数值分析课程第五版课后习题答案

第一章绪论1、设0x，x的相对误差为δ，求xln的误差。[解]设0*x为x的近似值，则有相对误差为δε=)(*xr，绝对误差为**)(xxδε=，从而xln的误差为δδεε==′=*****1)()(ln)(lnxxxxx，相对误差为****lnln)(ln)(lnxxxxrδεε==。2、设x的相对误差为2%，求nx的相对误差。[解]设*x为x的近似值，则有相对误差为%2)(*=xrε，绝对误差为**%2)(xx=ε，从而nx的误差为nnxxnxnxxnxxx**1***%2%2)()()()(ln*⋅==′=−=εε，相对误差为%2)()(ln)(ln***nxxxnr==εε。3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x，031.0*2=x，6.385*3=x，430.56*4=x，0.17*5×=x。[解]1021.1*1=x有5位有效数字；0031.0*2=x有2位有效数字；6.385*3=x有4位有效数字；430.56*4=x有5位有效数字；0.17*5×=x有2位有效数字。4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,xxxx均为第3题所给的数。（1）*4*2*1xxx++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(−−−−=×=×+×+×=++=∂∂=++∑xxxxxfxxxenkkkεεεε；（2）*3*2*1xxx；[解]52130996425.01009964255.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=×=×+×+×=××+××+××=++=∂∂=−−−−−−−=∑xxxxxxxxxxxfxxxenkkkεεεε；（3）*4*2/xx。[解]53232323*42*4*2*2*41***4*2*1088654.01021)430.56(461.561021)430.56(461.561021)430.56(031.01021430.561)()()(1)()/(−−−−−=×≈××=××=××+××=+=∂∂=∑xxxxxxxfxxenkkkεεε。5、计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径R允许的相对误差是多少？[解]由3*3**3**)(34))(34())(34(%1RRRrππεπε==可知，)()(4)()(34)(34%1))(34(**2***3*3*3**RRRRRRεπεπππε×=′=×=，从而***31%1)(RR×=ε，故300131%1)()(*****=×==RRRrεε。6、设280=Y，按递推公式),2,1(78310011=−=−nYYnn计算到100Y，若取982.27783≈（五位有效数字，）试问计算100Y将有多大误差？[解]令nY表示nY的近似值，nnnYYYe−=)(*，则0)(0*=Ye，并且由982.2710011×−=−nnYY，78310011×−=−nnYY可知，)783982.27(100111−×−−=−−−nnnnYYYY，即=−×−=−×−=−−)783982.27(1002)()783982.27(1001)()(2*1**nnnYeYeYe，从而982.27783)783982.27()()(0*100*−=−−=YeYe，而31021982.27783−×≤−，所以3100*1021)(−×=Yε。7、求方程01562=+−xx的两个根，使它至少具有四位有效数字（982.27783≈）[解]由78328±=x与982.27783≈（五位有效数字）可知，982.55982.2728783281=+=+=x（五位有效数字）。而018.0982.2728783282=−=−=x，只有两位有效数字，不符合题意。但是22107863.1982.55178328178328−×==+=−=x。8、当N充分大时，怎样求∫++1211NNdxx？[解]因为NNdxxNNarctan)1arctan(1112−+=+∫+，当N充分大时为两个相近数相减，设)1arctan(+=Nα，Narctan=β，则αtan1=+N，βtan=N，从而11)1(1)1(tantan1tantan)tan(2++=++−+=+−=−NNNNNNβαβαβα，因此11arctan11212++=−=+∫+NNdxxNNβα。9、正方形的边长大约为100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过12cm?[解]由)(2)(])[())((*****2*2**lllllεεε=′=可知，若要求1))((2**=lε，则2001100212))(()(*2****=×==lllεε，即边长应满足2001100±=l。10、设221gtS=，假定g是准确的，而对t的测量有1.0±秒的误差，证明当t增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。[证明]因为******1.0)()()()(gttgttdtdSS===εεε，***2******51)(2)(21)()()(ttttgtgtSSSr====εεεε，所以得证。11、序列{}ny满足递推关系),2,1(1101=−=−nyynn，若41.120≈=y（三位有效数字），计算到10y时误差有多大？这个计算过程稳定吗？[解]设ny为ny的近似值，nnnyyy−=)(*ε，则由−==−110210nnyyy与−==−11041.110nnyyy可知，20*1021)(−×=yε，)(1011−−−=−nnnnyyyy，即)(10)(10)(0*1**yyynnnεεε==−，从而82100*1010*1021102110)(10)(×=××==−yyεε，因此计算过程不稳定。12、计算6)12(−=f，取4.12≈，利用下列公式计算，哪一个得到的结果最好？6)12(1+，3)223(−，3)223(1+，27099−。[解]因为1*1021)(−×=fε，所以对于61)12(1+=f，2417*11*10211054.61021)14.1(6)4.1()(−−−××=××+=′=effe，有一位有效数字；对于32)223(−=f，1112*22*10211012.01021)4.123(6)4.1()(−−−××=×××−=′=effe，没有有效数字；对于33)223(1+=f，2314*33*10211065.21021)4.123(6)4.1()(−−−××=×××+=′=effe，有一位有效数字；对于270994−=f，111*44*10211035102170)4.1()(××=××=′=−−effe，没有有效数字。13、)1ln()(2−−=xxxf，求)30(f的值。若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式)1ln()1ln(22−+−=−−xxxx计算，求对数时误差有多大？[解]因为9833.298991302==−（六位有效数字），4*1021)(−×=xε，所以2442**11*102994.010219833.293011021)13030(1)()()(−−−×=××−=××−−−=′=xeffe，6442**22*108336.010219833.29301102111)()()(−−−×=××+=××−+−=′=xxxeffe。14、试用消元法解方程组=+=[phone]xxxx，假定只有三位数计算，问结果是否可靠？[解]精确解为110210,110101010210101−−=−=xx。当使用三位数运算时，得到1,121==xx，结果可靠。15、已知三角形面积cabssin21=，其中c为弧度，20πc，且测量a，b，c的误差分别为cba∆∆∆,,，证明面积的误差s∆满足ccbbaass∆+∆+∆≤∆。[解]因为ccabbcaacbxxfsnkkk∆+∆+∆=∆∂∂=∆∑=cos21sin21sin21)()(1，所以ccbbccccbbcccabccabbcaacbss∆+∆+∆≤∆+∆+∆=∆+∆+∆=∆tansin21cos21sin21sin21。第二章插值法（40-42）1、根据（2.2）定义的范德蒙行列式，令=−−−−nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxV212110200110111),,,,(，证明)(xVn是n次多项式，它的根是121,,,−nxxx，且)())(,,,(),,,,(101101110−−−−−−=nnnnnxxxxxxxVxxxxV。[证明]由∏∏∏∏−=−−−=−=−=−−⋅=−⋅−=101101101010110)(),,,()()(),,,,(njjnnnjjniijjinnxxxxxVxxxxxxxxV可得求证。2、当2,1,1−=x时，4,3,0)(−=xf，求)(xf的二次插值多项式。[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102−+=−++−−=+−+−×+−−−−−−×−+−+−+×=−−−−+−−−−+−−−−=xxxxxxxxxxxxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxL。3、给出xxfln)(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln的近似值。X0.40.50.60.70.8xln-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144[解]若取5.00=x，6.01=x，则693147.0)5.0()(00−===fxfy，510826.0)6.0()(11−===fxfy，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101−=−−−=−−×−−−×−=−−+−−=xxxxxxxxxyxxxxyxL，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1−=−=−×=L。若取4.00=x，5.01=x，6.02=x，则916291.0)4.0()(00−===fxfy，693147.0)5.0()(11−===fxfy，510826.0)6.0()(22−===fxfy，则217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102−+−=+−−+−×++−×−=−−−−×−+−−−−×−+−−−−×−=−−−−+−−−−+−−−−=xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxL，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22−=−+−=−×+×−=L。4、给出900,cos≤≤xx的函数表