高中数学归纳法大全数列不等式精华版

1/11§数学归纳法1．数学归纳法的概念及基本步骤数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是：(1)验证：n＝n0时，命题成立；(2)在假设当n＝k(k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立．根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立．2．归纳推理与数学归纳法的关系数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题；(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．1．用数学归纳法证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n，注意n不一定是1.2．当证明从k到k＋1时，所证明的式子不一定只增加一项；其次，在证明命题对n＝k＋1成立时，必须运用命题对n＝k成立的归纳假设．步骤二中，在由k到k＋1的递推过程中，突出两个“凑”：一“凑”假设，二“凑”结论．关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时命题形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不等式的证明，还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当n＝k＋1时命题也成立，这也是证题的常用方法．3．用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成，缺一不可．尽管部分与正整数有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则不正确．4．要注意“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式，和由特殊到一般的数学思想的应用，加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力．2/115．数学归纳法与归纳推理不同．(1)归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．结果不一定正确，需要进行严格的证明．(2)数学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确．6．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题，要求这个命题对所有的正整数n都成立；(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可．特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性．如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题．证明：12＋122＋123＋…＋12n－1＋12n＝1－12n(其中n∈N＋)．[证明](1)当n＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝12，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即12＋122＋123＋…＋12k－1＋12k＝1－12k，那么当n＝k＋1时，左边＝12＋122＋123＋…＋12k－1＋12k＋12k＋1＝1－12k＋12k＋1＝1－2－12k＋1＝1－12k＋1＝右边．这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N＋都成立．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n3/11＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.[证明]①当n＝1时，左边＝1－12＝12＝11＋1＝右边，∴当n＝1时，等式成立．②假设n＝k时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k.则当n＝k＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2＝(1k＋1＋1k＋2＋…＋12k)＋12k＋1－12k＋2＝(1k＋2＋…＋12k＋12k＋1)＋(1k＋1－12k＋2)＝1k＋2＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＝右边．∴n＝k＋1时等式成立．由①②知等式对任意n∈N＋都成立．[点评]在利用归纳假设论证n＝k＋1等式成立时，注意分析n＝k与n＝k＋1的两个等式的差别．n＝k＋1时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由1k＋1变到1k＋2.因此在证明中，右式中的1k＋1应与－12k＋2合并，才能得到所证式．因此，在论证之前，把n＝k＋1时等式的左右两边的结构先作一下分析是有效的．证明不等式用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式1＋131＋15…1＋12k－1＞2n＋12成立．[证明]①当n＝2时，左＝1＋13＝43，右＝52，左＞右，∴不等式成立．②假设n＝k(k≥2且k∈N*)时，不等式成立，4/11即1＋131＋15…1＋12k－1＞2k＋12，那么当n＝k＋1时，1＋131＋15…1＋12k－1[1＋12k＋1－1]＞2k＋12·2k＋22k＋1＝2k＋222k＋1＝4k2＋8k＋422k＋1＞4k2＋8k＋322k＋1＝2k＋3·2k＋12·2k＋1＝2k＋1＋12，∴n＝k＋1时，不等式也成立．∴对一切大于1的自然数n，不等式成立．[点评](1)本题证明n＝k＋1命题成立时，利用归纳假设并对照目标式进行了恰当的缩小来实现，也可以用上述归纳假设后，证明不等式k＋12k＋1＞2k＋1＋12成立．(2)应用数学归纳法证明与非零自然数有关的命题时要注意两个步骤：•第①步p(n0)成立是推理的基础;•第②步由p(k)⇒p(k＋1)是推理的依据(即n0成立，则n0＋1成立，n0＋2成立，…，从而断定命题对所有的自然数均成立)．•另一方面，第①步中，验证n＝n0中的n0未必是1，根据题目要求，有时可为2,3等；第②步中，证明n＝k＋1时命题也成立的过程中，要作适当的变形，设法用上上述归纳假设.(2013·大庆实验中学高二期中)用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n22－1n(n≥2)．[分析]按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化．[证明]1°当n＝2时，1＋122＝542－12＝32，命题成立．2°假设n＝k时命题成立，即1＋122＋132＋…＋1k22－1k5/11当n＝k＋1时，1＋122＋132＋…＋1k2＋1k＋122－1k＋1k＋122－1k＋1kk＋1＝2－1k＋1k－1k＋1＝2－1k＋1命题成立．由1°、2°知原不等式在n≥2时均成立．证明整除问题用数学归纳法证明下列问题：(1)求证：3×52n＋1＋23n＋1是17的倍数；(2)证明：(3n＋1)·7n－1能被9整除．[分析](2)先考察：f(k＋1)－f(k)＝18k·7k＋27·7k，因此，当n＝k＋1时，(3k＋4)7k＋1＝(21k＋28)·7k－1＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋27·7k.[证明](1)当n＝1时，3×53＋24＝391＝17×23是17的倍数．假设3×52k＋1＋23k＋1＝17m(m是整数)，则3×52(k＋1)＋1＋23(k＋1)＋1＝3×52k＋1＋2＋23k＋1＋3＝3×52k＋1×25＋23k＋1×8＝(3×52k＋1＋23k＋1)×8＋17×3×52k＋1＝8×17m＋3×17×52k＋1＝17(8m＋3×52k＋1)，∵m、k都是整数，∴17(8m＋3×52k＋1)能被17整除，即n＝k＋1时，3×52n＋1＋23n＋1是17的倍数．(2)令f(n)＝(3n＋1)·7n－1①f(1)＝4×7－1＝27能被9整除．②假设f(k)能被9整除(k∈N*)，∵f(k＋1)－f(k)＝(3k＋4)·7k＋1－(3k＋1)·7k＝7k·(18k＋27)＝9×7k(2k＋3)能被9整除，∴f(k＋1)能被9整除．由①②可知，对任意正整数n，f(n)都能被9整除．[点评]用数学归纳法证明整除问题，当n＝k＋1时，应先构造出归纳假设的条件，再进行插项、补项等变形整理，即可得证．6/11(2014·南京一模)已知数列{an}满足a1＝0，a2＝1，当n∈N＋时，an＋2＝an＋1＋an.求证：数列{an}的第4m＋1项(m∈N＋)能被3整除．[证明](1)当m＝1时，a4m＋1＝a5＝a4＋a3＝(a3＋a2)＋(a2＋a1)＝(a2＋a1)＋2a2＋a1＝3a2＋2a1＝3＋0＝3.即当m＝1时，第4m＋1项能被3整除．故命题成立．(2)假设当m＝k时，a4k＋1能被3整除，则当m＝k＋1时，a4(k＋1)＋1＝a4k＋5＝a4k＋4＋a4k＋3＝2a4k＋3＋a4k＋2＝2(a4k＋2＋a4k＋1)＋a4k＋2＝3a4k＋2＋2a4k＋1.显然，3a4k＋2能被3整除，又由假设知a4k＋1能被3整除．∴3a4k＋2＋2a4k＋1能被3整除．即当m＝k＋1时，a4(k＋1)＋1也能被3整除．命题也成立．由(1)和(2)知，对于n∈N＋，数列{an}中的第4m＋1项能被3整除．几何问题平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点．求证：这n个圆把平面分成n2－n＋2个部分．[分析]用数学归纳法证明几何问题，主要是搞清楚当n＝k＋1时比n＝k时，分点增加了多少，区域增加了几块．本题中第k＋1个圆被原来的k个圆分成2k条弧，而每一条弧把它所在的部分分成了两部分，此时共增加了2k个部分，问题就容易得到解决．[解析]①当n＝1时，一个圆把平面分成两部分，12－1＋2＝2，命题成立．②假设当n＝k时命题成立(k∈N*)，k个圆把平面分成k2－k＋2个部分．当n＝k＋1时，这k＋1个圆中的k个圆把平面分成k2－k＋2个部分，第k＋1个圆被前k个圆分成2k条弧，每条弧把它所在部分分成了两个部分，这时共增加了2k个部分，即k＋1个圆把平面分成(k2－k＋2)＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2个部分，即命题也成立．由①、②可知，对任意n∈N*命题都成立．[点评]利用数学归纳法证明几何问题应特别注意语言叙述准确清楚，一定要讲清从n＝k到n＝k＋1时，新增加量是多少．一般地，证明第二步时，常用的方法是加一法．即在原来k的基础上，再增加1个，也可以从k＋1个中分出1个来，剩下的k个利用假设．7/11[分析]找到从n＝k到n＝k＋1增加的交点的个数是解决本题的关键．[证明](1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个．又f(2)＝12×2×(2－1)＝1，∴当n＝2时，命题成立．(2)假设n＝k(k≥2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数f(k)＝12k(k－1)，那么，当n＝k＋1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)＝12k(k－1)，l与其他k条直线交点个数为k.从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，即f(k＋1)＝f(k)＋k＝12k(k－1)＋k＝12k(k－1＋2)＝12k(k＋1)＝12(k＋1)[(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，对n∈N＋(n≥2)命题都成立．[点评]关于几何题的证明，应分清k到k＋1的变化情况，建立k的递推关系．探索延拓创新归纳—猜想—证明(2014·湖南常德4月，19)设a0，f(x)＝axa＋x，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N＋.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论．[解析](1)∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝a1＋a；a3＝f(a2)＝a2＋a；a4＝f(a3)＝平面内有n(n∈N＋，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数f(n)＝nn－12.8/11a3＋a.猜想an＝an－1＋a(n∈N＋)．(2)证明：(ⅰ)易知，n＝1时，猜想正确．(ⅱ)假设n＝k时猜想正确，即ak＝ak－1＋a，则ak＋1＝f(ak)＝a·aka＋ak＝a·ak－1＋aa＋ak－1＋a＝ak－1＋a＋1＝a[k＋1－1]＋a.这说明，n＝k＋1时猜想正确．由(ⅰ)(ⅱ)知，对于任何n∈N＋