七年级数学下册三角形探索三角形全等的条件课件北师大版

第四章三角形初中数学（北师大版）七年级下册知识点一判定三角形全等的条件——边边边内容应用格式图形表示边边边(SSS)三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”)在△ABC和△A'B'C'中,∵ ∴△ABC≌△A'B'C'(SSS) 注意用“≌”表示时,对应顶点写在对应的位置上ABA'B',ACA'C',BCB'C',例1如图4-3-1,AB=DC,AF=DE,BE=CF,B,E,F,C在同一直线上,试说明:△ABF≌△DCE.图4-3-1分析要说明△ABF≌△DCE,需要得出这两个三角形的三对对应边相等,题目提供的条件中“AB=DC,AF=DE”恰好是对应边相等,我们只需再得到BF=CE即可,这个可由“BE=CF”运用等式性质,两边同时加上EF获得.解析∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE.在△ABF和△DCE中, ∴△ABF≌△DCE(SSS).,,,ABDCAFDEBFCE知识点二判定三角形全等的条件——角边角、角角边内容应用格式图形表示角边角(ASA)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”)在△ABC和△A'B'C'中,∵ ∴△ABC≌△A'B'C'(ASA) 角角边(AAS)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”)在△ABC和△A'B'C'中,∵ ∴△ABC≌△A'B'C'(AAS) BB',BCB'C',CC',AA',BB',BCB'C',知识详解(1)用“ASA”判定两个三角形全等的条件是两角及这两个角的夹边对应相等.因此列举两个三角形全等的条件时,一定要把夹边写在中间,以突出边角的位置及对应关系,避免出错.(2)用“AAS”来判定两个三角形全等时,要注意边是其中一角的对边,三个条件一定要对应,按“角角边”的顺序列出全等的三个条件.(3)“AAS”与“ASA”的联系结合三角形的内角和定理可知,“AAS”可由“ASA”推导得出,将两者结合起来可得出:两个三角形,如果具备两个角和一边对应相等,就可判定其全等.其中“对应”必不可少.如图,△ABC与△DEF不全等 例2(2017四川宜宾中考)如图4-3-2,已知点B、E、C、F在同一条直线上,AB=DE,∠A=∠D,AC∥DF.试说明:BE=CF. 图4-3-2分析由AC∥DF可得∠ACB=∠F,又∠A=∠D,AB=DE,可以利用AAS得到△ABC≌△DEF,根据全等三角形的对应边相等可得BC=EF,都减去EC即可得BE=CF.解析∵AC∥DF,∴∠ACB=∠F,在△ABC和△DEF中, ∴△ABC≌△DEF(AAS),∴BC=EF,∴BC-CE=EF-CE,即BE=CF.,,,ADACBFABDE知识点三判定三角形全等的条件——边角边内容应用格式图形表示边角边(SAS)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)在△ABC和△A'B'C'中,∵ ∴△ABC≌△A'B'C'(SAS) 知识详解(1)用“SAS”判定两个三角形全等时,对应相等的三对元素中的角必须是两条边的夹角,而不是其中一边的对角.书写时,要按照边角边的顺序来写. (2)当角是一组相等边的对角,即两边和其中一边的对角分别相等时,两个三角形不一定全等.如图所示,在△ABC和△ABD中,AB=AB,AC=AD,∠B=∠B(∠B分别是AC,AD边的对角),显然△ABC和△ABD不全等ABA'B',BB',BCB'C',例3(2017四川南充中考)如图4-3-3,DE⊥AB,CF⊥AB,垂足分别是点E、F,DE=CF,AE=BF,试说明:AC∥BD. 图4-3-3分析欲得出AC∥BD,只要得出∠A=∠B,从而只要得出△DEB≌△CFA即可.解析∵DE⊥AB,CF⊥AB,∴∠DEB=∠AFC=90°,∵AE=BF,∴AF=BE.在△DEB和△CFA中, ∴△DEB≌△CFA(SAS),∴∠B=∠A,∴AC∥DB.,,,DECFDEBAFCBEAF知识点四全等三角形判定方法的灵活运用判定两个三角形全等时,如果给出的条件不全面,则需要根据已知的条件结合相应的判定方法进行分析,先找出所缺的条件再说明全等.具体思路如下:(1)已知两边思路一(找第三边)思路二(找角) AB=DE,BC=EF首先找出AC=DF,然后应用“SSS”判定全等①找夹角:首先找出∠B=∠E,然后应用“SAS”判定全等;②找直角用“HL”判定全等(后面会学到)(2)已知两角思路一(找夹边)思路二(找角的对边) ∠A=∠D,∠B=∠E首先找出AB=DE,然后应用“ASA”判定全等首先找出AC=DF或BC=EF,然后应用“AAS”判定全等(3)已知一边一角思路一(找夹角的另一边)思路二(找夹边的另一角)思路三(找边的对角) ①边为角的邻边:AB=DE,∠B=∠E首先找出BC=EF,然后应用“SAS”判定全等首先找出∠A=∠D,然后应用“ASA”判定全等首先找出∠C=∠F,然后应用“AAS”判定全等②边为角的对边:AC=DF,∠B=∠E找边的邻角对应相等,先找出∠A=∠D或∠C=∠F,然后应用“AAS”判定全等例4如图4-3-4,在△ABC中,点D是BC的中点,作射线AD,在线段AD及其延长线上分别取点E,F,连接CE,BF.添加一个条件,使得△BDF≌△CDE,并说明理由.你添加的条件是(不添加辅助线).图4-3-4分析由中点知BD=CD,又由对顶角相等知∠BDF=∠CDE,故可添加一个条件用“SAS”或“AAS”或“ASA”判定两三角形全等.解析可添加的条件是DE=DF(或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB).理由:(以DE=DF为例)∵D是BC的中点,∴BD=CD.在△BDF和△CDE中, ∴△BDF≌△CDE(SAS).,,,BDCDBDFCDEDFDE知识点五三角形的稳定性只要三角形三条边的长确定了,这个三角形的大小和形状就确定了,这就是三角形的稳定性.三角形的稳定性在实际生活中应用很广,无论什么构件,只要做成三角形形状,放于任何地方都不变形.例5木匠师傅用4根木条钉成一个四边形木架,如图4-3-5,要使这个木架不变形,他至少要再钉上根木条. () 图4-3-5A.0B.1C.2D.3解析连接AC或BD,构成三角形,三角形具有稳定性.答案B题型一利用三角形全等说明两直线的位置关系例1如图4-3-6,△ABC是等边三角形,D是AB上一点,以CD为边作等边三角形CDE,使点E,A在直线CD的同侧,连接AE.试说明:AE∥BC. 图4-3-6分析根据等边三角形的三边相等,三个角相等,推出AC=BC,CE=CD,∠B=∠BCA=∠ECD=60°,进而得出∠ACE=∠BCD,从而根据“SAS”得出△ACE≌△BCD,可得∠EAC=∠B=60°=∠BCA,进而得出AE∥BC.解析因为△ABC和△DEC是等边三角形,所以AC=BC,CE=CD,∠B=∠BCA=∠ECD=60°.所以∠ACE=∠BCD.在△ACE和△BCD中, 所以△ACE≌△BCD(SAS),所以∠EAC=∠B=60°=∠BCA.所以AE∥BC.,,,ACBCACEBCDCECD点拨要得出两直线平行,一般将问题转化为两角(同位角、内错角或同旁内角)的关系,可利用三角形全等来完成.题型二利用三角形全等解决线段的和(差)问题例2如图4-3-7,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,分别过点B,C向过点A的直线作垂线,垂足分别为点E,F. 图4-3-7(1)如图4-3-7①,过点A的直线与斜边BC不相交时,试说明:EF=BE+CF;(2)如图4-3-7②,过点A的直线与斜边BC相交时,其他条件不变.若BE=10,CF=3,求EF的长.分析(1)首先根据已知条件得出△ABE≌△CAF,然后利用对应边相等就可以得出EF=BE+CF.(2)与(1)同理可知△ABE≌△CAF仍成立,再根据对应边相等求出EF的长.解析(1)因为BE⊥EF,CF⊥EF,所以∠BEA=∠AFC=90°.因为∠BAC=∠BEA=90°,所以∠EAB+∠FAC=90°,∠EBA+∠EAB=90°.所以∠EBA=∠FAC.在△ABE和△CAF中, 所以△ABE≌△CAF(AAS).所以AE=CF,BE=AF.所以EF=BE+CF.,,,BEAAFCEBAFACABCA(2)与(1)同理可得到△ABE≌△CAF.所以AE=CF=3,AF=BE=10.所以EF=AF-AE=10-3=7.点拨解决线段的和(差)问题,通常把各线段转化到同一条直线上,可用全等三角形进行转化.易错点错用“SAS”例如图4-3-8,∠DAC=∠CBD,∠CAB=∠DBA,AD=BC,试说明:△ABD≌△BAC. 图4-3-8错解在△ABD和△BAC中,因为 所以△ABD≌△BAC(SAS).,,,ADBCCABDBAABAB错因分析∠CAB和∠DBA并不是AD与AB和BC与AB的夹角.正解因为∠DAC=∠CBD,∠CAB=∠DBA,所以∠DAC+∠CAB=∠CBD+∠DBA,即∠DAB=∠ABC.在△ABD和△BAC中,因为 所以△ABD≌△BAC(SAS).,,,ADBCDABCBAABAB知识点一判定三角形全等的条件——边边边1.如图4-3-1,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等,下面的4个条件中:①AE=FB;②AB=FE;③AE=BE;④BF=BE,可利用的是 () 图4-3-1A.①或②B.②或③C.①或③D.①或④答案A由题意可得,要用“SSS”进行△ABC和△FED全等的判定,只需AB=FE,若添加①AE=FB,则可得AE+BE=FB+BE,即AB=FE,故①可以;显然②可以;若添加③AE=BE或④BF=BE,均不能得出AB=FE,故③④不可以,故选A.2.如图4-3-2,已知AD=CB,若利用“SSS”来判定△ABC≌△CDA,则添加的条件是. 图4-3-2答案AB=CD3.如图4-3-3,AB=AE,AC=AD,BD=CE,试说明:△ABC≌△AED. 图4-3-3解析因为BD=CE,所以BD-CD=CE-CD,即BC=ED.在△ABC和△AED中, 所以△ABC≌△AED.,,,ABAEACADBCED知识点二判定三角形全等的条件——角边角、角角边4.如图4-3-4,小红同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是 ()A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去图4-3-4答案C③中有完整的∠B,∠C和BC边,由“ASA”可配出完全一样的玻璃.5.已知在△ABC和△A1B1C1中,AB=A1B1,∠A=∠A1,要使△ABC≌△A1B1C1,还需添加一个条件,这个条件可以是.答案∠C=∠C1或∠B=∠B16.如图4-3-5,在△ABC中,D是BC边上的点(不与B,C重合),F,E分别是AD及其延长线上的点,CF∥BE.请你添加一个条件,使△BDE≌△CDF.(不再添加其他线段,不再标注或使用其他字母) 图4-3-5(1)你添加的条件是;(2)试说明:△BDE≌△CDF.解析(1)BD=DC(或点D是线段BC的中点或ED=FD或CF=BE).(2)以BD=DC为例进行说明:因为CF∥BE,所以∠EBD=∠FCD.又因为BD=DC,∠EDB=∠FDC,所以△BDE≌△CDF.知识点三判定三角形全等的条件——边角边7.如图4-3-6,AB∥CD,AB=CD,BE=DF,则图中的全等三角形有 () 图4-3-6A.3对B.4对C.5对D.6对答案A∵AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB.由“SAS”可判定△