用空间向量解决空间角的问题

3.2立体几何中的向量方法空间向量与空间角（第一课时）（1）两向量数量积公式：（2）两向量夹角公式：（3）平面的法向量：与平面垂直的向量如何用空间向量去求空间角呢？bababa,cos||||||||,cosbababaabO]2,0(2、用向量法求异面直线所成角设两异面直线a、b的方向向量分别为和，那么问题1：当与的夹角不大于90°时，异面直线a、b所成的角与和的夹角的关系？ababba,Obaab问题2：与的夹角大于90°时，，异面直线a、b所成的角与和的夹角的关系？结论：异面直线a、b所成的角的余弦值为ababObaba,|||||||,cos|cosbababa总结：异面直线a和直线b所成的角可以转化为向量和所成的锐角，因为向量和所成的角有可能是钝角，此时为了保证的值大于零，我们取钝角的补角为这两条异面直线所成的角。特别说明：若异面直线直线a和b相互垂直，则=0ababcoscos二、直线与平面所成的角1、平面外一条直线与它在平面上的射影所成的角。如图所示：范围：?ABO]2,0[||||cosBOBABOBA思考：设平面的法向量为，则与的关系？据图分析可得结论：nBAn,ABOnABOnBAn,22,BAn|,cos|sinABn||||||nBAnBA•例1如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，求直线AM与CN所成的角的余弦值．求异面直线所成的角，可以先建立空间直角坐标系，求出直线AM与NC的方向向量的坐标形式，再利用向量的夹角公式计算即可．方法一：如图，把D点视为原点O，分别以DA→、DC→、DD1→方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．则A(1,0,0)，M1，12，1，C(0,1,0)，N1，1，12.∴AM→＝1，12，1－(1,0,0)＝0，12，1.CN→＝1，1，12－(0,1,0)＝1，0，12.故AM→·CN→＝0×1＋12×0＋1×12＝12，|AM→|＝02＋122＋12＝52，|CN→|＝12＋02＋122＝52.设直线AM与CN所成的角为α，则cosα＝AM→·CN→|AM→||CN→|＝1252·52＝25.∴直线AM与CN所成的角的余弦值为25.[解题过程]方法二：∵AM→＝AA1→＋A1M→，CN→＝CB→＋BN→，∴AM→·CN→＝(AA1→＋A1M→)·(CB→＋BN→)＝AA1→·BN→＝12，|AM→|＝AA1→＋A1M→2＝|AA1→|2＋|A1M→|2＝1＋14＝52，同理，|CN→|＝52.设直线AM与CN所成的角为α，则cosα＝AM→·CN→|AM→||CN→|＝1254＝25.∴直线AM与CN所成角的余弦值为25.•[题后感悟]如何用坐标法求异面直线所成的角？•(1)建立适当的空间直角坐标系；•(2)找到两条异面直线的方向向量的坐标形式；•(3)利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角；•(4)结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角．例2：的棱长为1.111.BCABC求与平面所成的角的正弦值A1xD1B1ADBCC1yz例2：的棱长为1.111.BCABC求与平面所成的角的正弦值解建立直角坐标系.11(010)则，-，，BCB11平面ABC的一个法向量为D=(1，1，1)1110103cos313，BDBC1113所以与面所成的角的正弦值为。3BCABCA1xD1B1ADBCC1yz[题后感悟]求直线与平面所成的角的方法与步骤(1)用向量法求直线与平面所成的角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面所成的角的基本步骤为：①建立空间直角坐标系；②求直线的方向向量AB→；③求平面的法向量n；④计算：设线面角为θ，则sinθ＝|n·AB→||n|·|AB→|.(2)找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．1、如图，三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，且∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，OB＝OO1＝2，OA＝3，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值．解析：以O为坐标原点，OA、OB分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(3，0,0)，B(0,2,0)，A1(3，1，3)，O1(0,1，3)，所以A1B→＝(－3，1，－3)，O1A→＝(3，－1，－3)，设所求的角为α，则cosα＝|A1B→·O1A→||A1B→|·|O1A→|＝17.即异面直线A1B与O1A所成的角的余弦值为17.2、已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，M为A1B1的中点，求BC1与平面AMC1所成角的正弦值．解建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，M(0，a2，2a)，C1(－32a，a2，2a)，B(0，a，0)，故AC1→＝(－32a，a2，2a)，AM→＝(0，a2，2a)，BC1→＝(－32a，－a2，2a)．设平面AMC1的法向量为n＝(x，y，z)．则AC1→·n＝0，AM→·n＝0.∴－32ax＋a2y＋2az＝0，a2y＋2az＝0，令y＝2，则z＝－22，x＝0.∴n＝(0，2，－22)．又BC1→＝(－32a，－a2，2a)，∴cos〈BC1→，n〉＝BC1→·n|BC1→||n|＝－a－a3a×92＝－269.设BC1与平面AMC1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈BC1→，n〉|＝269.如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点．(1)证明：PE⊥BC；(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．课堂小结:1．异面直线所成的角：2．直线和平面所成的角：|||||||,cos|cosbababa|,cos|sinABn||||||nBAnBA布置作业：1.必做选修2-1习题3.2A组题1、2、3、42.选做A组题10、11