二项式定理

二项式定理胶南电子学校王新花一、教材分析【教材的地位及作用】“二项式定理”是高中数学新教材第二册（下B）第十章第四节，它是安排在排列组合内容后的自成体系的知识块。实际上，它是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式-----二项式乘方的展开式。它与后面学习的概率理论中的二项分布有内在联系，利用二项式定理可进一步深化对组合数的认识，因此，二项式定理起着承上启下的作用，是本章教学的一个重点。本小节约需3个课时，本节课是第一课时。【学生情况分析】授课对象是高二中等程度班级的学生。学生具有一般的归纳推理能力，学生思维较活跃，但创新思维能力较弱。在学习过程中，大部分学生只重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程。（根据以上分析，结合新课标的理念，制订如下的教学目标和教学重、难点）。【教学目标】使学生掌握二项式定理及推导方法、二项展开式、通项公式的特点，并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题。1、知识目标：2、能力目标：在学生对二项式定理形成过程的参与探讨过程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力，以及学生的化归意识与知识迁移的能力。3、情感目标：通过“二项式定理”的学习，培养学生解决数学问题的兴趣和信心，让学生感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美，结合“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的热情，培养学生勇于探索、勇于创新的精神。【教学重点、难点、关键】重点：（1）使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，掌握二项式定理；（2）能正确应用二项式定理解决一些简单的问题。难点：（1）二项式系数与组合数之间的联系；（2）二项展开式的应用及一些易混淆的概念。突破难点的关键：（1）利用组合数及性质分析“杨辉三角”中各数的关系；（2）利用组合的知识归纳二项式系数；（3）充分利用二项展开式及通项公式。二、教法、学法分析数学是一门培养人的思维发展的重要学科。因此，在教学中让学生自己发现规律是最好的途径。正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之，深固之。”本节课的教法贯穿启发式教学原则以启发学生主动学习，积极探求为主，创设一个以学生为主体，师生互动，共同探索的教与学的情境，采用引导发现法，由学生熟悉的多项式乘法入手，进行分析，又可利用组合的有关知识加以分析、归纳，通过对二项展开式规律的探索过程，培养学生由特殊到一般，经过观察分析、猜想、归纳（证明）来解决问题的数学思想方法，培养了学生观察、联想、归纳能力。不仅重视知识的结果，而且注重了知识的发生、发现和解决的过程，贯彻了新课程标准的教学理念，培育了本节课内容最佳的“知识生长点”，这对于学生建立完整的认知结构是有积极意义的。三、教学手段制作多媒体课件，以增加课堂容量，提高学生的兴趣，使学生加深对定理、概念的理解。四、教学过程设计【复习引入：】复习回顾：［提问］初中学过的完全平方公式是什么？你能写出，3()?ab4()?ab设计意图：通过复习旧知识，自然引入，在这里设计了层层递进多项式展开问题，目的是为了让学生了解知识发生、发展的过程，激发学生的认知的冲突，让学生明白实质上是多项式的乘法。()nab思路一：222()2abaabb33223()33abaababb43432234()()()464abababaabababb提问：(1)、以为例，展开式中各项字母的形式是什么？展开式项的次数是什么？有几项？4()ab(2)、展开式中各项的系数与展开式中各项的系数有没有关系？(3)、你能猜想展开式的形式吗？3()ab4()ab()nab观察下列几个等式：【设计意图：】()nab由特殊的二项式来分析猜想一般的展开式，培养学生由特殊到一般的思维方式，培养学生大胆探索的精神。（１）、展开式中各项是的形式，可按a（或b）的降幂排成：ijabijn1221,,,,,nnnnnaabababb（２）、展开式中各项系数的规律：将中展开式的系数列成表如下：()nab1,2,3,4,n11121133114641…………1()ab2()ab3()ab4()ab发现：发现每行两端都是１，后一行其它各数是上一行肩上二数之和。再从一个数等于另二数之和联想到结合数及其性质：，于是各项系数可写成表中形式：111mmmnnnCCC01C11C02C12C22C03C13C23C33C04C14C24C34C44C由此猜想展开式的各项系数：012,,,,nnnnnCCCC()nab【设计意图：】学生对各项是形式不难猜到，但对二项式系数不易想到。通过“杨辉三角”中的数字规律，联想到组合数及性质，进而可用组合数来表示表中的数，从而猜想各项系数为，让学生的思维从特殊到一般，由迷茫到大悟，使学生深深体会到数学内在的和谐、对称美。在此，适时对学生进行爱国主义教育，激发学生的民族自豪感和学习数学的热情。ijab()nab(0,1,2,,)rnCrn思路二：观察下式：4()()()()()ababababab由多项式乘法知，其展开式的每一项是由4个括号各取一项相乘而得，故每一项都是形式，即.各项系数是由相同的项合并而成的，有几项其系数就是几，故4ijabij432234,,,,aabababb含的项只能由每个括号取a不取b（或说取0个b）而得，即，系数为；含的项只能由3个括号取a，余下的1个括号取b而得，即，系数为；含的项只能由2个括号取a，余下的2个括号取b而得，即，系数为；含的项只能由1个括号取a，余下的3个括号取b而得，即，系数为；含的项只能由4个括号都取b而得，即，系数为；4a3ab22ab3ab4b440044CaCb331141CaCb222242CaCb113343CaCb444Cb24C34C44C14C04C从而可得：40413222334444444()abCaCabCabCabCb提问：的展开式怎么写呢？()nab引导学生回答：可以对b分类：不取b，得取1个b，得取2个b，得…………取k个b，得…………取n-1个b，得取n个b，得0nnCa11nnCab222nnCabknkknCab11nnnCabnnnCb将这n+1个式子相加，可得二项式定理011()*nnnknkknnnnnnabCaCabCabCbnN【设计意图：】本环节以问题为中心，由浅入深地引导学生大胆猜想。利用组合知识，充分揭示二项展开式的内涵和外延。帮助学生建构和完善自己的认知结构，既显得合情合理，又科学严谨。进一步强化学生的逻辑思维能力和归纳能力。完善结论：把上述探索得到的结果叫做二项式定理，右边的多项式，共有n+1项，其中各项系数叫做二项式系数，其通项公式为：.(0,1,2,,)rnCrn10rnrrrnTCabrn说明：（1）、猜证法是数学中常用方法，本定理是由不完全归纳法得出，需加以证明。其证明因目前知识所限，留待以后完成，目前，只要求同学熟记并会应用。（2）、二项式定理是个恒等式，定理中字母a、b可表示数或式，其中.（3）、展开式共有n+1项，各项次数为n，它是按字母a降幂，b升幂排列。（4）、通项公式表示的是第r+1项，不是第r项，且a、b位置不能对换。（5）、二项式系数为，注意与项的系数的区别。nNrnC例如：的第三项是，其二项式系数为：，第三项的系数为：。7(12)x343471(2)TCx3735C3372280C【设计意图：】对定理的特点加以说明，可使学生能熟练掌握定理的特点，以便今后在应用定理解决问题时能得心应手。应用解析：例：（1）、展开（2）、求展开式的第3项41(1)x6(23)ab6(32)ba（学生练习:）（3）、求展开式的第3项【设计意图：】例（1）是对二项式定理的简单应用，目的在于对定理字母a、b所表示的数或式的领会及运用定理的能力；例（2）、（3）二题着重于学生对通项公式的掌握，体会二项式定理的展开式中a与b位置不能对换，并注意到例（3）的结论正是例（2）展开式中的倒数第3项。()nab应用解析：例（4）、的展开式中，项的系数是多少？7(23)abc232abc【设计意图：】本题可先将其中的二项看成一个整体，再用二项式定理展开，进而求出其系数，这种解法体现了化归的意识，但本题如能根据二项式定理的形成过程中项的系数的探究，可得如下解法：从7个括号的2个里取“a”得，再从余下的5个括号中的3个取“2b”得，最后剩下的2个括号里取“3c”得：，由分步计数原理得：通过本题的学习，有利于学生对知识的串联、累积、加工，使学生的思维有一个升华过程，从而达到举一反三的效果，加深学生对数学本质的理解。227Ca335(2)Cb222(3)Cc2233222323223275275(2)(3)7215120CaCbCcCCabcabc小结思路一：由特殊的二项式来分析猜想一般的展开式思路二：根据多项式乘法、结合组合知识，通过猜想归纳得到()nab二项式定理：及通项公式：011*()nnnknkknnnnnnabCaCabCabCbnN10rnrrrnTCabrn注意事项（a）、注意观察、分析、猜想、归纳（证明）的数学方法。（b）、二项式定理是个恒等式，定理中字母a、b可表示数或式，其中.（c）、展开式共有n+1项，各项次数为n，它是按字母a降幂，b升幂排列。（d）、通项公式表示的是第r+1项，不是第r项，且a、b位置不能对换。（e）、二项式系数为，注意与项的系数的区别。nNrnC布置作业1、课本作业：Ｐ1131、（1），2、（2），3、（3）2、思考题：求的展开式中x的系数3、研究性题：25(32)xx的展开式中x的系数为19，求的系数的最小值及此时展开式中的系数。*11,,mnfxxxmnN2x7x【设计意图：】（1）、本节课从知识上学习了二项式定理及通项公式，从方法上通过二项式定理的形成过程，学会了观察、分析、猜想、归纳（证明）的数学方法，通过小结，使学生对本节课的知识脉络更加清晰。（2）、通过作业巩固所学知识，发现和弥补教学中的疏漏与不足，强化基本技能训练，培养学生良好的学习习惯和品质。五、课后反思本节课是二项式定理的第一节课，在教学中注意以下几点：1、本节课以“二项式定理”的形成过程为主线，让学生思维由特殊到一般，演绎、归纳，得出定理。培养学生猜想、归纳，整节课以学生为主体，师生互动，体现了新课标的教学理念。2、在例题、练习、作业的配备上，我认为高中学习的特点是跨度大，思维能力要求高。因此，在题目的设置上，加大了思维的含量，如例4，让学生体会到二项式定理形成过程中的思维方式，培养了学生的知识迁移能力，因此，我认为习题的搭配应力求让学生处理每一个问题都必须有所思考，使学生体会到：数学不能生搬硬套，应该用数学的思想方法去学习数学、认识数学。3、以学生为主体，让学生自己去探索、发现、再创造，最能调动学生的积极性，最有利于培养数学能力，特别是创造性能力，从数学教育对人的发展的意义看，有效理解、主动探索的认识过程必然伴随着学生心理意志、情感、品质的成长与完善，数学教学的最终目标并非唯一地指向数学具体知识本身，其潜在的也是最重要的恰是指向学生的人性品质、生命成长。板书设计：10·4二项式定理一、复习引入二、二项式定理………………［思路一］……［思路二］三、二项式定理的几点说明四、应用解析……五、小结…………六、布置作业……谢谢