高中文科数学知识点函数

高中文科数学知识点精编——函数一、函数的概念：1.映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”对于映射f：A→B来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。2.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．函数的三要素：定义域、对应关系、值域.3.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.4.函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.二、定义域的求法：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时，列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1；(5)指数为零，底不可以等于零；(6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合；(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.三、值域的求法:1.函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域2.函数值域的常用方法：(1)观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。(2)配方法：(二次或四次)转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为含有自变量的平方式与常数的和，型如：),(,)(2nmxcbxaxxf的形式，然后根据变量的取值范围确定函数的最值。(3)换元法：代数换元法通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的；三角代换法可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想。(4)分离常数法：对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域。(5)反求法：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；常用来解，型如：),(,nmxdcxbaxy(6)判别式法：若函数y=f（x）可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，则在a（y）≠0时，由于x、y为实数，故必须有Δ=b2（y）－4a（y）·c（y）≥0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x值。(7)最值法：对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值，并与边界值f(a)，f(b)作比较,求出函数的最值，可得到函数y的值域。(8)基本不等式法：转化成型如：)0(kxkxy，利用基本不等式公式来求值域。(9)单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)(10)数形结合：根据函数图象或函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。(11)构造法：根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。(12)导数法：利用导数求值域。四、解析式的求法：1.待定系数法：已知函数图象，确定函数解析式，或已知函数的类型且函数满足的方程时，常用待定系数法。2.函数性质法：如果题目中给出函数的某些性质（如奇偶性、周期性），则可利用这些性质求出解析式。3.图象变换法：若给出函数图象的变化过程，要求确定图象所对应的函数解析式，则可用图象变换法。4.换元法：5.配凑法：6.赋值（式）法：五、函数图象：1.定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.2.画法：（1）描点法：（2）图象变换法：常用变换方法有三种：平移变换、伸缩变换、对称变换3.区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示．六、函数的单调性：1.定义：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质2.图象的特点：如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.3.函数单调区间与单调性的判定方法：(1)定义法：任取x1，x2∈D，且x1x2；作差f(x1)－f(x2)；变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．(2)图象法(从图象上看升降)4.函数单调性的常用结论：(1)若(),()fxgx均为某区间上的增（减）函数，则()()fxgx在这个区间上也为增（减）函数；(2)若()fx为增（减）函数，则()fx为减（增）函数；(3)若()fx与()gx的单调性相同，则[()]yfgx是增函数；若()fx与()gx的单调性不同，则[()]yfgx是减函数；其规律：“同增异减”(4)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反；(5)常用函数的单调性解答：比较大小、求值域与最值、解不等式、证不等式、作函数图象；(6)函数的单调区间只能是定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成并集。七、函数的奇偶性：1.定义：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．2.具有奇偶性的函数的图象的特征:偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．3.判断函数奇偶性的步骤：首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；确定f(－x)与f(x)的关系；作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．4.函数奇偶性的常用结论：（1）如果一个奇函数在0x处有定义，则(0)0f，如果一个函数()yfx既是奇函数又是偶函数，则()0fx（反之不成立）（2）两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。（3）一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。（4）两个函数()yfu和()ugx复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。（5）若函数()fx的定义域关于原点对称，则()fx可以表示为11()[()()][()()]22fxfxfxfxfx，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。（6）若函数)(xfy是偶函数，则)()(axfaxf；若函数)(axfy是偶函数，则)()(axfaxf.（7）多项式函数的奇偶性多项式函数()Px是奇函数()Px的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数()Px是偶函数()Px的奇次项(即偶数项)的系数全为零.八、函数的对称性：1.函数自对称：（1）关于y轴对称的函数（偶函数）的充要条件是)()(xfxf（2）关于原点0,0对称的函数（奇函数）的充要条件是0)()(xfxf（3）关于直线yx对称的函数的充要条件是1()()fxfx（4）函数()yfx满足()()faxfbx时，函数()yfx的图象关于直线2abx对称。（注：特别地，当a=b=0时，该函数为偶函数）（5）函数()yfx满足()()faxfbxc时，函数()yfx的图象关于点（2ab，2c）对称。（注：当a=b=c=0时，函数为奇函数）2.两个函数的图象对称性：（1）)(xfy与)(xfy关于x轴对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)()(xgxf，即它们关于0y对称。（2）)(xfy与)(xfy关于y轴对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)()(xgxf，即它们关于0x对称。（3）)(xfy与)2(xafy关于直线ax对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)2()(xagxf，即它们关于ax对称。（4）)(xfy与)(2xfay关于直线ay对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足axgxf2)()(，即它们关于ay对称。（5）)2(2)(xafbyxfy与关于点,ab对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足bxagxf2)2()(，即它们关于点,ab对称。（6）)(xafy与)(bxy关于直线2bax对称。（7）()yfx与1()yfx关于直线yx对称。九、函数的周期性：1．定义：一般地，对于函数()fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有(T)()fxfx，那么函数()fx就叫做周期函数，非零常数T叫做函数的周期。2．函数周期性的性质：（1）对于非零常数A，若函数()yfx满足(A)()fxfx，则函数()yfx必有一个周期为2A。（2）对于非零常数A，函数()yfx满足1(A)()fxfx，则函数()yfx的一个周期为2A。（3）对于非零常数A，函数()yfx满足1()()fxfx，则函数()yfx的一个周期为2A。3.对称性和周期性之间的联系：（1）函数()yfx有两根对称轴x=a，x=b时，那么该函数必是周期函数，且对称轴之间距离的两倍必是函数的一个周期。（2）函数()yfx满足()()faxfaxc和()()fbxfbxc（a≠b）时，函数()yfx是周期函数。（函数()yfx图象有两个对称中心（a，2c）、（b，2c）时，函数()yfx是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期。）（3）函数()yfx有一个对称中心（a，c）和一个对称轴xb）（a≠b）时，该函数也是周期函数，且一个周期是4()ba十、一次函数：形如0,,,kRbkbkxy的函数十一、二次函数：1.一般式：0,)(2acbxaxxf2.顶点式：0,)()(2anmxaxf3.零点式：0),)(()(21axxxxaxf十二、反比例函数：形如0,kxky的函数1.我们常用分离常数的方法将一个分式型函数转化为反比例函数来研究：或：)0,()()1()()()(cacdxcdabcacacdxcdabca