高考数学同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件

第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式获取更多免费资料以及真题演练请关注公众号：安博志愿规划1.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.2.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sinxcosx＝tanx.1.同角三角函数关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sinαcosα＝tanα.组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α正弦sinα________－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosα______－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα________——口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限2.六组诱导公式π2－απ2＋α－sinαcosα－tanα1.已知sin5π2＋α＝15，则cosα＝()A.－25B.－15C.15D.252.已知α是第二象限角，sinα＝513，则cosα＝()A.－1213B.－513C.513D.1213CA4.(2016年四川)sin750°＝________.3.若tanα＝2，则2sinα－cosαsinα＋2cosα＝()A.0B.34C.1D.54B12考点1诱导公式例1：(1)(2017年新课标Ⅲ)函数f(x)＝15sinx＋π3＋cosx－π6的最大值为()A.65B.1C.35D.15答案：A解析：f(x)＝15sinx＋π3＋cosx－π6＝15sinx＋π3＋cosπ6－x＝15sinx＋π3＋cosπ2－x＋π3＝15sinx＋π3＋sinx＋π3＝65sinx＋π3，所以最大值为65.故选A.(2)(2017年北京)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sinα＝13，则sinβ＝________.解析：因为角α与角β它们的终边关于y轴对称，所以α＋β＝2kπ＋πk∈Z，sinα＝sinβ＝13.答案：13【互动探究】1.设函数f(x)＝sin2x－π2，x∈R，则f(x)是()A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数D.最小正周期为π2的偶函数B解析：f(x)＝－cos2x是最小正周期为π的偶函数.故选B.考点2同角三角函数基本关系式考向1三角函数求值例2：(1)(2016年上海)设a∈R，b∈[0,2π).若对任意实数x对数为()A.1B.2C.3D.4都有sin3x－π3＝sin(ax＋b)，则满足条件的有序实数对(a，b)注意到b∈[0,2π)，只有这两组.故选B.答案：B解析：sin3x－π3＝sin3x－π3＋2π＝sin3x＋5π3，(a，b)＝3，5π3，又sin3x－π3＝sinπ－3x－π3＝sin－3x＋4π3，(a，b)＝－3，4π3.(2)(2015年福建)若sinα＝－513，且α为第四象限角，则tanα的值等于()A.125B.－125C.512D.－512答案：D解析：由sinα＝－513，且α为第四象限角，得cosα＝1－sin2α＝1213.则tanα＝sinαcosα＝－512.故选D.【规律方法】已知sinα，cosα，tanα三个三角函数值中的一个，就可以求另外两个.但在利用平方关系开方时，符号的选择要看α属于哪个象限，这是易出错的地方，应引起重视.而当角α的象限不确定时，则需分象限讨论，不要遗漏终边在坐标轴上的情况.考向2化简例3：化简：(1)1－2sin10°cos10°cos10°－1－cos210°；(2)1－sin4α－cos4α1－sin6α－cos6α.解：(1)原式＝sin10°－cos10°2cos10°－|sin10°|＝|sin10°－cos10°|cos10°－sin10°＝cos10°－sin10°cos10°－sin10°＝1.(2)方法一，原式＝cos2α＋sin2α2－cos4α－sin4αcos2α＋sin2α3－cos6α－sin6α＝2cos2αsin2α3cos2αsin2αcos2α＋sin2α＝23.方法二，原式＝1－cos4α＋sin4α1－cos6α＋sin6α＝1－[cos2α＋sin2α2－2cos2α·sin2α]1－cos2α＋sin2αcos4α－cos2α·sin2α＋sin4α＝1－1＋2cos2α·sin2α1－[cos2α＋sin2α2－3cos2α·sin2α]＝2cos2α·sin2α3cos2α·sin2α＝23.方法三，原式＝1－cos2α1＋cos2α－sin4α1－cos2α·1＋cos2α＋cos4α－sin6α＝sin2α1＋cos2α－sin2αsin2α1＋cos2α＋cos4α－sin4α＝2cos2α1＋cos2α＋cos2α＋sin2αcos2α－sin2α＝2cos2α1＋cos2α＋cos2α－sin2α＝2cos2α3cos2α＝23.【规律方法】化简三角函数式应看清式子的结构特征并作有目的的变形，注意“1”的代换、乘法公式、切化弦等变形技，巧对于有平方根的式子，去掉根号的同时加绝对值号再化简.本题出现了sin4α，sin6α，cos4α，cos6α，应联想到把它们转化为sin2α，cos2α的关系，从而利用1＝sin2α＋cos2α进行降幂解决.考向3证明例4：求证：tanα·sinαtanα－sinα＝tanα＋sinαtanα·sinα.∴原等式成立.证明：方法一，右边＝tan2α－sin2αtanα－sinα·tanαsinα＝tan2α－tan2αcos2αtanα－sinα·tanαsinα＝tan2α1－cos2αtanα－sinα·tanαsinα＝tan2αsin2αtanα－sinαtanαsinα＝tanαsinαtanα－sinα＝左边.∵左边＝右边，∴原等式成立.方法二，左边＝tanα·sinαtanα－tanαcosα＝sinα1－cosα，右边＝tanα＋tanαcosαtanαsinα＝1＋cosαsinα＝1－cos2αsinα1－cosα＝sin2αsinα1－cosα＝sinα1－cosα.方法三，∵tanα－sinα≠0，tanα·sinα≠0，要证原等式成立，只要证tan2α·sin2α＝tan2α－sin2α成立，而tan2α·sin2α＝tan2α(1－cos2α)＝tan2α－(tanαcosα)2＝tan2α－sin2α，即tan2α·sin2α＝tan2α－sin2α成立，∴原等式成立.【规律方法】证明三角恒等式，可以从左向右证，也可以从右向左证，证明两端等于同一个结果，对于含有分式的还可以考虑应用比例的性质.考点3诱导公式与同角三角函数基本关系式的综合应用考向1sinα±cosα型例5：(2016年浙江杭州模拟)已知－π2x0，sinx＋cosx＝15.(1)求sinx－cosx的值；(2)求1cos2x－sin2x的值.解：(1)方法一，联立方程组sinx＋cosx＝15，①sin2x＋cos2x＝1，②由①，得sinx＝15－cosx，将其代入②，整理，得25cos2x－5cosx－12＝0.因为－π2x0，所以sinx＝－35，cosx＝45.所以sinx－cosx＝－75.方法二，因为sinx＋cosx＝15，所以(sinx＋cosx)2＝152，即1＋2sinxcosx＝125.所以2sinxcosx＝－2425.因为(sinx－cosx)2＝sin2x－2sinxcosx＋cos2x＝1－2sinxcosx＝1＋2425＝4925.①又因为－π2x0，所以sinx0，cosx0.所以sinx－cosx0.②由①②，可得sinx－cosx＝－75.(2)1cos2x－sin2x＝1cosx－sinxcosx＋sinx＝175×15＝257.【互动探究】2.若1sinα＋1cosα＝3，则sinαcosα＝()A.－13B.13C.－13或1D.13或－1或sinαcosα＝1.由题意，知－1sinα1，－1cosα1，且sinα≠0，cosα≠0，所以sinαcosα≠1.故选A.答案：A解析：由1sinα＋1cosα＝3，可得sinα＋cosα＝3sinαcosα，两边平方，得1＋2sinαcosα＝3sin2αcos2α.解得sinαcosα＝－13考向2齐次型例6：(1)(2016年新课标Ⅲ)若tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝()A.6425B.4825C.1D.1625解析：方法一，由tanα＝34，得cos2α＋2sin2α＝cos2α＋2sin2αsin2α＋cos2α＝cos2α＋4sinαcosαcos2αsin2α＋cos2αcos2α答案：A＝1＋4tanα1＋tan2α＝1＋4×341＋916＝6425.方法二，由tanα＝34，得sinα＝35，cosα＝45，或sinα＝－35，cosα＝－45.所以cos2α＋2sin2α＝cos2α＋4sinαcosα＝1625＋4×1225＝6425.(2)(2018年新课标Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝23，则|a－b|＝()A.15B.55C.255D.1答案：B解析：tanα＝a1＝b2，∴b＝2a.cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α＝23，3(1－tan2α)＝2(1＋tan2α)，5tan2α＝1，解得tanα＝±55.|a－b|＝|a|＝|tanα|＝55.(3)曲线f(x)＝lnx－1x在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则1sinαcosα－cos2α＝________.答案：5解析：f(x)＝lnx－1x，f′(1)＝1x＋1x2x＝1＝2，∴tanα＝2.1sinαcosα－cos2α＝sin2α＋cos2αsinαcosα－cos2α＝tan2α＋1tanα－1＝4＋12－1＝5.【规律方法】已知tanα的值，求形如msinα＋ncosαmsinα－ncosα的式子的值时，可利用tanα＝sinαcosα把上式转化为mtanα＋nmtanα－n求值；而对形如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子，可把分母看作1，进而将1＝sin2α＋cos2α代入，转化为关于tanα的函数后再求值.【互动探究】3.(2016年新课标Ⅲ)若tanθ＝13，则cos2θ＝()A.－45B.－15C.15D.45D解析：cos2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ＝1－1321＋132＝45.故选D.4.若点(θ，0)是函数f(x)＝sinx＋3cosx的一个对称中心，则cos2θ＋sinθcosθ＝()A.1110B.－1110C.910D.－910B解析：点(θ，0)是函数f(x)＝sinx＋3cosx的一个对称中心，有f(θ)＝sinθ＋3cosθ＝0，所以tanθ＝－3，则cos2θ＋sinθcosθ＝cos2θ－sin2θ＋sinθcosθcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ＋tanθ1＋tan2θ＝1－9－31＋9＝－1110.故选B.