74-函数幂级数展开式

§7.4函数的幂级数展开式第七章无穷级数引言由上节我们知道：幂级数在其收敛域内可用其和函数（一个初等函数）来表示。现在我们反过来考虑：对于一给定的函数，能否将其表示为一个幂级数呢？如果可以，就会为我们研究函数带来方便。因为它体现了一种用简单表示复杂的思想。这个思想和方法在工程技术中经常会用到。一、泰勒级数)()(')()(000xxxfxfxxfy000()()()()fxfxfxxx000()()()fxxfxfxx之间）与介于（xxxxfxR0201)(!2)()(0001()()()()()fxfxfxxxRx)(xf0x设函数在点的某个邻域内有二阶导数一、泰勒级数)(xf0x设函数在点的某个邻域内有n+1阶导数),()(!)()(!2)())(()()(00)(200000xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn)()(!)1()()(010)1(之间与在xxxxnfxRnnn)(xf0xn称为函数在点处的阶泰勒公式)(xRnn称为阶泰勒公式的余项若记)()()(xRxsxfnn则)()(xsxfn并用余项)(xRn估计误差.一、泰勒级数nnnkkknxxnxfxxxfxxxfxfxxkxfxs)(!)()(!2)())(()()(!)()(00)(200000100)(的称为函数)(xfn阶泰勒多项式.),(!)0(!2)0()0()0()()(2xRxnfxfxffxfnnn)0(!)1()()(1)1(之间与在xxnfxRnnn阶泰勒公式可写为00x)(xfn特别地，当时，函数的其中)(xf该式称为函数的麦克劳林公式。一、泰勒级数例1求函数xexf)(的麦克劳林公式xnnexfxfxfxfxf)()()()()()1()(1)0()0()0()0()(nffffefn)()1(12)!1(!!21nnxxnenxxxe解xexf)(所以函数的麦克劳林公式为设函数)(xf在点0x的某邻域内具有任意阶导数,则幂级数nnnxxnxf)(!)(000)(nnxxnxfxxxfxxxfxf)(!)()(!2)())(()(00)(200000称为)(xf在点0x的泰勒级数.nnnxnf0)(!)0(称为)(xf在点0x的麦克劳林级数.问题nnnxxnxfxf)(!)(?)(000)(一、泰勒级数),()(!)()(!2)())(()()(00)(200000xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn)(xf0xn函数在点处的阶泰勒公式)()()(xRxsxfnn)()(limxfxsnnnnnxxnxfxf)(!)()(000)(由幂级数收敛的定义0)(limxRnnnnnxxnxfxf)(!)()(000)()(lim)(lim))()((lim)(xRxsxRxsxfnnnnnnn若记则两边取极限有定理设函数)(xf在点0x的某邻域内具有任意阶导数，则)(xf在点0x处的泰勒级数在该邻域内收敛于)(xf的充要条件是：0)(limxRnn（其中)(xRn是泰勒余项）.函数)(xf在点0x处的泰勒级数收敛于)(xf,即有等式nnnxxnxfxf)(!)()(000)(，则称)(xf点0x可展开成泰勒级数,该等式称为)(xf在点0x处的泰勒展开式，也称为)(xf关于0xx的幂级数.当00x时，有nnnxnfxf0)(!)0()(称为函数)(xf的麦克劳林展开式.二、函数展开成幂级数称函数)(xf展开成x的幂级数，即麦克劳林级数，（1）求)(xf的各阶导数，计算幂级数系数),2,1(!)0()(nnfann（2）根据系数求出幂级数的收敛半径R（3）在收敛区间),(RR内考察余项)(xRn是否趋于零？若0)(limxRnn，则)(xf在),(RR内的幂级数展开式为)(xfnnnxnf0)(!)0(nnxnfxfxff!)0(!2)0()0()0()(2'1．直接方法：二、函数展开成幂级数1.直接法(泰勒级数法)步骤:;!)()1(0)(nxfann求,)(0lim)2()(MxfRnnn或讨论).(xf敛于则级数在收敛区间内收例1解.)(展开成幂级数将xexf,)()(xnexf),2,1,0(.1)0()(nfnnxxnxxe!1!2112,0M上在],[MMxnexf)()(Me),2,1,0(nnxxnxxe!1!2112由于M的任意性,即得),(!1!2112xxnxxenx例2.sin)(的幂级数展开成将xxxf解),2sin()()(nxxfn,2sin)0()(nfn,0)0()2(nf,)1()0()12(nnf),2,1,0(n)()(xfn且)2sin(nx1),(x)!12()1(!51!31sin1253nxxxxxnn),(x2.间接法根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.例如)(sincosxx)!2()1(!41!211cos242nxxxxnn),(x)!12()1(!51!31sin1253nxxxxxnnxxdxx021arctan12)1(51311253nxxxxnn]1,1[xxxdxx01)1ln(nxxxxnn132)1(3121]1,1(x