中考数学专题复习--“PA+kPB”最值探究(胡不归+阿氏圆)-学案

1“胡不归”与“阿氏圆”背景：初中几何常见考查线段最值问题，解决问题本质思想有两个：在平面内①两点之间线段最短②垂线段最短思想两点之间线段最短垂线段最短体现三角形三边关系(三角形两大模型边的关系)直角三角形斜边大于直角边将军饮马大类将军饮马特例费马点平行线间垂线段最短圆外一点与圆上点距离最值垂径定理相关最值阿氏圆胡不归(三边关系)若四边形的一组对边中点的连线的长为d，另一组对边的长分别为3、5，则d的最大值是_____d532(斜边大于直角边)如图，已知AB=10，P是线段AB上的任意一点，在AB的同侧分别以AP、PB为边作等边三角形APC和等边三角PBD，求CD的最小值(费马点)已知正方形ABCD内一点，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为26，求此正方形的边长(圆外一点与圆上点距离最值)如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，求A′C长度的最小值3如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=12，BC=8，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，求线段CP长的最小值(将军饮马特例)如图，在锐角△ABC中，AB=8，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则求BM+MN的最小值.(垂径定理相关最值)如图，点A在半径为3的⊙O内，OA=3，P为⊙O上一点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于____.答案：4；5；2；71；4；42；64BUT以上专题不作为我们今天的主题，TODAYWESTUDY:“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。5胡不归前景引入：从前，有一个小伙子在外地读书，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。由于着急的不行，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…何以归”。这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。6V2V2V1DBCA胡不归问题探究：已知：AC上方为砂地，速度为V2，AC上则为平地，速度为V1,路线1：走AB路线2：走AD后再走DB求解：D在何处所花时间最短？问题解决：路线1时间：12ABtV路线2时间：212ADDBtVV关键点：将V1转化为V2作∠CAE=∠α，使得21sinVV过点B作BE⊥AE交AC与点D,则D为所求点，此时：211211sinADDEDEDEVVVVVV则路线2时间变为：22BEtVV1V2V2αDEACB7模型归纳：在当V2等于1个单位每秒，V1等于1k个单位每秒时，则路线2所用时间变为了211ADDBkAtkDDB，即PA+k·PB型的最值问题模型说理：如下图，A,B为定点，P为射线BM上一点，求PA+k·PB的最小值及确定P点的位置分析：关键是转化k·PB的大小，构造∠NBM，使sin∠NBM=k，过P作PQ⊥BN与点Q,此时PQ=PB·sin∠NBM=k·PB求PA+k·PB的最小值转化为求PA+PQ的最小值，则过A作AQ⊥BN与点Q交BM于点P,此时AQ即为最小值，P为所求点BMAPQBMANPQ'P'PQNAMB8本质：垂线段最短解题步骤：1.将所求线段写成PA+k·PB的形式（0k1）2.在PB一侧，PA异侧，构造一个角度α，使sinα=k3.过A做构造的角的另一边的垂线，则垂线段即为所求最小值4.计算即可注意：当k大于1时需要变换（提取k）αPQNAMB9牛刀小试例1：如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，求解AM+12BM的最小值。详解：如图，作AN⊥于BC垂足为N,∵四边形ABCD是菱形且∠ABC=60°，∴∠DBC=30°，即1sin2MNDBCBM∴12BM=MN，∴AM+12BM=AM+MN，即AM+12BM的最小值为AN.在Rt△ABN中，AN=AB·sin∠ABC=34232.∴AM+12BM的最小值为23.变式思考：(1)改为求2AM+BM的最小值？AM+BM+CM的最小值？(2)改为求AM+2BM的最小值？BCADMMNCAD10例2：如图所示，点A为直线l外一定点，点B,C为直线l上两点，且AB=2，∠ABC=15°，点P为直线l上的动点，请确定点P的位置，使AP+12BP最小，并求出这个最小值。变式思考：改为求2AP+2BP的最小值？例3：如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB=2，则AP+BP+CP的最小值为_____BCABCADP11例4：如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边上有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居名点B，A，B的直线距离是13千米.居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经___小时可到达居民点B.（友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶）例5：如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,4)，B(-1,0)，在y轴上有一动点G，求BG+13AG的最小值.513BAyxOAB12例6：如图，等腰△ABC中，AB=AC=3，BC=2，BC边上的高为AO，点D为射线AO上一点，一动点P从点A出发，沿AD-DC运动，动点P在AD上运动速度3个单位每秒，动点P在CD上运动的速度为1个单位每秒，则当AD=____时，运动时间最短为_____秒.例7：如图，在菱形ABCD中，AB=6，且∠ABC=150°，点P是对角线AC上的一个动点，则PA+PB+PD的最小值为____.OBCADBCADP13例8：如图，在平面四边形ABCD中，AB=BC=1，AD=CD=2，∠DAB=∠DCB=90°，点P为AD中点，M，N分别在线段BD，BC上，则PM+22MN的最小值为_____．例9：（2016•徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（-1，0），B（0，-3），C（2，0），其中对称轴与x轴交于点D。若P为y轴上的一个动点，连接PD，则12PB+PD的最小值为____。CPDBAMN14例10：（2014.成都）如图，已知抛物线83249yxx与x轴从左至右依次交于点A、B，与y轴交于点C，经过点B的直线34333yx与抛物线的另一个交点为D（-5，33）.设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标为______时，点M在整个运动过程中用时最少？15例11：如图所示，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A,B两点，过点B的直线交抛物线于点E,且tan∠EBA=43,有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/秒的速度爬到线段BE的点D处，再以1.25单位/秒的速度沿着DE爬到E处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是_____秒16例12：(2017徐州二模)二次函数y=x2-2x-3图像与x轴交于点A,C两点，点C，与y轴交于点B,点P为x轴上一动点，点D(0,1)在y轴上，连接PD，求2PD+PC的最小值.17答案例1变式：（1）43；43（2）无解例2：2例3：26例4：531280例5：2243例6：724；423例7：62例8：1例9：3342例10：（-2，23）例11：649例12：418阿氏圆简介：又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆（k=m：n）证明：设点A(a，0)，B(0,0)，P(x,y)，22PAxay,22PBxy∵PA=kPB,即2222xaykxy整理配方得：2222211akaxykk∴点P的轨迹是一个以(21ak,0)为圆心,21kak为半径的圆BAP19重要结论：(1)AMANPAkMBNMPB(2)OPOAPAkOBOPPB△OBP∽△OPA（母子型相似）模型考法：考察阿氏圆模型时常常已知阿氏圆P和一个定点A（大前提：OAkOP），要求找到1kAP，那么需要找出B点，则BP为所求。ButhowtogettheB？法一：法二：根据AMPAOAkMBPBOP根据OPOAkOBOP截取1MBAMk截取1OBOPk阿氏圆定义构造母子相似BMAONP20模型说理：已知⊙O的半径为r,点A、B都在⊙O外，P为⊙O上的动点，已知r=k·OB.连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？分析：关键在于转化k·PB的大小在OB上截取OC=k·OP=k·r，则可得△OPB与△OCP相似,所以PC=k·PB,求PA+k·PB的最小值转化为求PA+PC的最小值则连接AC即为所求OBAPABOPCABOPC21解题步骤：1.连接动点至圆心O（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OB2.计算出所连接的这两条线段OP、OB长度3.计算这两条线段长度的比OPkOB4.在OB上取点C，使得OCOPOPOB5.连接AC，与圆O交点即为点P6.计算AC长度即可ABOPC22牛刀小试例1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP＋12BP的最小值．详解：连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有12CDCPCPCB，又∵∠PCD＝∠BCP,∴△PCD∽△BCP，∴12PDBP，∴12PDBP∴12APBPAPPDAD∴2237ADACCD变式思考：改为求解13AP＋BP的最小值呢？23例2：如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心作半径为4的圆交X轴正半轴于点A，点M坐标为（6,3），点N坐标为（8,0），点P在圆上运动，求PM+12PN的最小值.例3：正△ABC的内切圆半径为1，P为圆上一点，BP+12CP的最小值为____.24例4：如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为AB上一动点，求22PC+PD的最小值.例5：已知扇形COD中，∠COD＝90º，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是CD上一点，则2PA＋PB的最小值为_______．AODCBP25例6：如图，菱形ABCD的边长为2，锐角大小为60°，⊙A与BC相切与点E，在⊙A上任取一点P，求PB+32PD的最小值例7：在平面直角坐标系中，A(2,0)，B(0,2)，C(4,0)，D(3,2)，P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA=135°，则2PD+PC的最小值是_____.yxODCBAP26例8：（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+12PC的最小值和PD-12PC的最大值；（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+23PC的最小值为__，P