15.5几何体的体积(2)--椎体、球

1.祖暅原理夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．结论柱体的体积等于它的底面积s和高h的积。V柱体=sh2.柱体(棱柱、圆柱)体积前知回顾锥体的体积(1)结论1：等底等高的两个三棱锥的体积相等.ABCA’C’B’将三棱锥以△ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱柱.ABCA’C’B’联结B’C，再把该三棱柱分割成三个三棱锥.由此，可得三棱锥1、三棱锥2和三棱锥3.１23BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’BCA’B’CA’C’B’ABCA’１23三棱锥1、2的底△ABA’、△B’A’B的面积相等，高也相等(顶点都是C)，即体积相等.三棱锥2、3的底△BCB’、△C’B’C的面积相等，高也相等(顶点都是A’)，即体积相等.结论2：三棱锥的体积等于与它等底等高的三棱柱的体积的三分之一1231133VVVVSh棱柱ShV31棱锥例1已知正四棱锥P-ABCD的棱长都为a，求其体积和表面积.ＣDPＡＢO32622231aaaV222)13(434aaaS全练习：P.41练习15.5(2)P.42练习15.5(3)αshsh结论3：等底等高的圆锥与三棱锥的体积相等S1S2h1h1β只要证明S1=S2即可底面半径为r，高为h的圆锥体积的推导21=3Vrh圆锥即∴222212211SrhhShhSSS1221hh=rr1hh1=αshshS1S2h1h1β∵截面与底面相似，它们的面积比等于相对应的高的平方比∴2221212)(rhhrhhS底面半径为r，高为h的圆锥体积的推导21=3Vrh圆锥小结：结论一：等底等高的两个锥体体积相等。结论二：如果三棱锥的底面积为S，高为h，那么它的体积是V三棱锥＝Sh结论三：如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积是S,高是h，那么它的体积是V锥体＝Sh推论：如果圆锥的底面半径为r，高为h，那么它的体积是V圆锥＝1313213rh（1）倒沙实验:给出如下几何模型RR球体体积公式的推导实验步骤:１．拿出圆锥和圆柱２．将圆锥倒立放入圆柱结论:截面面积相等,R则两个几何体的体积相等.３．取出半球和新的几何体作它们的截面问题:截面面积相等吗?RRR2213RRRR343VR球＝球V21球的体积计算公式：R球面球RSRSRSRSVR3131313134321324RS球面S1探究（2）球的表面积的推导例1、有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg．已知底面六边形的边长是12mm，高是10mm，内孔直径是10mm．那么约有毛坯多少个？(铁的比重为7.8g/cm3)分析：六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差，再由比重算出一个六角螺帽毛坯的体积即可．解.V正六棱柱=V=3.74×103-0.785×103≈2.96×103（mm3）=2.96cm3一个毛坯的体积为约有毛坯5.8×103÷（2.96×7.8)≈251(个)答．这堆毛坯约有251个.2333126103.7410()4mmV圆柱=2335100.78510()mm例2、在△ABC中，AB=2，AC=1.5，∠BAC=1200.若将△ABC绕直线AC旋转一周，求形成的旋转体的体积．例3、在长方体AC1中,用截面截下一个棱锥C-A1DD1，求C-A1DD1的体积与剩余部分的体积之比．A1D1C1B1BCDA例4.如图是一石柱,石柱顶上部是一个正四棱锥,下部是一个正四棱柱.已知正四棱柱底面边长0.5米,高1米,正四棱锥的高是0.3米.石料比重d为每一立方米2400千克.求这个石柱的重量.解:V棱锥=V棱柱=.025.03.05.03132米,25.015.032米所以石柱的重量P=(V棱柱+V棱锥)×d=660(千克).0.5米1米0.3米例5.在三棱锥V-ABC中,已知AC=BC=13,AB=10，三个侧面与底面所成的二面角均为60o,VO⊥平面ABC,交平面ABC于O.BACVEOFD(2)求三棱锥的高.(3)求三棱锥的体积.(1)求证：O是△ABC的内心.OD为VD在平面ABC内的射影,根据三垂线定理,得VD⊥AB.于是∠VDO为侧面VAB与底面所成二面角的平面角.∠VDO=∠VEO=∠VFO=60o.CV解:（1）连结CO并延长交AB于D,过O在平面ABC内分别作AC、BC的垂线,F、E为垂足.连结VD、VF、VE.AEOFDBRETURN因为VO⊥平面ABC,CD⊥AB,显然OD=OE=OF=VOctg60o,即点O到△ABC三边距离相等.因此O是△ABC的内心..331060,.310.60,12)2(22ODtgVOhODABCSADACCDABC所以内切圆半径的易知得CVEOFD.332003310603131)3(hSVABCABCVAB例6.已知正四棱锥相邻两个侧面所成二面角为120o,底面边长a,求它的高、体积.ABCDSEOABCDSEO解：连结AC、BD交于O，连结SO，则SO为正四棱锥的高.过B作BE⊥SC,E为垂足.连结DE,则∠DEB为二面角D-SC-EB的平面角,所以DEB=120o.ASBCDEO.61213131.212143.23,,313660,22322231212aaaShVaaOCSCSOaSCSCECOCSOCRTaECaBEOEBaOCOBaAB中又连结OE,例7、如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,G为A1B1上的点,E、F在棱AB上,H在C1D1上.(1).若点G在A1B1上滑动,H在C1D1上滑动,线段EF在AB上滑动,则VH-EFG的值有何变化?(2).若点G滑动到B1,E、F滑动到A、B点,H滑动到D1点,则VH-EFG体积为多少?ABCDA1B1C1D1GHEF练习1：将长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，这个三棱锥的体积是长方体体积几分之几？（请列出三棱锥体积表达式）ABCDA’C’B’D’问题1、你能有几种解法？问题2、如果这是一个平行六面体呢？或者四棱柱呢？练习2:从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥，得到一个正三棱锥A-BCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？CDAB问题2、如果改为求棱长为a的正四面体A-BCD的体积。你能有几种解法？问题1、你能有几种解法？解一、补形，将三棱锥补成一个正方体。解二、利用体积公式V四面体＝S△BCD·h31解三、将四面体分割为三棱锥C-ABE和三棱锥D-ABEE小结：1、锥体体积公式的证明体现了从整体上掌握知识的思想，形象具体地在立体几何中运用“割补”进行解题的技巧。2、三棱锥体积的证明分两步进行：⑴、证明底面积相等、高也相等的任意两个锥体体积相等：（一个锥体的体积计算可以间接求得）⑵、证明三棱锥的体积等于其底面积与高的积的三分之一：（它充分揭示了一个三棱锥的独特性质，可根据需要重新安排底面，这样也为点到面的距离、线到面的距离计算提供了新的思考方法。）3、锥体的体积计算在立体几何体积计算中，占有重要位置，它可补成柱体又可以截成台体，它可以自换底面、自换顶点，在计算与证明中有较大的灵活性，技巧运用得当，可使解题过程简化。1.用一张长12cm，宽8cm的矩形围成圆柱形的侧面，求这个圆柱的体积。2.已知一个铜质的五棱柱底面积为16cm2，高为4cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块，那么铸成的铜块的棱长为多少（不计损耗）？3.若一个六棱锥的高为10cm，底面是边长为6cm的正六边形，求这个六棱锥的体积．练习