D(Y)=3+16*4=676、设总体X的概率密度为,0,10,)1();(其它，xxxf式中－1是未知参数，nXXX,,,21是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，用最大似然估计法求的估计量。解：21)1();()(101dxxdxxxfXE由矩估计法知，令X＝＋＋21得参数的矩估计量ˆˆ112XX－－＝。7、设nXXX,,,21是取自正态总体),0(2N的一个样本，其中0未知。已知估计量niiXk122ˆ是2的无偏估计量，试求常数k。解：221ˆniikX22211ˆniiEkEXknkn二、证明题（每题15分，共30分）1．若事件A与B相互独立，则A与B也相互独立。证明：因为()()()PBPABPAB，所以()()()()()()PABPBPABPBPAPB()(1())()()PBPAPAPB所以A与B也相互独立2．若事件BA，则)()(BPAP。证明：()()()()PBPABABPABPAB，由于事件BA，所以()()PABPA，()()()PBPAPAB。从而)()(BPAP