最新高考三角函数题型归类

高考三角函数题型归类三角函数除了具有一般函数的各种性质外，它的周期性和独特的对称性，再加上系统的丰富的三角公式，使其产生的的各种问题丰富多彩，层次分明，变化多端，围绕三角函数的考题总是以新颖的形式出现，在高考试题中占据重要的位置，成为高考命题的热点。2006年高考从三角函数的图象、周期性、奇偶然性、单调性、最值、求值及综合应用等各个方面全面考查三角知识。一。2005年高考三角函数题型归类1。直接考查三角函数的基本公式与基本运算。例1、（1）（2006年湖北卷）若△ABC的内角A满足322sinA，则sincosAA=（A）A.315B.315C.35D.3517．解A。∵sin22sincos0AAA，∴cos0A。∴sincos0AA，sincosAA=2(sincos)AA12sincos1sin2AAA215133。（2）（2006年安徽卷）已知310,tancot43（Ⅰ）求tan的值；（Ⅱ）求225sin8sincos11cos822222sin2的值。解：(Ⅰ)由10tancot3得23tan10tan30，即1tan3tan3或，又34，所以1tan3为所求。（Ⅱ）225sin8sincos11cos822222sin2=1-cos1+cos54sin118222cos=55cos8sin1111cos1622cos=8sin6cos8tan622cos22=526。2。考查三角函数的图象与性质。例2（2006年福建卷）已知函数22()sin3sincos2cos,.fxxxxxxR（I）求函数()fx的最小正周期和单调增区间；（II）函数()fx的图象可以由函数sin2()yxxR的图象经过怎样的变换得到？分析：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。满分12分。解：（I）1cos23()sin2(1cos2)22xfxxx313sin2cos22223sin(2).62xxx()fx的最小正周期2.2T由题意得222,,262kxkkZ即,.36kxkkZ()fx的单调增区间为,,.36kkkZ（II）方法一：先把sin2yx图象上所有点向左平移12个单位长度，得到sin(2)6yx的图象，再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度，就得到3sin(2)62yx的图象。方法二：把sin2yx图象上所有的点按向量3(,)122a平移，就得到3sin(2)62yx的图象。（2006年辽宁卷）已知函数11()(sincos)sincos22fxxxxx,则()fx的值域是(A)1,1(B)2,12(C)21,2(D)21,2【解析】cos(sincos)11()(sincos)sincossin(sincos)22xxxfxxxxxxxx即等价于min{sin,cos}xx，故选择答案C。【点评】本题考查绝对值的定义、分段函数、三角函数等知识，同时考查了简单的转化和估算能力。3。考查三角恒等变形与解三角形的知识。例3。（2006年湖南卷）如图3,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=,∠ABC=.(1)证明：sincos20;(2)若AC=3DC,求的值.解析：（1）(2)2,sin2)cos2sincos20;2222BAD如图,==sin(即(2),(),)30333.23223DC22DCACDC3在ADC中,由正弦定理得:=,即=.所以sin3sinsinsinsinsin由(1),sin-cos2所以sin-3cos2-3(1-2sin即23sinsin解得sin或sin.因为0,所以sin,从而评注：本题考查运用三角变换及三角形正余弦定理求解三角形中的有关问题。其中第一问的证明突破口是如何找到,的角的大小关系；第二问题求解关键是如何利用题设条件建立关于的三角方程，注意角的大小范围讨论，以免产生错解。例4。（2006年四川卷）已知,,ABC是三角形ABC三内角，向量1,3,cos,sinmnAA，且1mn（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若221sin23cossinBBB，求tanB本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。满分12分。解：（Ⅰ）∵1mn∴1,3cos,sin1AA即3sincos1AA312sincos122AA,1sin62A∵50,666AA∴66A∴3A（Ⅱ）由题知2212sincos3cossinBBBB，整理得22sinsincos2cos0BBBB∴cos0B∴2tantan20BB∴tan2B或tan1B而tan1B使22cossin0BB，舍去∴tan2B∴tantanCABtanABtantan1tantanABAB2312385311例5（2006年江西卷）如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设MGA＝（233）（1）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为的函数（2）求y＝221211SS＋的最大值与最小值解：（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，DABCMN所以AG＝233323＝，MAG＝6，由正弦定理GMGAsinsin66＝（－－）得3GM6sin6＝（＋）则S1＝12GMGAsin＝sin12sin6（＋）同理可求得S2＝sin12sin6（－）（2）y＝221211yy＋＝222144sinsinsin66〔（＋）＋（－）〕＝72（3＋cot2）因为233，所以当＝3或＝23时，y取得最大值ymax＝240当＝2时，y取得最小值ymin＝2164。考查三角函数在实际生活中的的应用。例6。（2006年上海卷）如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？[解].解：连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10COS120°=700.于是,BC=107.北2010AB••C∵710120sin20sinACB,∴sin∠ACB=73,∵∠ACB90°∴∠ACB=41°∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.5。考查三角函数与其他内容的综合。例7。（2006年辽宁卷）ABC的三内角,,ABC所对边的长分别为,,abc设向量(,)pacb,(,)qbaca,若//pq,则角C的大小为(A)6(B)3(C)2(D)23【解析】222//()()()pqaccabbabacab，利用余弦定理可得2cos1C，即1cos23CC，故选择答案B。【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。例8。（2006年湖北卷）设函数()()fxabc，其中向量(sin,cos)axx，(sin,3cos)bxx，(cos,sin)cxx，xR。（Ⅰ）、求函数()fx的最大值和最小正周期；（Ⅱ）、将函数()fx的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d。点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx)＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+2sin(2x+43).所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是22＝.（Ⅱ）由sin(2x+43)＝0得2x+43＝k.，即x＝832k,k∈Z，于是d＝（832k，－2），,4)832(2kdk∈Z.因为k为整数，要使d最小，则只有k＝1，此时d＝（―8，―2）即为所求.例9。（2006年全国卷2）已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－π2＜θ＜π2．（Ⅰ）若a⊥b，求θ；（Ⅱ）求｜a＋b｜的最大值．解：（Ⅰ）若a⊥b，则sinθ＋cosθ＝0，……………2分由此得tanθ＝－1(－π2＜θ＜π2)，所以θ＝－π4；………………4分（Ⅱ）由a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)得｜a＋b｜＝(sinθ＋1)2＋(1＋cosθ)2＝3＋2(sinθ＋cosθ)＝3＋22sin(θ＋π4)，………………10分当sin(θ＋π4)＝1时，|a＋b|取得最大值，即当θ＝π4时，|a＋b|最大值为2＋1．……12分二。2007年高考三角函数命题展望与预测三角函数部分在高考中具有一定的的地位，但试题难度不太大，是学生的主要得分题，下面是对2007年高考三角函数方向的几点预测：1．有关三角函数图象及其性质，其中求角的范围可能出现在选择题与填空题中，属基础题，要求学生掌握三角函数最基本的性质。2．有关三角变换及求值并结合三角函数的题可能出现在选择题与填空题中，要求学生掌握三角函数最基本的三角变换。3．研究三角形中的三角函数问题，是近几年中的高考热点题型。4．“横向三角题”即用三角函数知识解决一些实际问题可能出现在大题中，，属中档题，要求学生掌握其性质变换，具有推理能力、逻辑思维能力。5．高考中仍将重点考查两角和正、余弦公式及二倍角公式的应用。6．注意三角函数与新知识平面向量、求导等的结合，应关注三角函数在解决立体几何与解析几何计算问题中的应用。例1、如图，在南北方向直线延伸的湖岸上有一港口A，一机艇以60km/h的速度从A出发，30分钟后因故障而停在湖里，已知机艇出发后先按直线前进，以后又改成正东，但不知最初的方向和何时改变方向。如何去营救，用图示表示营救的区域。分析：10要表示出一个区域，一般可在直角坐标系中表示，所以应首先建立直角坐标系；20题中涉及到方向问题，所以不妨用方向角θ作为变量来求解。解：以A为原点，过A的南北方向直线为y轴建立直角坐标系，如图：设机艇的最初航向的方位角为θ，设OP方向前进m到达点P，然后向东前进n到达点Q发生故障而抛锚。则m+n=30,令点Q的坐标为（x,y），则cossinmynmxθ∈[0，2]。∴|AQ|2=x2+y2=m2+n2+2mnsinθ≤m2+n2+2mn=（m+n）2=900∵机艇中途东拐，∴x2+y2900。…………①又∵x+y=m(sinθ+cosθ)+n=2msin(θ+4)+n≥m+n=30,∴x+y≥30…………②例2、某糖果厂为了拓宽其产品的销售市场，决定对一种半径为1的糖果的外层包装进行设计。设计时要求同时满足如下条件：（1）外包装要呈一封闭的圆锥形状；（2）为减少包装成本，要求所用材料最省；（3）为了方便携带，包装后每个