2012数学中考第一轮复习_第5讲_分式及其运算

第5讲分式及其运算考点一分式形如AB(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．(1)分式有无意义：B＝0时，分式无意义；B≠0时，分式有意义．(2)分式值为0：A＝0且B≠0时，分式的值为0.考点二分式的基本性质分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．①a·mb·m＝ab，a÷mb÷m＝ab(m≠0)；－ba＝b－a＝－ba.②通分的关键是确定n个分式的最简公分母确定最简公分母的一般步骤是：当分母是多项式时，先因式分解，再取系数的最小公倍数，所有不同字母(因式)的最高次幂的积为最简公分母．③约分的关键是确定分式的分子与分母中的最大公因式．确定最大公因式的一般步骤是：当分子、分母是多项式时，先因式分解，取系数的最大公约数，相同字母(因式)的最低次幂的积为最大公因式．考点三分式的运算1．分式的加减法同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即ac±bc＝a±bc.异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即ab±cd＝ad±bcbd.2．分式的乘除法分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即ab·cd＝acbd.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即ab÷cd＝ab·dc＝adbc.3．分式的乘方分式的乘方是把分子、分母各自乘方，即(nm)k＝nkmk(k是正整数)．4．分式的混合运算在分式的混合运算中，应先算乘方，再算乘除，进行约分化简后，最后进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．考点四分式求值分式的求值方法很多，主要有三种：①先化简，后求值；②由值的形式直接转化成所求的代数式的值；③式中字母表示的数未明确告知，而是隐含在方程等题设条件中．解这类题，一方面从方程中求出未知数或未知代数式的值；另一方面把所求代数式化简．只有双管齐下，才能获得简易的解法．(1)(2010·芜湖)要使分式a＋2a有意义，a的取值范围是()A．a≠0B．a－2且a≠0C．a－2或a≠0D．a≥－2且a≠0(2)(2009·台州)化简(－ba)÷ba2－a的结果是()A．－a－1B．－a＋1C．－ab＋1D．－ab＋b(3)(2010·黄冈)化简(1x－3－x＋1x2－1)·(x－3)的结果是()A．2B.2x－1C.2x－3D.x－4x－1【点拨】(1)由题意得a＋2≥0且a≠0，即有a≥－2且a≠0.(2)原式＝－ba·aa－1b＝－(a－1)＝－a＋1.(3)原式＝[1x－3－x＋1x＋1x－1]·(x－3)＝(1x－3－1x－1)·(x－3)＝1－x－3x－1＝2x－1.【解答】(1)D(2)B(3)B计算：(1)(2010·陕西)mm－n－nm＋n＋2mnm2－n2；(2)(2010·咸宁)先化简，再求值：(1＋1a2－1)÷aa－1，其中a＝－3.【点拨】分式混合运算的顺序是先乘方、后乘除，最后加减，有括号先算括号内的．【解答】(1)原式＝mm＋nm－nm＋n－nm－nm－nm＋n＋2mnm－nm＋n＝m2＋2mn＋n2m－nm＋n＝m＋n2m－nm＋n＝m＋nm－n.(2)原式＝a2a＋1a－1×a－1a＝aa＋1.当a＝－3时，原式＝－3－3＋1＝32.1．要使式子x＋1x有意义，x的取值范围是(D)A．x≠1B．x≠0C．x＞－1且x≠0D．x≥－1且x≠02．下列运算中，错误的是(D)A.ba＝bcac(c≠0)B.－a－ba＋b＝－1C.0.5a＋b0.2a－0.3b＝5a＋10b2a－3bD.x－yx＋y＝y－xy＋x3．若分式|x|－1x－1的值为0，则x的值为(B)A．±1B．－1C．1D．04．分式1a＋b，2aa2－b2，bb－a的最简公分母为(D)A．(a2－b2)(a＋b)(b－a)B．(a2－b2)(a＋b)C．(a2－b2)(b－a)D．a2－b25．如果把分式2xyx＋y中的x和y都扩大3倍，那么分式的值(A)A．扩大3倍B．缩小3倍C．扩大9倍D．不变6．化简(a－b2a)aa－b的结果是(B)A．a－bB．a＋bC.1a－bD.1a＋b7．先化简，再求值：(1－1a－1)÷a2－4a＋4a2－a，其中a＝－1.解：原式＝aa－2当a＝－1，原式＝13考点训练5分式及其运算训练时间：60分钟分值：100分分式及其运算训练时间：60分钟分值：100分一、选择题(每小题3分，共45分)1．(2010·株洲)若分式2x－5有意义，则x的取值范围是()A．x≠5B．x≠－5C．x5D．x－5【解析】分式若有意义，则分母不为0，故x－5≠0，得x≠5.【答案】A2．(2010·黄冈)函数y＝x－3x＋1的自变量x的取值范围是()A．x≥3B．x≥3且x≠－1C．x≠－1D．x3【解析】x－3≥0x＋1≠0，解得x≥3.【答案】A3．(2009中考变式题)化简a2－b2a2＋ab的结果为()A.baB.a－baC.a＋baD．－b【解析】a2－b2a2＋ab＝a＋ba－baa＋b＝a－ba.【答案】B4．(2010·河北)化简a2a－b－b2a－b的结果是()A．a2－b2B．a＋bC．a－bD．1【解析】原式＝a2－b2a－b＝a－ba＋ba－b＝a＋b.【答案】B5．(2010·玉溪)若分式b2－1b2－2b－3的值为0，则b的值为()A．1B．－1C．±1D．2【解析】由b2－1＝0得b＝±1，当b＝－1时，b2－2b－3＝0，故b＝1.【答案】A6．(2010·苏州)化简a－1a÷a－1a2的结果是()A.1aB．aC．a－1D.1a－1【解析】原式＝a－1a·a2a－1＝a.【答案】B7．(2012中考预测题)下列各式是最简分式的是()A.x2－4y2x＋2y2B.x2＋y2x＋yC.－2ab9a3D.x2＋xx2－1【解析】最简分式指的是分子、分母没有公因式的式子．【答案】B8．(2009中考变式题)计算：ab－ba÷a－ba＝()A.a＋bbB.a－bbC.a－baD.a＋ba【解析】原式＝a2－b2ab·aa－b＝a＋ba－bab·aa－b＝a＋bb.【答案】A9．(2009中考变式题)已知1a－1b＝4，则a－2ab－b2a－2b＋7ab的值等于()A．6B．－6C.215D．－27【解析】原式＝1b－2－1a2b－2a＋7＝－4－2－4×2＋7＝－6－1＝6.【答案】A10．(2012中考预测题)化简(aa－2－aa＋2)·4－a2a的结果是()A．－4B．4C．2aD．－2a【解析】原式＝aa＋2－aa－2a－2a＋2·4－a2a＝4aa－2a＋2·2－a2＋aa＝－4.【答案】A11．(2009中考变式题)学完分式运算后，老师出了一道题“化简x＋3x＋2＋2－xx2－4”，小明的做法是：原式＝x＋3x－2x2－4－x－2x2－4＝x2＋x－6－x－2x2－4＝x2－8x2－4；小亮的做法是：原式＝(x＋3)(x－2)＋(2－x)＝x2＋x－6＋2－x＝x2－4；小芳的做法是：原式＝x＋3x＋2－x－2x＋2x－2＝x＋3x＋2－1x＋2＝x＋3－1x＋2＝1，其中正确的是()A．小明B．小亮C．小芳D．没有正确的【解析】原式＝x＋3x＋2－x－2x＋2x－2＝x＋3x＋2－1x＋2＝x＋2x＋2＝1.【答案】C12．(2012中考预测题)下列等式中，不成立的是()A.x2－y2x－y＝x－yB.x2－2xy＋y2x－y＝x－yC.xyx2－xy＝yx－yD.yx－xy＝y2－x2xy【解析】A项中，原式＝x＋yx－yx－y＝x＋y.【答案】A13．(2009中考变式题)如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为m克，再称得剩余电线的质量为n克，那么原来这卷电线的总长度是()A.n＋1m米B．(nm＋1)米C．(m＋nm＋1)米D．(mn＋1)米【解析】1米质量为m克，则每克长1m米，n克是nm米，则原来这卷电线的总长度是(nm＋1)米．【答案】B14．(2012中考预测题)化简aa－b－b2aa－b的结果是()A.a＋baB.a－baC.b－aaD．a＋b【解析】原式＝a2－b2aa－b＝a＋ba－baa－b＝a＋ba.【答案】A15．(2012中考预测题)分式bax，c－3bx，a5x3的最简公分母是()A．5abxB．15abx5C．15abxD．15abx3【解析】分母ax、－3bx、5x3的最简公分母是15abx3.【答案】D二、填空题(每小题3分，共15分)16．(2010·哈尔滨)当x＝______时，分式x＋1x＋2没有意义．【解析】x＋2＝0，则x＝－2.【答案】－217．(2010·天津)若a＝12，则aa＋12＋1a＋12的值为________．【解析】原式＝a＋1a＋12＝1a＋1当a＝12时，原式＝112＋1＝132＝23.【答案】2318．(2010·昆明)化简：(1－1a＋1)÷a＝________.【解析】原式＝a＋1－1a＋1·1a＝aa＋1·1a＝1a＋1.【答案】1a＋119．(2010·黄冈)已知ab＝－1，a＋b＝2，则式子ba＋ab＝________.【解析】原式＝a2＋b2ab＝a＋b2－2abab当ab＝－1，a＋b＝2时，原式＝22－2×－1－1＝4＋2－1＝－6.【答案】－620．(2012中考预测题)已知ab＝34，则a＋ba－b＝________.【解析】由ab＝34得a＝34b，则a＋ba－b＝34b＋b34b－b＝74×(－4)＝－7.【答案】－7三、解答题(共40分)21．(6分)化简．(1)(2010·青岛)2aa2－4＋12－a；(2)(2012中考预测题)y－34y－8÷(y＋2－5y－2)．解：(1)原式＝2aa＋2a－2－1a－2＝2aa＋2a－2－a＋2a－2a＋2＝2a－a－2a＋2a－2＝a－2a＋2a－2＝1a＋2(2)原式＝y－34y－2÷y2－4－5y－2＝y－34y－2·y－2y＋3y－3＝14y＋3＝14y＋1222．(20分)先化简，再求值．(1)(2010·重庆)(1－1x)÷x2－2x＋1x2－1，其中x＝2.(2)(2010·莱芜)(x－2－12x＋2)÷4－xx＋2，其中x＝－4＋3.(3)(2010·毕节)已知x－3y＝0，求2x＋yx2－2xy＋y2(x－y)的值．(4)(2012中考预测题)请你先将分式x2－xx－1－x2x＋1化简，再选取一个使原式有意义，而你又喜爱的数代入求值．解：(1)原式＝x－1x÷x－12x＋1x－1＝x－1x·x＋1x－1＝x＋1x当x＝2时，原式＝2＋12＝32(2)原式＝x－2x＋2－12x＋2÷4－xx＋2＝x2－16x＋2·x＋24－x＝x＋4x－4x＋2·x＋24－x＝－x－4当x＝－4＋3时，原式＝－(－4＋3)－4＝4－3－4＝－3(3)原式＝2x＋yx－y2·(x－y)＝2x＋yx－y当x－3y＝0时，x＝3y，原式＝2×3y＋y3y－y＝7y2y＝72(4)原式＝xx－1x－1＋x1－xx＋1＝x－1－(1－x)＝x－1－1＋x＝2x－2当x＝2时，原式＝2×2－2＝4－2＝2注意：x的值需满足所有分式都有意义，即x≠0且x≠－1.23．(8分)(2010·济宁)观察下面的变形规律：11×2＝1－12；12×3＝12－13；13×4＝13－14；……解答下面的问题：(1)若n为正整数，请你猜想1nn＋1＝________；(2)证明你猜想的结论；(3)求和：11×2＋12×3＋13×4＋…＋12009×2010.解：(1)1n－1n＋1(2)证明：1n－