大物例题

解：以人距船为l的时刻作为计时起点，并以此时刻船的位置为原点建立ox坐标系。则t时刻船的位置为：速率：例：如图，人拉绳子牵引小船运动，人拉绳的速度大小为v0，人拉绳距水面的高度为h。某时刻人与船的距离为l，求船靠岸过程的速率。0vlhxo例：质点的运动方程为：式中R、h、为正的常量。求：⑴质点运动的轨道方程；⑵质点的速度大小；⑶质点的加速度大小。hx=Rcosωt,y=Rsinωt,z=ωt2π222x+y=Rhz=ωt2πxdxv==-Rωsinωtdt22222xyz2hv=v+v+v=ωR+4π2xa=-Rωcosωt2ya=-Rωsinωtza=0222xya=a+a=Rω解：⑴轨道方程为——空间螺旋线螺距为h⑶⑵ydyv==Rωcosωtdtzdzhωv==dt2π法向加速度：解：由速度定义，有：dsv==2-10tdt2nva=R例：一质点沿半径为1m的圆周运动，它通过的弧长s按s=10+2t-5t2的规律变化。求它在t=2s时刻的速度、切向加速度、法向加速度。则t=2s时的速度为：v=2-102=-18m/s2τ2dsa=dt切向加速度：2=-10m/s2=324m/s2(2-10t)=R则t=2s时法向加速度为：2n(2-102)a=1得：角位置为:则得：即：解：由定义有：dθω=dtτa=Rβ2na=Rωτnatan45==1a2Rω=Rβ22(9t)=18t32t=93θ=2+3t例：质点沿半径为1m的圆周运动，运动方程为=2+3t3，式中以弧度计，t以秒计。求：⑴t=2s时，质点的切向和法向加速度；⑵当加速度的方向和半径成45o角时的角位置。⑵当加速度方向与半径成45o角时，有：⑴t=2s时，切向和法向加速度为：dωβ=dt2=9t=18t2=1182=36m/s222=1(92)=1296m/s2=2+3=2.67rad9解：将a=e-v改写为分离变量得：例：测得作直线运动的质点其加速度为a=e-v。测得t=0时x=0，v=0。求质点的运动方程与速度。积分得：-vdv=edtvedv=dtvtv00edv=dtve-1=tv=ln(t+1)dx=ln(t+1)dt再对上式分离变量得：积分得：xt00dx=ln(t+1)dtx=(t+1)ln(t+1)-(t+1)+1七、运动学中的两类问题之一例：一列火车在雨中以20m/s的速率向正南方向行驶。地面观测者测得雨滴被风吹向南方，其径迹与竖直方向夹45角，而火车上的观测者看到雨滴径迹沿竖直方向。求雨滴相对于地面的速率。解：选地面为静止参考系，火车为运动参考系。设雨滴的绝对与相对速度分别为与，为牵连速度。vv0vvv火车前进方向0vo45三速度构成如图所示直角三角形，则雨滴对地的速度大小为0ovv=sin4520=2/2=28.29msdsv==a-btdtτdva==-bdt22τna=a+aat=b例:质点沿半径为R的圆周按的规律运动，a、b是正值常数。求：⑴t时刻的速度与加速度？⑵t为何值时加速度大小等于b？解：⑴已知速度的方向与圆周相切并指向运动前方！2s=at-bt22s=at-bt2⑵得：22nv(a-bt)a==RR200(a-bt)a=-bτ+nR422(a-bt)=b+=bR100A=Fdy例：一人从10m深的水井把10kg的水匀速提上来，由于桶漏水，每升高1m漏0.2kg，问把水提到井口需做功多少？（不计桶重）解：建立如右图所示的坐标系。oyyF则力做的功：质点质量的变化：m=10-0.2y（kg）得到力：10220=(10y-0.1y)g=10(100-0.110)=900(J)F=mg=(10-0.2y)g（N）100=(10-0.2y)gdyyo例：劲度系数为k的轻弹簧竖直放置，下端挂一质量为m的小球。开始时使弹簧为原长而小球刚好与地面接触，今将弹簧上端缓慢提起至小球刚能脱离地面为止，求此过程中外力做功。解：以手开始提的位置为原点建立竖直向上的坐标系oy。提升力做功为：mg=khh0A=kydy得：2221mgmgA=k()=2k2kmgh=k21=kh2y小球脱离地面时提升距离h为：解：⑴沿x轴由(0,0)→(2,0)，此时y=0，dy=0，则：21x0A=Fdx例：质点所受力，求质点由(0,0)→(2,4)点的过程中力做功：⑴先沿x轴由(0,0)→(2,0)点，再平行y轴由(2,0)→(2,4)点；⑵沿连接(0,0)、(2,4)的直线；⑶沿抛物线y=x2由(0,0)→(2,4)点（单位为国际单位）。22F=(y-x)i+3xyj42y0A=Fdy⑵由原点至(2,4)的直线方程为y=2x，则：24xy00A=fdx+fdy324422002A=(x-x)dx+3ydy=42J15⑶因y=x2，则：121A=A+A=45J3(2,4)oxy220=(-x)dx8=-J340=6ydy=48J24222003=(4x-x)dx+ydy2=40J242200=(y-x)dx+3xydy解：⑴小球在力的作用下作圆周运动。在自然坐标系中：例：小球在水平变力作用下缓慢移动，即在所有位置上均近似处于力平衡状态，直到绳子与竖直方向成角。求：⑴的功，⑵重力的功。FFmlF解：以钉为对象，以木板上界面为原点建立如图oy坐标系。例：用铁锤钉钉子，设木板对钉子的阻力与钉子进入深度成正比。第一次击打将钉子钉入的深度为1.0cm，而第二次击打力度与第一次相同。问第二次钉子进木板的深度？钉所受阻力为：f=-ky（k为比例系数）bfaA=Fdr锤两次击打力度相同，对钉做功相同：阻力对钉做功：12A=A21yy=(-ky)dy221211=ky-ky2222111A+(k0-k0.01)=0-022设第二次钉钉子的深度为h，对两过程应用动能定理：22211A+[k0.01-k(0.01+h)]=022h=(2-1)0.010.0041(m)k为正常数，为质点的位矢。该质点从处被释放，由静止开始运动，求它到达无穷远时的速率。例：一个质量为m的质点，仅受到力作用，式中3rF=krr0r=r03rrdr=kr02kV=mr解：设无穷远处质点的速率为V，根据动能定理，有：rdr=rdrcosθ02rdr=krθdrrdr=rdr02r1mV-0=fdr20r011=k(-)=krr例：如图，初始时质量为M的静止绳子垂在桌外的长度为b，设绳子总长度为L。求绳全部离开光滑桌面时的瞬时速率。dA=mgdyLbyA=MgdyL222LMgLb1=Mv02L222Lgv=LbLyoy由动能定理得：解：方法1——动能定理。以桌面为原点建立oy坐标系。设t时刻绳下垂长为y，该段绳的质量为m，绳速为v，绳全部离开桌面时的速率为vL。下滑过程重力做功：ym=ML而：重力所做元功：221Lb=Mg2L例：质量为m的物体处在距地面2R处。求地面为零势能点时的势能。ppE(3R)-E(R)0rp2rMmE(r)=Gdrr得：距地面2R处的势能：另法：以无穷远为零势能点的引力势能：pMmE(r)=-Gr取Ep(R)=0，得：p2GMmE(3R)=3R解：由，引力势：0rprE(r)=-Fdr112GMm=(-GMm)-(-GMm)=3RR3R例：如图，劲度系数为k的轻弹簧下挂质量为m的物体。求势能零点位于平衡位置o处时系统的势能。xmooPx0x解：以平衡位置为原点o建立ox坐标系，设平衡时弹簧伸长量设为x0。有：任意位置x处的系统总势能：以弹簧原长为零势能点的势能：2p1E(x)=kx2有：取Ep(x0)=0，得：内力做功等于力与相对位移的标积，即：例：如图，质量为M的卡车载质量为m的木箱以速率v沿平直路面行驶，因故紧急刹车车轮立即停止转动，卡车滑行距离L后静止，木箱相对卡车滑行了l距离。已知木箱与卡车、车轮与地面间的摩擦系数分别为1、2。求L和l。fNmgMgfNmgF解：视卡车与木箱看作质点系。2-μM+mgL1-μmgl据质点系动能定理，有：2211-μM+mgL-μmg=-M+mv2l211-μmgL+=-mv2l外力F做功：对木箱应用动能定理：[]221MvL=μM+m-μmglL21v=2μg-Ll例：如图，质量为M的滑块置于斜面底端A处，斜面倾角高度为h。今有质量为m的子弹以速度v0水平射入滑块并留在其中，且使滑块沿斜面滑动，摩擦系数为。求滑块滑出顶端时的速度大小。解：子弹与滑块撞击过程沿斜面的动量守恒，设滑块得到的初速度为v1有：令滑块滑出顶端时的速度为v2，取A点为重力势能零点，由功能原理有：联立上式得：01mvcosα=m+Mv220mv=vcosα-2ghμcotα+1m+M222111=m+Mv+m+Mgh-m+Mv22h-μm+Mgcosαsinα0v例：打桩机锤的质量m=10t，将长L=38.5m、质量M=24t、横截面S=0.25m2（正方形截面）的桩打入地下，其侧面单位面积受泥土阻力为k=2.65104N/m2。求：⑴桩由于自重下沉深度h1；⑵在桩稳定后，将锤升至距桩顶端h=1m处让其自由下落击桩，若锤与桩发生完全非弹性碰撞，第一锤使桩下沉深度h2；⑶若桩已下沉35m时，锤再一次下落击桩后反弹起h=0.05m，此时已非完全非弹性碰撞，桩的下沉深度h3。解：⑴取桩和地球为系统，地面为势能零点，由功能原理有：桩下沉距离：1h0-4Sykdy1Mgh=2Sk0v=2gh锤与桩发生完全非弹性碰撞后桩的速率设为v，由动量守恒定律有：⑵锤下落的末速设为v0：0mv=M+mvyoy8.88m4.43ms1=(0-Mgh)-(0+0)粉卓联立上式得桩再次下沉的深度：21211=[0-(M+m)g(h+h)]-[M+mv-(M+m)gh]21v=2gh2h0.20m121h+hh-4Sykdy第一锤能使桩下沉深度设为h2，下沉过程由功能原理有：联立上式得桩下沉深度：⑶再次击桩时的碰撞是一般非弹性的，碰后锤的速率v1为：对桩下沉过程中再次应用功能原理，得：桩的速率设v，由动量守恒有：01mv=-mv+Mv335h23351-4Skydy=-Mgh-Mv23h0.033m22212212Sk(h+2hh)=M+mv+(M+m)gh20.99ms例：如图，质量为m长为l的绳放在水平桌面上，绳与桌面间摩擦系数为。求：⑴绳下垂段至少多长时，绳开始下滑；⑵当绳全部离开桌面时绳的速率v。解：⑴绳下垂部分的重力大于桌面的静摩擦力，绳开始下滑：0μ1+μll⑵当下垂绳长为x时，桌面对桌面上绳（l-x）的摩擦力为：=μgmfxllbfaA=fdr0-x=(μmg)dx-llll20(-)=-μmg2lll2001=(mv-mg)-(0-mg)222llllgv=1+μl以桌面为重力势能零点，由功能原理有：oxx20(-)-μmg2lll摩擦力做功：解：取A＋B＋地球为系统。弹簧原长为l，取原长时A位置为原点建立ox系，此处为重力与弹力势能零点。A的平衡位置为x0。例：如图，用弹簧连接质量分别为m1和m2的木板A和B。求：对A至少需施加多大的压力F，才能因突然撤去它使Ａ跳起过程中提拉起B?初态0x初态：末态：因机械能守恒：min12F=(m+m)g平衡ox末态2x2=mr[ω(acosωtibsinωtj)]例：一质量为m的质点在平面上作曲线运动，其位矢表达式为，式中a、b、皆为常量，求质点对原点的角动量，以及所受力对原点的力矩？r=acosωti+bsinωtj(m)解：利用力矩与角动量的定义，有：L=rp=(acosωti+bsinωtj)=m(acosωti+bsinωtj)(aωsinωti+bωcosωtj)22=mabωcosωtk+mabωsinωt