第二篇第5章数学物理方法PPT

LOGOPowerPoint数学物理方法第二篇第五章积分变换法§2.5.1傅立叶积分变换在数学物理定解问题中的应用2.5.1.1一维波动方程的定解问题例1．求解无界弦振动方程的初值问题)()0,()()0,()0,(,02xxuxxutxuautxxtt解：设ℱ),()],([tUtxu定解问题经傅立叶变换后为)()0,(),()0,(0),(),(22tUUtUatUΦt22dd求解象函数),(tU的方程得通解为21),(由初始条件，易得)()(),(2121ΨΦCCaiCC)(1)(21,)(1)(2121ΨΦΨΦaiCaiCtiatiaeaieaitU)(1)(21)(1)(21),(ΨΦΨΦ作象函数的傅立叶逆变换21),(txuaetia21)(1-Φtiaei)(11-Ψℱℱ21aetia21)(1-Φtiaei)(11-Ψℱℱ)]([)()]([Φatiexℱℱ)()]([-1atxeatiΦ应用延迟定理和积分定理atieatx-d)(1Ψieatix-dℱℱℱatx-d)(11-Ψieati从而定解问题的解为dddatxatxatxatxaatxatxaatxatxtxu)(21)]()([21)()(21)]()([21),(：求解一维热传导方程的初值问题)()0,()0,(),,(2xxutxtxfuauxxt解：设ℱ),()],([tUtxu定解问题经傅立叶变换后为)()0,(),(),(),(22ΦtUtFtUaitUddtataeFCetU02222),(),(d方程的通解为由初始条件易得常数)(ΦCttataeFetU0)(2222),()(),(dΦ应用卷积定理与公式ℱtaxtaetae222241-21][dddd)(4)(04)(0)(4422222222)(),(21)(21)(21),(21)(),(taxttaxttaxtaxetfaetaetaxfetaxtxu对于半无界问题也可以利用延拓法化为无界问题，直接利用例2的结果得解.见教材例3.：求解半平面的狄里克雷问题222,0),(lim)()0,()0,(,0yxryxuxxuyxuuryyxx这里解：对这个问题作傅立叶变换)()0,()0(,0),(),(2ΦUyyUyyU2dd2yyececyU21),(y0),(),(xeyxuyUxid)(,012Φcc)(),(注意到ℱdxiyyeee21][1-0021ddxiyxiyee)(112122yxyixyixy应用卷积定理，作傅立叶逆变换就有d2222)()()(),(yxyyxyxyxu这就是半平面的泊松公式.§2.5.2拉普拉斯变换在数学物理定解问题中的应用2.5.2.1侧面绝热半无限均匀细杆的导热问题例1．考虑侧面绝热的半无限长均匀细杆的导热问题为0)0,(),0()0,0(),,(),(02xuututxtxuatxuxxt解：记0),(),(dtetxupxUptpupUxxpxUapxpU0222)(0,0,),(),(dd得方程的通解有xapxapececpxU21),(),(limpxUp01cpupU0),0(puc02paxepupxU0),(从而有做逆变换,先求函数pep)(Φ的像原函数.pepp21)(Φ)(2)(41)1(41)(pppepeppppΦΦΦ0)()(2)(4ppppΦΦΦ利用像原函数的求导公式)()(-1ttpΦ)()(2-1ttpΦℒℒ令)()(2tttf)(tf)(pF的拉普拉斯积分变换像函数为则)()(ppFΦ0)0(f由导数定理得ℒ)()()0()()(ppppFfppFtfΦℒ)(2)())(()()(221-ttttttttftppddddΦ0)()16()(42tttt解这个方程，得到tectt4123)(041230p让得到tetctd041231令tu41ccuuecu2)21(221021d得21ctett412321)(利用相似定理，得到ℒtaxpaxetaxe224231-2注意到1≒p1，利用卷积定理taxeaxutxu04230222),(d例2．求解一维无界空间的有源的热传导问题，且初始温度已知，即解定解问题：)(),()0,()0,(),,(2xxxutxtxfuauxxt解：用拉普拉斯积分变换求解),(),(pxUtxu),(),(pxFtxf记ℒℒ方程两边作拉普拉斯变换),(),()(),(222pxFxpxUaxpxpUdd),()(1),(),(2222pxFxapxUapxpxUdd由常数变易法得解.),()(21),()(21),(21ddapxapapxapxapxapepFepaepFepaececpxU由自然边界条件),(limpxux有界021ccxxxapxapxxxapxapxxapxxapepFepFpaeepapFepapFepapxUdddddd)()()()()()(),(),(21)()(21),()(21),()(21),(利用卷积性质，得定解问题的解：.),(21)(21),(),(21)()(21),()(4)(04)(0)(4)(0)(4)(4)(4)(222222222222dddddddddtefaetateftefaeetatxutaxttaxxxttaxttaxxxtaxtax．求解半无限长弦的强迫振动的混合问题0)0,(0)0,(),(lim,0),0()0,0(,cos)(2xuxutxututxxtfuautxxxtt，有界解：有界),(lim,0),0()0(,cos)(),(),(222pxUpUxxapFpxUapxpxUx2dd2),(),(pxUtxu)()(pFtf记ℒ，ℒxappFececpxUxapxapcos)(),(22221),(limpxUx01c0),0(pU2222)(appFcxapexappFpxUcos)(),(222注意到ℒtaaapsin112221-，利用卷积定理令)(tgttafatftaaappF02221-)(sin)(1)(sin1)(dℒ逆变换,根据延迟性质)()(cos)(),(axtuaxtgxtgtxu)(tu是单位阶跃函数