求函数最值问题常用的种方法

一、定义法函数最值的定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：①对任意x∈I，都有f(x)≤M，②存在x0∈I，使得f(x0)＝M，则称M为函数y＝f(x)的最大值；如果存在实数N，满足：①对任意x∈I，都有f(x)≥N，②存在x0∈I，使得f(x0)＝N，则称N为函数y＝f(x)的最小值．我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值的相关问题．【例1】设函数f(x)的定义域为R，有下列三个命题：①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值；②若存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0，有f(x)f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的最大值；③若存在x0∈R，使得对任意x∈R，有f(x)≤f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的最大值．这些命题中，真命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析根据函数的最大值的定义知，①是假命题：虽然满足最大值定义中的任意性，但不满足存在性，故①错误．②、③正确：实质上，它们是等价命题，都满足最值定义中的两个条件．故选C.点评利用定义解决函数最值的相关问题时，其重要的一点就是要把握定义的内涵，准确地加以应用．需要注意的是：函数一定有值域，但不一定有最值，如函数f(x)＝1x的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，但它没有最大值，也没有最小值．二、配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的函数的最值问题，可以考虑用配方法．【例2】已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值．将函数表达式按ex＋e－x配方，转化为关于变量ex＋e－x的二次函数．分析解析y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2.令t＝ex＋e－x，f(t)＝t2－2at＋2a2－2.∵t≥2，∴f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定义域为[2，＋∞)．∵抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a，∴当a≤2且a≠0时，ymin＝f(2)＝2(a－1)2；当a2时，ymin＝f(a)＝a2－2.点评利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系．如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要细心区分：对称轴与区间的位置关系，然后再根据不同情况分类解决．三、换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．【例3】设a，b∈R，a2＋2b2＝6，则a＋b的最小值是______．分析由条件a2＋2b2＝6的形式知，可利用三角换元法求a＋b的最值．解析∵a，b∈R，a2＋2b2＝6，∴令a＝6cosα，2b＝6sinα，α∈R.∴a＋b＝6cosα＋3sinα＝3sin(α＋φ)．∴a＋b的最小值是－3.故填－3.点评在用换元法时，要特别注意其中间变量的取值范围．如本题换元后中间变量α∈R，这由条件a，b∈R可得到．四、不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常常使用的基本不等式有以下几种：a2＋b2≥2ab(a，b为实数)；a＋b2≥ab(a≥0，b≥0)；ab≤a＋b22≤a2＋b22(a，b为实数)．【例4】设x，y，z为正实数，x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．分析先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基本不等式求得最值．xzy2解析因为x－2y＋3z＝0，所以y＝x＋3z2，所以y2xz＝x2＋9z2＋6xz4xz.又x，z为正实数，所以由基本不等式，得y2xz≥6xz＋6xz4xz＝3,当且仅当x＝3z时取“＝”．故y2xz的最小值为3.故填3.点评本题是三元分式函数的最值问题，一般地，可将这类函数问题转化为二元函数问题加以解决．在利用均值不等式法求函数最值时，必须注意“一正二定三相等”，特别是“三相等”，是我们易忽略的地方，容易产生失误．五、函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．这种求解方法在高考中是必考的，且多在解答题中的某一问中出现．【例5】设a1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为12，则a＝________.分析先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函数的最值，然后利用条件求得参数a的值．解析∵a1，∴函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上是增函数，∴函数在区间[a,2a]上的最大值与最小值分别为loga2a，logaa＝1.又∵它们的差为12，∴loga2＝12，a＝4.故填4.点评解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性．这一点处理好了，以下的问题就容易了．一般而言，对一次函数、幂函数、指数函数、对数函数在闭区间[m，n]上的最值：若函数f(x)在[m，n]上单调递增，则f(x)min＝f(m)，f(x)max＝f(n)；若函数f(x)在[m，n]上单调递减，则f(x)min＝f(n)，f(x)max＝f(m)；若函数f(x)在[m，n]上不单调，但在其分成的几个子区间上是单调的，则可以采用分段函数求最值的方法处理．六、导数法设函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上的最大值和最小值应为f(x)在(a，b)内的各极值与f(a)、f(b)中的最大值和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导数法．【例6】函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是________．分析先求闭区间上的函数的极值，再与端点函数值比较大小，确定最值．解析因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝－1(舍正)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.故填3，－17.点评(1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一，求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函数值f(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存在的点及其端点．七、判别式法把函数转化为x的二次方程F(x，y)＝0，通过方程有实根，判别式Δ≥0，从而求得函数的最值．判别式法多用于求形如y＝ax2＋bx＋cdx2＋ex＋f(a，d不同时为0)的分式函数的最值．【例7】求函数y＝x2－3x＋4x2＋3x＋4的最大值和最小值．分析本题是分式函数的最值问题，因为分式函数的分母恒为正，故可以应用判别式法求解．解析∵x2＋3x＋4＝0的判别式Δ1＝32－4×1×4＝－70，∴x2＋3x＋40对一切x∈R均成立．∴函数的定义域为R.∴函数表达式可化为(y－1)x2＋(3y＋3)x＋4y－4＝0.当y＝1时，x＝0；当y≠1时，由x∈R，上面的一元二次方程必须有实根，∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y－4)≥0，解得17≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7，ymin＝17.点评判别式法的应用，对转化的(y－1)x2＋(3y＋3)x＋4y－4＝0来说，应该满足二次项系数不为0，对二次项系数为0时，要另行讨论，对本题若y－1＝0，即y＝1，有(3＋3)x＋4－4＝0，所以x＝0.一般来说，利用判别式法求函数的最值，即根据g(y)x2＋h(y)x＋φ(y)＝0(g(y)≠0)的判别式Δ≥0去求解，要注意验证g(y)＝0时y的值对应的x的值是否是函数定义域内的值，若是，则使g(y)＝0的y的值在函数的值域内，否则相反．八、平方法对含根式的函数或含绝对值的函数，有时利用平方法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题．【例8】已知函数y＝1－x＋x＋3的最大值为M，最小值为m，则mM的值为()A.14B.12C.22D.32分析本题是无理函数的最值问题，可以先确定定义域，再两边平方，即可化为二次函数的最值问题，进而可以利用二次函数的最值解决．解析由题意，得1－x≥0，x＋3≥0，所以函数的定义域为{x|－3≤x≤1}．又两边平方，得y2＝4＋21－x·x＋3＝4＋2(1－x)(x＋3).所以当x＝－1时，y取得最大值M＝22；当x＝－3或1时，y取得最小值m＝2，∴mM＝22.故选C.分析对于形如y＝a－cx＋cx＋b的无理函数的最值问题，可以利用平方法将问题化为函数y2＝(a＋b)＋2(a－cx)(cx＋b)的最值问题，这只需利用二次函数的最值即可求得．九、数形结合法数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用的方法．这种方法借助几何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，又可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的一种重要途径．因此，在学习中，我们对这种方法要细心研读，认真领会，并正确地应用到相关问题的解决之中．【例9】对a，b∈R，记max|a，b|＝a，a≥b，b，ab，函数f(x)＝max||x＋1|，|x－2||(x∈R)的最小值是________．分析本题实质上是一个分段函数的最值问题．先根据条件将函数化为分段函数，再利用数形结合法求解．解析由|x＋1|≥|x－2|，得(x+1)2≥(x-2)2，所以x≥.21.23.23121)21()(min故填所以fxf,,21,.,21|,2|,21|,1|)(函数有最小值时当由图形易知其图象如图所示所以xxxxxxf点评用数形结合的方法求解最值问题，其关键是发现问题条件中所隐含的几何意义，利用这个几何意义，就可以画出图形，从而借助图形直观解决问题．如将本题化为分段函数的最值问题后，可以用分段求解最值的方法去解．十、线性规划法线性规划法，是指利用线性规划的基本知识求解函数最值的方法．线性规划法求解最值问题，一般有以下几步：(1)由条件写出约束条件；(2)画出可行域，并求最优解；(3)根据目标函数及最优解，求出最值．【例10】已知点P(x，y)的坐标同时满足以下不等式：x＋y≤4，y≥x，x≥1，如果点O为坐标原点，那么|OP|的最小值等于________，最大值等于________．分析本题实质上可以视为线性规划问题，求解时，先找出约束条件，再画可行域，最后求出最值解析由题意，得点P(x，y)的坐标满足画出可行域，如图所示．由条件，得A(2,2)，|OA|=2；B(1,3)，|OB|=；C(1,1)，|OC|=.故|OP|的最大值为，最小值为..1,,4xxyyx2102102.102故填