先进控制基础 第04章 离散时间系统滑模变结构控制

第4章离散时间系统滑模变结构控制4.1离散时间系统滑模变结构控制描述4.2准滑动模态特性4.3离散时间滑动模态到达条件4.4离散时间滑模变结构控制的不变性4.5基于等效控制的离散时间滑模变结构控制4.6基于指数趋近律的离散时间滑模变结构控制随着计算机技术的高速发展和工业自动化等领域的实际需要，控制算法的实现经常需要采用数字计算机，但当采用数字计算机实现滑模变结构控制算法时，由于采样过程的限制，理想的滑动模态是不存在的，状态运动轨迹只能以抖振形式在切换面的某一邻域内运动并渐近趋向原点或原点的一个邻域。所以，对于离散时间系统，滑模变结构控制不能产生理想的滑动模态控制，只能产生准滑动模态（Quasi-slidingMode）控制。在离散时间情况下，4.1离散时间系统滑模变结构控制描述滑动模态的性质、存在及到达条件都已改变。因此，研究离散时间系统的滑模变结构控制方法具有很高的理论价值和极大的实际意义。4.1离散时间系统滑模变结构控制描述将连续时间系统状态方程离散化，可得离散时间系统的状态空间方程(1)()()kkukxAxB(4.1.1)选择切换函数()()skkCx(4.1.2)其中。121,,,,1ncccC4.1离散时间系统滑模变结构控制描述连续时间系统的滑模变结构控制中讨论三个基本问题：滑动模态的存在性、可达性及稳定性。这也是离散时间系统滑模变结构控制的基本问题，但离散时间系统自身的固有特点使得其与连续时间系统有所不同。4.2准滑动模态特性定义一个包围切换面的切换带()nSxΔsΔxcx(4.2.1)xx0x0从任意初始状态出发的离散时间系统的运动，或者于有限步到达切换面，然后在其上运动，称之为理想准滑动模态；或者在切换带内运动，步步穿越切换面，称之为非理想准滑动模态。如图4.2.1所示，称为切换带的宽度。图4.2.12Δ系统发生在切换带内的两种准滑动模态，称为离散时间系统滑模变结构控制的准滑动模态。离散时间滑模变结构控制中，从任意初始状态出发的运动可分为以下三个阶段。4.2准滑动模态特性(1)趋近模态：从初始状态趋向切换带。(2)准滑动模态：或为理想的、或为非理想的准滑动模态。(3)平稳状态：或为原点，属于理想准滑动模态情况；或为围绕原点的抖振，属于非理想准滑动模态。4.2准滑动模态特性并且，上述离散时间滑模变结构控制下系统运动应满足如下要求。(1)运动从任意初始位置出发，单调地向切换面趋近，并在有限步内到达或穿越切换面。(2)运动一旦穿越切换面，它的每一个后续步均从另一面穿越切换面，并一直进行下去。(3)穿越开始后，每一步的长度是非递增的，运动轨迹限于一特定带内。(4)平稳状态为原点，属于理想准滑动模态情况；或为围绕原点的抖振，即属于非理想准滑动模态。0x4.3离散时间滑动模态到达条件将连续时间系统的到达条件推广，可得离散时间系统的到达条件0)()]()1([ksksks(4.3.1)到达条件式(4.3.1)对于滑动模态运动的存在是必要条件，而不是充分条件，并不能保证系统的稳定性。当离散时间系统运动轨迹围绕切换面做幅值发散的振荡时，式(4.3.1)也能满足。选取李雅普诺夫函数2()()Vksk(4.3.2)4.3离散时间滑动模态到达条件只要满足条件22()(1)()0()0Vksksksk(4.3.3)根据李雅普诺夫稳定性定理，即是全局渐近稳定的平衡面，即任意初始位置的状态都将会趋向切换面。所以，将离散时间滑模变结构控制系统的滑动模态到达条件取为0)(ks)()1(22ksks(4.3.4)4.3离散时间滑动模态到达条件即式中，0))(sgn()]()1([0))(sgn()]()1([ksksksksksks(4.3.5)[(1)()]sgn(())0sksksk项：保证系统状态点在有限时间到达或者穿越切换面；项：保证系统状态运动轨迹在第一次穿越切换面之后围绕切换面做幅值逐渐减小的穿越运动，避免了到达条件式(4.3.1)存在的问题。[(1)()]sgn(())0sksksk4.4离散时间滑模变结构控制的不变性考虑如下受干扰及参数摄动的离散时间系统(4.4.1)(1)()()()()(),(),()nmlkkkkkkkkxGxGxBuDfxuf其中表示系统参数的摄动，表示系统所受的外干扰的影响。G()kf假设摄动与干扰满足匹配条件,GBGDBD(4.4.2)则系统式(4.4.1)可写为(1)()[()()()]kkkkkxGxBGxuDf(4.4.3)由式(4.4.3)可以看出，对于参数摄动和外部干扰，都可以通过控制律的适当设计来进行补偿或抵消。从而，离散时间系统和连续时间系统一样，对系统的参数摄动及外干扰是不变的，其充分必要条件为式(4.4.2)，即须满足对摄动与干扰的匹配条件。()ku4.4离散时间滑模变结构控制的不变性4.5基于等效控制的离散时间滑模变结构控制4.5.1基于等效控制的调节系统1.控制器设计对于离散时间系统(1)()()kkukxAxB,nux取切换函数()()eskkCx(4.5.1)(4.5.2)连续时间系统通过可求得等效控制作用，类似地，离散时间系统进入理想滑动模态时，有，即。0sequ0)()1(ksks)()1(ksks4.5.1基于等效控制的调节系统又由可求得离散时间系统等效控制(1)(1)()()eeeskkkukCxCAxCB(4.5.3)1eq()()()eeukCBCAIx(4.5.4)其中为单位矩阵。IK.Furuta提出了一种以等效控制为基础的离散时间滑模变结构控制律，其形式为eq()()DukukFx(4.5.5)4.5.1基于等效控制的调节系统其中，中的各个元素表示系统各状态变量的增益。12[,,,]DnfffFDF定义00()()0()()()()eiiiieiieiifskxkfskxkfskxkCBCBCB1,2,,in(4.5.6)其中20e11()()()2niiiifxkxkCB0,f012()0()neiiskfxkCB满足4.5.1基于等效控制的调节系统2.实例【例4.5.1】对象传递函数为2120()10Gsss(4.5.7)采样时间为1ms，采用Z变换进行离散化，离散时间状态方程为(1)()()(1)()kkukkkxAxByCxD(4.5.8)其中10.001001.0101A0.000060.1206B1,0C00D4.5.1基于等效控制的调节系统设被控对象的初始值为。取采用控制律式(4.5.5)作为本仿真的控制律。其他参数的选择满足(4.5.6)。采用Matlab建立仿真程序，可得到直观结果。T0.5,0.5x20,1eC4.5.2基于等效控制的位置跟踪系统1.控制器设计对于离散时间系统(1)()(),nkkukuxAxBx(4.5.9)分析离散时间系统的跟踪问题，首先需将离散时间系统状态方程转化为误差状态方程。假设为希望的给定输入信号，设，则可得离散时间系统的误差状态方程()kR()()()()ekkkkxeRx(1)()()()eeeekkukkxAxBw(4.5.10)4.5.2基于等效控制的位置跟踪系统其中,,()()(1)eekkkAABBwARR选取切换函数()()eeeskkCx(4.5.11)由，可得等效控制律)1()(ksksee1eq()()[()()()]eeeeeeukkkCBCAIxCw(4.5.12)从而总的控制律设计为eq()()DeukukFx(4.5.13)其中，中的各个元素表示系统各状态变量的增益，可由式(4.5.6)求得。12[,,,]DnfffFDF4.5.2基于等效控制的位置跟踪系统2.实例离散时间状态方程为(1)()()(1)()kkukkkxAxByCxD(4.5.14)其中10.001001.0101A0.000060.1206B1,0C00D令给定输入信号为，其变化率为。)(krd()rk取TT()(),d()(1)(1),d(1)krkrkkrkrkRR(4.5.15)4.5.2基于等效控制的位置跟踪系统将离散时间状态方程转化为离散时间误差状态方程(1)()()()eeeekkukkxAxBw()()eeeskkCx其中e，AAe，BB30,1e。C()(1)()kkkwRAR切换函数其中未来的给定输入信号未知，可采用线性外推的方法进行预测，有)1(kr)1()(2)1(krkrkr(4.5.16)(4.5.17)(4.5.18)4.6.1基于指数趋近律的调节系统1.离散时间趋近律设计趋近律方法是滑模变结构控制的一种典型控制策略。这种控制方法不仅可以对系统在切换面附近或沿切换面上的滑动模态运动进行段分析，而且可以有效地对系统趋近段的动态过程进行分析和设计，从而保证系统在整个状态空间内具有良好的运动品质。对于连续时间系统滑模变结构控制，常用的趋近4.6基于指数趋近律的离散时间滑模变结构控制()sgn(())()0,0ststqstq(4.6.1)相应地可以设计离散时间趋近律。针对离散时间系统律为指数趋近律(1)()()kkukxAxB(4.6.2)将式（4.6.1）离散化，得到离散时间指数趋近律)())(sgn()()1(kqsksTksks(4.6.3)即))(sgn()()()1(ksTkqTsksks(4.6.4)其中，，，为采样周期。00q1qTT4.6.1基于指数趋近律的调节系统4.6.1基于指数趋近律的调节系统对于离散趋近律式(4.6.4），满足以下6点结论：(1)形成非理想准滑动模态，相应边界层的宽度与参数、、有关。边界层外，系统运动单调地向切换面的边界层趋近；(2)运动从任意初始状态在有限步内到达或穿越切换面；(3)运动一旦穿越切换面，它的每一个后继步均从另一面穿越切换面并且一直进行下去；(4)不会发生运动渐近地趋向切换面而不穿越的情况；qT(5)不会发生运动从初始状态开始每一步均来回穿越切换面的情况；(6)不会发生一旦运动开始穿越切换面，每一步的长度不断增长的情况。下面将验证离散趋近律式(4.6.4)满足到达条件。因为[(1)()]sgn(())[()sgn(())]sgn(())()0skskskqTskTskskqTskT(4.6.5)同时，当采样时间很小时，，从而有T20qT4.6.1基于指数趋近律的调节系统[(1)()]sgn(())[(2)()sgn(())]sgn(())(2)()skskskqTskTskskqTskT(4.6.6)若，式(4.6.6)大于零，到达条件式(4.3.5)就能够得到满足。而当时，由于式(4.6.6)小于零，系统将在切换面两侧做等幅穿越运动形成边界层，边界层厚度为。所以，离散趋近律式(4.6.4)在边界层外满足到达条件，可保证趋近过程具有良好的品质，并且切换带的大小可以计算，控制律的求取直接而简单。qTTks2)(()2TskqTqTT24.6.1基于指数趋近律的调节系统2.离散时间控制律求取系统离散时间切换面为()()skkCx(4.6.7)将代入离散时间指数趋近律式(4.6.3)得(1)(1)()()skkkukCxCAxCB(1)()sgn(())()()TqskTskkukCAxCB(4.6.8)假设滑模变结构控制系统可控条件成立，即可求得滑模变结构离散