高次不等式的解法

高次不等式的解法---穿根法一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“”成立,下方曲线对应区域使“”成立.例1:解不等式(1)(x+4)(x+5)2(2-x)30(2)x2-4x+13x2-7x+2≤1解:(1)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)30根据穿根法如图不等式解集为{x∣x2或x-4且x≠5}.(2)变形为(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)≥0根据穿根法如图2-4-5221131不等式解集为{xx13或12≤x≤1或x2}.【例2】解不等式：(1)2x3-x2-15x＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．【分析】如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：(1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)＞0顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分．(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0∴原不等式解集为｛x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2｝．【说明】用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x．的．系数必为正；②对于偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(2)．．．的解法转化为不含重．．．．．．．．．根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．“奇穿偶不穿”．．．．．．．．其法．．．如图．．(5．．－．2)．．．．二．数轴标根法”又称“数轴穿根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为正数）例如：将x^3-2x^2-x+20化为(x-2)(x-1)(x+1)0第二步：将不等号换成等号解出所有根。例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。例如：-112第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。第五步：观察不等号，如果不等号为“”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“”则取数轴下方，穿根线以内的范围。x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)0的根。在数轴上标根得：-112画穿根线：由右上方开始穿根。因为不等号为“”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-1x1或x2。运用序轴标根法解题时常见错误分析当高次不等式ｆ（ｘ）＞０（或＜０）的左边整式、分式不等式φ（ｘ）／ｈ（ｘ）＞０（或＜０）的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积（ｘ－ａ１）（ｘ－ａ２）…（ｘ－ａｎ）的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，最右端的区间ｆ（ｘ）、φ（ｘ）／ｈ（ｘ）的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为序轴标根法。为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”，如图１。运用序轴标根法解不等式时，常犯以下的错误：１．出现形如（ａ－ｘ）的一次因式时，匆忙地“穿针引线”。例１解不等式ｘ（３－ｘ）（ｘ＋１）（ｘ－２）＞０。解ｘ（３－ｘ）（ｘ＋１）（ｘ－２）＞０，将各根－１、０、２、３依次标在数轴上，由图１可得原不等式的解集为｛ｘ｜ｘ＜－１或０＜ｘ＜２或ｘ＞３｝。事实上，只有将因式（ａ－ｘ）变为（ｘ－ａ）的形式后才能用序轴标根法，正确的解法是：解原不等式变形为ｘ（ｘ－３）（ｘ＋１）（ｘ－２）＜０，将各根－１、０、２、３依次标在数轴上，由图１，原不等式的解集为｛ｘ｜－１＜ｘ＜０或２＜ｘ＜３｝。２．出现重根时，机械地“穿针引线”例２解不等式（ｘ＋１）（ｘ－１）２（ｘ－４）３＜０解将三个根－１、１、４标在数轴上，由图２得，原不等式的解集为｛ｘ｜ｘ＜－１或１＜ｘ＜４｝。这种解法也是错误的，错在不加分析地、机械地“穿针引线”。出现几个相同的根时，所画的浪线遇到“偶次”点（即偶数个相同根所对应的点）不能过数轴，仍在数轴的同侧折回，只有遇到“奇次”点（即奇数个相同根所对应的点）才能穿过数轴，正确的解法如下：解将三个根－１、１、４标在数轴上，如图３画出浪线图来穿过各根对应点，遇到ｘ＝１的点时浪线不穿过数轴，仍在数轴的同侧折回；遇到ｘ＝４的点才穿过数轴，于是，可得到不等式的解集｛ｘ｜－１＜ｘ＜４且ｘ≠１｝３．出现不能再分解的二次因式时，简单地放弃“穿针引线”例３解不等式ｘ（ｘ＋１）（ｘ－２）（ｘ３－１）＞０解原不等式变形为ｘ（ｘ＋１）（ｘ－２）（ｘ－１）（ｘ２＋ｘ＋１）＞０，有些同学同解变形到这里时认为不能用序轴标根法了，因为序轴标根法指明要分解成一次因式的积，事实上，根据这个二次因式的符号将其消去再运用序轴标根法即可。解原不等式等价于ｘ（ｘ＋１）（ｘ－２）（ｘ－１）（ｘ２＋ｘ＋１）＞０，∵ｘ２＋ｘ＋１＞０对一切ｘ恒成立，∴ｘ（ｘ－１）（ｘ＋１）（ｘ－２）＞０，由图４可得原不等式的解集为｛ｘ｜ｘ＜－１或０＜ｘ＜１或ｘ＞２｝