题型-带电粒子在交变电场和磁场中的运动

题型17带电粒子在交变电场和磁场中的运动1．如图1所示，在xOy平面内存在着垂直于几何平面的磁场和平行于y轴的电场，磁场和电场随时间的变化规律如图2甲、乙所示．以垂直于xOy平面向里磁场的磁感应强度为正，以沿y轴正方向电场的电场强度为正．t＝0时，带负电粒子从原点O以初速度v0沿y轴正方向运动，t＝5t0时，粒子回到O点，v0、t0、B0已知，粒子的比荷qm＝πB0t0，不计粒子重力．(1)求粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期；(2)求电场强度E0的值；(3)保持磁场仍如图2甲所示，将图乙所示的电场换成图丙所示的电场．t＝0时刻，前述带负电粒子仍由O点以初速度v0沿y轴正方向运动，求粒子在t＝9t0时的位置坐标．图2答案(1)2t0(2)B0v0π(3)(2v0t0π，－v0t0)2．如图3甲所示，在两块水平金属极板间加有电压U构成偏转电场，一束比荷为qm＝106C/kg带正电的粒子流(重力不计)，以速度v0＝104m/s沿水平方向从金属极板正中间射入两板．粒子经电场偏转后进入一具有理想边界的半圆形变化磁场区域，O为圆心，区域直径AB长度为L＝1m，AB与水平方向成45°角．区域内有按如图乙所示规律做周期性变化的磁场，已知B0＝0.5T，磁场方向以垂直于纸面向外为正．粒子经偏转电场后，恰好从下极板边缘O点与水平方向成45°斜向下射入磁场．求：甲乙图3(1)两金属极板间的电压U是多大？(2)若T0＝0.5s，求t＝0s时刻射入磁场的带电粒子在磁场中运动的时间t和离开磁场的位置．(3)要使所有带电粒子通过O点后的运动过程中不再从AB两点间越过，求出磁场的变化周期T0应满足的条件．答案(1)100V(2)2π×10－6s射出点在OB间离O点225m(3)T0π3×10－5s3．如图4甲所示，宽度为d的竖直狭长区域内(边界为L1、L2)，存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向周期性变化的电场(如图乙所示)，电场强度的大小为E0，E0表示电场方向竖直向上．t＝0时，一带正电、质量为m的微粒从左边界上的N1点以水平速度v射入该区域，沿直线运动到Q点后，做一次完整的圆周运动，再沿直线运动到右边界上的N2点．Q为线段N1N2的中点，重力加速度为g.上述d、E0、m、v、g为已知量．图4(1)求微粒所带电荷量q和磁感应强度B的大小；(2)求电场变化的周期T；(3)改变宽度d，使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域，求T的最小值．答案(1)mgE02E0v(2)d2v＋πvg(3)2π＋1v2g4．如图5甲所示，竖直面的左侧空间中存在竖直向上的匀强电场(上、下及左侧无边界限制)．一个质量为m、电荷量为q、可视为质点的带正电小球，以水平初速度v0沿PQ向右做直线运动．若小球刚经过D点时(t＝0)，在电场所在空间叠加如图乙所示随时间周期性变化、垂直纸面向里的磁场，使得小球能沿PQ连线左下方60°角再次通过D点．已知D、Q间的距离为(3＋1)L，重力加速度为g，t0小于小球在磁场中做圆周运动的周期，忽略磁场变化造成的影响．求：图5(1)电场强度E的大小；(2)t0与t1的比值；(3)小球过D点后将做周期性运动．则当小球运动的周期最大时，求出此时的磁感应强度B0的大小，并在图甲中画出此情形下小球运动一个周期的轨迹．答案(1)mg/q(2)43π9(3)mv0/qL题型17带电粒子在交变电场和磁场中的运动1．如图1所示，在xOy平面内存在着垂直于几何平面的磁场和平行于y轴的电场，磁场和电场随时间的变化规律如图2甲、乙所示．以垂直于xOy平面向里磁场的磁感应强度为正，以沿y轴正方向电场的电场强度为正．t＝0时，带负电粒子从原点O以初速度v0沿y轴正方向运动，t＝5t0时，粒子回到O点，v0、t0、B0已知，粒子的比荷qm＝πB0t0，不计粒子重力．图1(1)求粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期；(2)求电场强度E0的值；(3)保持磁场仍如图2甲所示，将图乙所示的电场换成图丙所示的电场．t＝0时刻，前述带负电粒子仍由O点以初速度v0沿y轴正方向运动，求粒子在t＝9t0时的位置坐标．图2答案(1)2t0(2)B0v0π(3)(2v0t0π，－v0t0)解析(1)粒子在磁场中运动时，qv0B0＝mv20r1T＝2πr1v0qm＝πB0t0得T＝2t0.(2)粒子在t＝5t0时回到原点，轨迹如图所示，由牛顿第二定律qv0B0＝mv20r1由几何关系得：r2＝2r1得v2＝2v0由运动学公式：v2＝v0＋at0由牛顿第二定律：E0q＝ma得E0＝B0v0π.(3)t0时刻粒子回到x轴，t0～2t0时间内，粒子位移x1＝2(v0·t02＋12a(t02)2)2t0时刻，粒子速度为v03t0时刻，粒子以速度v0到达y轴，3t0～4t0时刻，粒子运动的位移x2＝2v0·t02－12at0225t0时刻粒子运动到点(2r1，x2－x1)根据粒子的周期性运动规律可知，t＝9t0时刻的位置坐标为[]2r1，2x2－x1，代入数值为(2v0t0π，－v0t0)．2．如图3甲所示，在两块水平金属极板间加有电压U构成偏转电场，一束比荷为qm＝106C/kg带正电的粒子流(重力不计)，以速度v0＝104m/s沿水平方向从金属极板正中间射入两板．粒子经电场偏转后进入一具有理想边界的半圆形变化磁场区域，O为圆心，区域直径AB长度为L＝1m，AB与水平方向成45°角．区域内有按如图乙所示规律做周期性变化的磁场，已知B0＝0.5T，磁场方向以垂直于纸面向外为正．粒子经偏转电场后，恰好从下极板边缘O点与水平方向成45°斜向下射入磁场．求：甲乙图3(1)两金属极板间的电压U是多大？(2)若T0＝0.5s，求t＝0s时刻射入磁场的带电粒子在磁场中运动的时间t和离开磁场的位置．(3)要使所有带电粒子通过O点后的运动过程中不再从AB两点间越过，求出磁场的变化周期T0应满足的条件．答案(1)100V(2)2π×10－6s射出点在OB间离O点225m(3)T0π3×10－5s解析(1)粒子在电场中做类平抛运动，从O点射出时速度v＝2v0qU2＝12m(2v0)2－12mv20代入数据得U＝100V.(2)T＝2πmBqBqv＝mv2RT2＝πmBq＝2π×10－6sT02R＝mvBq＝250mL4粒子在磁场中经过半周从OB中穿出，粒子在磁场中运动时间t＝T2＝2π×10－6s，射出点在OB间离O点225m.(3)粒子运动周期T＝2πmBq＝4π×10－6s，粒子在t＝0、t＝T02…时刻射入时，粒子最可能从AB间射出．如图，由几何关系可得临界时θ＝5π6要不从AB边界射出，应满足T02θ2πT得T0π3×10－5s.3．如图4甲所示，宽度为d的竖直狭长区域内(边界为L1、L2)，存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向周期性变化的电场(如图乙所示)，电场强度的大小为E0，E0表示电场方向竖直向上．t＝0时，一带正电、质量为m的微粒从左边界上的N1点以水平速度v射入该区域，沿直线运动到Q点后，做一次完整的圆周运动，再沿直线运动到右边界上的N2点．Q为线段N1N2的中点，重力加速度为g.上述d、E0、m、v、g为已知量．图4(1)求微粒所带电荷量q和磁感应强度B的大小；(2)求电场变化的周期T；(3)改变宽度d，使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域，求T的最小值．答案(1)mgE02E0v(2)d2v＋πvg(3)2π＋1v2g解析(1)根据题意，微粒做圆周运动，洛伦兹力完全提供向心力，重力与电场力平衡，则mg＝qE0①因为微粒水平向右做直线运动，所以竖直方向合力为0.则mg＋qE0＝qvB②联立①②解得：q＝mgE0③B＝2E0v.④(2)设微粒从N1运动到Q的时间为t1，做圆周运动的周期为t2，则d2＝vt1⑤qvB＝mv2R⑥2πR＝vt2⑦联立③④⑤⑥⑦解得t1＝d2v，t2＝πvg⑧电场变化的周期T＝t1＋t2＝d2v＋πvg.⑨(3)若微粒能完成题述的运动过程，要求d≥2R⑩联立③④⑥得R＝v22g设N1Q段直线运动的最短时间t1min，由⑤⑩得，t1min＝v2g因t2不变，T的最小值Tmin＝t1min＋t2＝2π＋1v2g.4．如图5甲所示，竖直面的左侧空间中存在竖直向上的匀强电场(上、下及左侧无边界限制)．一个质量为m、电荷量为q、可视为质点的带正电小球，以水平初速度v0沿PQ向右做直线运动．若小球刚经过D点时(t＝0)，在电场所在空间叠加如图乙所示随时间周期性变化、垂直纸面向里的磁场，使得小球能沿PQ连线左下方60°角再次通过D点．已知D、Q间的距离为(3＋1)L，重力加速度为g，t0小于小球在磁场中做圆周运动的周期，忽略磁场变化造成的影响．求：图5(1)电场强度E的大小；(2)t0与t1的比值；(3)小球过D点后将做周期性运动．则当小球运动的周期最大时，求出此时的磁感应强度B0的大小，并在图甲中画出此情形下小球运动一个周期的轨迹．答案(1)mg/q(2)43π9(3)mv0/qL轨迹见解析解析(1)小球在电场中做匀速直线运动，根据二力平衡，有mg＝qE得E＝mgq.(2)小球能再次通过D点，其运动轨迹如图所示，设圆弧半径为r.x＝v0t1①由几何关系得x＝rtan30°②设小球做圆周运动的周期为T，则T＝2πrv0③t0＝23T④由①②③④式得t0t1＝439π.(3)当小球运动的周期最大时，其运动轨迹应与MN相切，如图所示．由几何关系，有R＋Rtan30°＝(3＋1)L⑤由牛顿第二定律，有qv0B0＝mv20R⑥由⑤⑥式得B0＝mv0qL小球运动一个周期的轨迹如图所示．