向量法解决立体几何中的夹角问题

向量法解决立体几何夹角问题1.异面直线所成角：coscos,CDAB||CDAB1D2.直线与平面所成角：sincos,nAB||nOBA3.二面角：cos12|cos,|nncos12|cos,|nn关键：观察二面角的范围2n1n知识储备在利用空间向量解答立体几何夹角问题时，主要要突破“四关”：第一，突破“建系关”；第二，突破“坐标关”；第三，突破“法向量关”；第四，突破“夹角公式关”。在四关中建系是入门关，如何建立合适的直角坐标系是解决立体几何问题的入门关键所在第一关：建系关1、空间直角坐标系的建立方法：在空间中取原点0，从原点0引三条两两垂直的直线做为坐标轴，最后选定某个长度作为单位长度。如右图oxzy运用空间向量(或坐标)来处理(三步曲):（1）建系转化：把立体几何问题转化为向量问题（2）向量运算：运用向量相关知识。（3）回到图形下结论：把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.yzxoxyzzyxxyz类型一：用“墙角”用墙角：有三条两两垂直的直线，直接建系.●类型分析造墙角：通过作辅助线并加以证明，“造”出“墙角”，从而可建系.类型二：造“墙角”OyxzOyxzOyxzEyxzEyxz.32,,21ABBCDABBCDMCDMCDBCD已知平面平面面的正三角形，平都是边长为与、如图，例ABCMD需求解。尝试多种建系方法，无所成二面角正弦值。与平面求平面BCDACMABCMDABCMDABCMDABCMD归纳1:1.有三条两两垂直的直线（墙角）时建系最方便；2.没有明显的“墙角”时需通过条件或辅助线“找墙角”或“造墙角”；3.实在没有时可借助直角建系，可令一条坐标轴“悬空”.第二关：坐标关ⅡⅦzx面ⅤⅥⅠxy面yz面ⅢⅣⅧzxy•O空间直角坐标系共有八个卦限空间直角坐标系的划分•P1P2P3yxz••11P•xyzo1•空间中点的坐标对于空间任意一点P，要求它的坐标过P点分别做三个平面分别垂直于x,y,z轴，平面与三个坐标轴的交点分别为P1、P2、P3，在其相应轴上的坐标依次为x,y,z，那么(x,y,z)就叫做点P的空间直角坐标，简称为坐标，记作P(x,y,z)，数值x,y,z叫做P点的横坐标、纵坐标、竖坐标。•xyzo111•P•P0xyzP点坐标为(x,y,z)P1空间中点的坐标方法二：过P点作xOy面的垂线，垂足为点。点在坐标系xOy中的坐标x、y依次是P点的横坐标、纵坐标。再过P点作z轴的垂线，垂足在z轴上的坐标z就是P点的竖坐标。0P0P1PMNABCMDABCMDABCMDABCMD例2在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=4,AD=2,平行六面体高为，顶点D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中点，设△AB1D1的重心G，建立适当空间直角坐标系并写出下列点的坐标。(1)A1、B1、A、D1；(2)G;(3)B;(4)若N为DD1上点，且ON⊥DD1写出N坐标。32ABCDB1C1D1A1O例2在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=4,AD=2,平行六面体高为，顶点D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中点，设△AB1D1的重心G，建立适当空间直角坐标系并写出下列点的坐标。(1)A1、B1、A、D1；(2)G;(3)B;32解（1）A1(2,-2,0)B1(2,2,0)、A(2,0,)、D1(0,-2,0)32(2)332,0,34G投影法公式法yzxABCDB1C1D1A1O例2在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=4,AD=2,平行六面体高为，顶点D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中点，设△AB1D1的重心G，建立适当空间直角坐标系并写出下列点的坐标。32(3)设B(x,y,z),则又∵,比较得∴点B坐标为32,2,0,,2,211DDzyxBBDDBB1132,4,2zyx32,4,2ABCDB1C1D1A1Oyzx向量法例2在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=4,AD=2,平行六面体高为，顶点D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中点.(4)若N为DD1上点，且ON⊥DD1写出N坐标。32ABCDB1C1D1A1OyzxN解:(4)∵三点共线，可设即,∵故D11DND32,2,032,2,01ND32,22,011NDODONDND,,132,22,0N01DDON41,01214023,23,0N向量法求空间直角坐标下点的坐标的方法:一、投影法将空间点P分别投影到x轴、y轴、z轴所得投影点为A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)则点P坐标为(a,b,c)。二、公式法利用线段的中点坐标公式三角形的重心坐标公式、距离公式、夹角公式等求出点的坐标。三、向量法利用向量相等、垂直、共线等运算求出点坐标。第三关：法向量关),,()1(zyxn设出平面的法向量为),,(),,,()2(222111cbabcbaa向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的00,,)3(bnanzyx方程组的关于根据法向量的定义建立个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4(求法向量的步骤：例：在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)AB,(0,0,2)C,试求平面ABC的一个法向量.解:设平面ABC的一个法向量为(,,)nxyz则nABnAC，.∵(3,4,0)AB,(3,0,2)AC∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0xyzxyz即340320xyxz∴3432yxzx取4x,则(4,3,6)n∴(4,3,6)n是平面ABC的一个法向量.练习:在正方体1111ABCDABCD中，求证：1DB是平面1ACD的法向量证：设正方体棱长为1，以1,,DADCDD为单位正交基底，建立如图所示空间坐标系xyzD1(1,1,1)DB，(1,1,0)AC，1(1,0,1)AD10DBAC，所以1DBAC,同理11DBAD又因为1ADACA所以1DB平面ACD,从而1DB是平面1ACD的一个法向量.第四关：夹角关1.异面直线所成角：coscos,CDAB||CDAB1D2.直线与平面所成角：sincos,nAB||nOBA3.二面角：cos12|cos,|nncos12|cos,|nn关键：观察二面角的范围2n1n例正三棱柱中，D是AC的中点，当时，求二面角的余弦值。111CBAABC11BCABCBCD1CADBC1B1A1)0,21,23(aaA)0,,0(aB)0,41,43(aaD),0,0(1bC),,0(1baB如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面三角形的边长为a，侧棱长为b,则C(0,0,0)故),21,23(1baaAB),,0(1baBC11,ABBC2211102ABBCab22ba则可设=1，，则B(0,1,0)a22b)0,41,43(D)22,0,0(1CyxzCADBC1B1A1FE设面的一个法向量为BDC1),,(zyxm已求得B(0,1,0))0,43,43(DB)22,41,43(1DC可取＝(1,0,0)为面的法向量BCC1∴nyxzCADBC1B1A1由得mDBmDC,113120,442CDmxyz04343yxmDB解得zyx263所以，可取)6,3,3(m∴cos〈〉=nm,22233nmnm即二面角的余弦值为CBCD122