高中平面向量知识点总结

平面向量1、向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量2、向量的表示方法（1）几何表示：以A为起点，以B为终点的有向线段记作AB，如果有向线段AB表示一个向量，通常我们就说向量AB.（2）字母表示：印刷时粗黑体字母a，b，c…向量手写时带箭头的小写字母a，b…3、向量点的长度（模）向量的大小叫做向量的长或模，记作|AB|、｜a｜4、零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行a＝0｜a｜＝0单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a为单位向量｜0a｜＝1平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量称为平行向量，也叫共线向量记作a∥b5、相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为ba即大小相等，方向相同),(),(2211yxyx2121yyxx6、对于任意非零向量的单位向量是a｜a｜.7、向量的加法（1）三角形法则设,ABaBCb，则a+b=ABBC=AC对于零向量与任意向量a的和有aaa00（2）平行四边形法则已知两个不共线的向量a，b，做,ABaBCb，则A、B、D三点不共线，奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量AC=a+b.当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：ABBCCDPQQRAR，但这时必须“首尾相连”．8、向量加法的运算律（1）交换律a+b=b+a（2）结合律(a+b)+c=a+(b+c)9、向量的减法)(baba即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量图：10、相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量.记作a（1）)(a=a，即a与a互为相反向量；（2）若a、b是互为相反向量，则a=b,b=a,a+b=0；（3）a+(a)=(a)+a=0；（4）零向量的相反向量仍是零向量（5）对于用起点和终点表示的向量，则有AB=—BA,即AB和-BA互为相反向量11、已知向量α，b，则||α|-|b||≤|𝜶±𝐛|≤|α|±|b|12、向量数乘运算实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（1）aa；（2）当0时，a与a同向当0时，a与a异向当0或a=0时，0a，方向是任意的新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆13、向量数乘的运算律（1）λ(μa)=(λμ)a（2）(λ+μ)a=λa+μa（3）λ（a+b）=λa+λb（4）（—λa）=—（λa）=λ（—a）λ（a—b）=λa-λb14、向量共线判定定理当向量a≠0，对于向量b，如果有一个实数，使b=a，那么ab共线.向量b与向量a（a≠0）共线有且只有一个实数，使得b=a.15、向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b以及任意实数λ、μ1、μ2恒有（μ1a±μ2b）=μ1a+μ2b16、平面向量的基本定理如果21,ee是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,使：2211eea，其中不共线的向量21,ee叫做表示这一平面内所有向量的一组基底17、ab两向量夹角θ范围[0°~180°]θ=0°ab同向图θ=180°ab同向θ=90°ab垂直，记为a┴b18、平面向量的正交分解把一个向量分解成两个互相垂直的向量19、平面向量的坐标表示（1）直角坐标在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使a=xi+yj，则把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标。（2）坐标表示在向量a的直角坐标中，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a=（x，y）叫做向量的坐标表示。（3）在向量的直角坐标中，i=（1,0）j=（0,1）0=（0,0）新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆20、若1122,,,axybxy和实数λ（1）1212,abxxyy（2）a=(x1,y1)（3）若2211,,,yxByxA，则AB=OB-OA=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1)21、向量平行条件（1）若1122,,,axybxy，1221//0abxyxy（2）若1122,,,axybxy，如果b不平行于坐标轴，即x2≠0y2≠0，则a//b⇔x1x2=y1y2即两个向量平行的条件是成比例（注意此时x2·y2≠0）22、向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a·b=︱a︱·︱b︱cos其中是a与b的夹角，︱a︱cos叫做向量a在b方向上的投影。规定00a23、数量积的几何意义a·b等于a的长度︱a︱与b在a方向上的投影︱b︱cos的乘积24、a与b都是非零向量，它们的夹角为（1）ab⇔a·b=0（2）ab同向时a·b=︱a︱·︱b︱ab反向时a·b=—︱a︱·︱b︱（3）22||aaaa或︱a︱=√a·a=√a2（4）cos=a·b︱a︱·︱b︱（5）|a·b|≤︱a︱·︱b︱25、向量数量积的运算律（1）交换律：abba新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（2）结合律：abababR（3）分配律：abcacbccab特别注意：（1）结合律不成立：abcabcwhy？前者表示与a共线的向量，后者表示与向量c共线的向量，而a与c不一定共线。（2）消去律不成立abac不能得到bc（3）ab=0不能得到a=0或b=026、平面向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)axybxy，则a·b=1212xxyy27、垂直设两个非零向量1122(,),(,)axybxy，则ab⇔02121yyxxa⊥ba·b＝O02121yyxx28、设a=（x，y），则︱a︱=√x2+𝑦2设A=（x1，y1）B=（x2，y2），则AB=√（x2−x1）2+（y2−y1）229、已知两个非零向量a与b，作OA=a,OB=b,则∠AOB=（001800）叫做向量a与b的夹角cos=cos,ababab=222221212121yxyxyyxx（可用此公式求两向量夹角）当1212xxyy0，ϵ（𝜋2，π];当1212xxyy0，ϵ[0，𝜋2）；当1212xxyy=0，=𝜋2当且仅当两个非零向量a与b同方向时，θ=00，当且仅当a与b反方向时θ=1800新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆奎屯王新敞新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆30、向量a的单位向量的坐标表示a0=a︱a︱=（x，y）·1√x2+𝑦2=𝑥√x2+𝑦2+𝑦√x2+𝑦2a0为a的单位向量31、对于求直线L1：A1x+B1y+C1=0与直线L2：A2x+B2y+C2=0的夹角，则只要求与两直线平行的向量的夹角，再取这两个向量的夹角或补角，即与直线L1、L2分别平行的向量m=（A1，B1），n=（A2，B2），设向量m、n的夹角为cos=𝒎·𝒏︱𝒎︱·︱𝒏︱=𝐴1·𝐴2+𝐵1·𝐵2√𝐴12+𝐵12·√𝐵12+𝐵22当cos0时，直线L1L2夹角等于π-θ锐角当cos0时，直线L1L2夹角等于θ32、三角形面积公式S=12𝑎·bsinC可利用夹角公式求出sinC33、a2=|a|（a±b）（a±b）2=|a±b|2=|a|2±2a·b+|b|234、证三点共线35、直线L的向量参数方程式运用2.2的例一设A、B是直线L上任意两点，O是L外一点，则对于L上任一点P，存在实数t，是向量OP=（1-t）OA+tOB当t=12时，即P为AB中点时，OP=12(OA+OB)正弦定理在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R。则有即，在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，该比值等于该三角形外接圆的直径长度。[定理变形(3)相关结论:余弦定理如上图所示，△ABC，余弦定理可表示为：同理，也可描述为：三角形面积1.海伦公式:解释:假设有一个三角形，边长分别为，三角形的面积S可由以上公式求得，而公式里的p为半周长。2.，[R为外接圆半径]