数值分析Matlab作业龙格库塔欧拉方法解二阶微分方程

Matlab应用使用Euler和Rungkutta方法解臂状摆的能量方程背景单摆是常见的物理模型，为了得到摆角θ的关于时间的函数，来描述单摆运动。由角动量定理我们知道JM化简得到0sin22lgdtd在一般的应用和计算中，只考虑摆角在5度以内的小摆动，因为可以吧简化为，这样比较容易解。实际上这是一个解二阶常微分方程的问题。在这里的单摆是一种特别的单摆，具有均匀的质量M分布在长为2的臂状摆上，使用能量法建立方程WThmg2J21化简得到cos35499.722dtd重力加速度取9.806651使用欧拉法令dxdyz，这样降阶就把二阶常微分方程转化为一阶微分方程组，再利用向前Euler方法数值求解。y(i+1)=y(i)+h*z(i);z(i+1)=z(i)+h*7.35499*cos(y(i));y(0)=0z(0)=0精度随着h的减小而更高，因为向前欧拉方法的整体截断误差与h同阶，（因为是用了泰勒公式）所以欧拉方法的稳定区域并不大。2.RK4-四阶龙格库塔方法使用四级四阶经典显式Rungkutta公式稳定性很好，RK4法是四阶方法，每步的误差是h5阶，而总积累误差为h4阶。所以比欧拉稳定。运行第三个程序：在一幅图中显示欧拉法和RK4法，随着截断误差的积累，欧拉法产生了较大的误差h=0.01h=0.0001，仍然是开始较为稳定，逐渐误差变大总结：RK4是很好的方法，很稳定，而且四阶是很常用的方法，因为到五阶的时候精度并没有相应提升。通过这两种方法计算出角度峰值y=3.141593，周期是1.777510。三个程序欧拉法clear;clch=0.00001;a=0;b=25;x=a:h:b;y(1)=0;z(1)=0;fori=1:length(x)-1%欧拉y(i+1)=y(i)+h*z(i);z(i+1)=z(i)+h*7.35499*cos(y(i));endplot(x,y,'r*');xlabel('时间');ylabel('角度');A=[x,y];%y(find(y==max(y)))%Num=(find(y==max(y)))[y,T]=max(y);fprintf('角度峰值等于%d',y)%角度的峰值也就是πfprintf('\n')fprintf('周期等于%d',T*h)%周期legend('欧拉');龙格库塔方法先定义函数rightf_sys1.mfunctionw=rightf_sys1(x,y,z)w=7.35499*cos(y);clear;clc;%set(0,'RecursionLimit',500)h=0.01;a=0;b=25;x=a:h:b;RK_y(1)=0;%初值RK_z(1)=0;%初值fori=1:length(x)-1K1=RK_z(i);L1=rightf_sys1(x(i),RK_y(i),RK_z(i));%K1andL1K2=RK_z(i)+0.5*h*L1;L2=rightf_sys1(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K1,RK_z(i)+0.5*h*L1);K3=RK_z(i)+0.5*h*L2;L3=rightf_sys1(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K2,RK_z(i)+0.5*h*L2);K4=RK_z(i)+h*L3;L4=rightf_sys1(x(i)+h,RK_y(i)+h*K3,RK_z(i)+h*L3);%K4andL4RK_y(i+1)=RK_y(i)+1/6*h*(K1+2*K2+2*K3+K4);RK_z(i+1)=RK_z(i)+1/6*h*(L1+2*L2+2*L3+L4);endplot(x,RK_y,'b+');xlabel('Variablex');ylabel('Variabley');A=[x,RK_y];[y,T]=max(RK_y);legend('RK4方法');fprintf('角度峰值等于%d',y)%角度的峰值也就是πfprintf('\n')fprintf('周期等于%d',T*h)%周期两个方法在一起对比使用跟上一个相同的函数rightf_sys1.mclear;clc;%清屏h=0.0001;a=0;b=25;x=a:h:b;Euler_y(1)=0;Euler_z(1)=0;%欧拉的初值RK_y(1)=0;RK_z(1)=0;%龙格库塔初值fori=1:length(x)-1%先是欧拉法Euler_y(i+1)=Euler_y(i)+h*Euler_z(i);Euler_z(i+1)=Euler_z(i)+h*7.35499*cos(Euler_y(i));%龙格库塔K1=RK_z(i);L1=rightf_sys1(x(i),RK_y(i),RK_z(i));%K1andL1K2=RK_z(i)+0.5*h*L1;L2=rightf_sys1(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K1,RK_z(i)+0.5*h*L1);%K2andL2K3=RK_z(i)+0.5*h*L2;L3=rightf_sys1(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K2,RK_z(i)+0.5*h*L2);%K3andL3K4=RK_z(i)+h*L3;L4=rightf_sys1(x(i)+h,RK_y(i)+h*K3,RK_z(i)+h*L3);%K4andL4RK_y(i+1)=RK_y(i)+1/6*h*(K1+2*K2+2*K3+K4);RK_z(i+1)=RK_z(i)+1/6*h*(L1+2*L2+2*L3+L4);endplot(x,Euler_y,'r-',x,RK_y,'b-');[y,T]=max(RK_y);fprintf('角度峰值等于%d',y)%角度的峰值也就是πfprintf('\n')fprintf('周期等于%d',T*h)%周期xlabel('时间');ylabel('角度');legend('欧拉','RK4');