《固体物理学》例题与习题

《固体物理学》例题与习题1.3证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方由倒格子定义体心立方格子原胞基矢1.3倒格子基矢)(2kja同理)(22321132kiaaaaaab)(22321213jiaaaaaab可见由为基矢构成的格子为面心立方格子面心立方格子原胞基矢倒格子基矢)(21kjiab同理)(22kjiab)(23kjiab可见由为基矢构成的格子为体心立方格子1.4证明倒格子原胞体积其中vc为正格子原胞体积倒格子基矢倒格子体积ccvv3*)2(1.41.5证明：倒格子矢量垂直于密勒指数为的晶面系因为容易证明与晶面系正交ijjiba21.51.6如果基矢构成简单正交系，证明晶面族的面间距为：并说明面指数简单的晶面，其面密度比较大，容易解理简单正交系倒格子基矢1.6倒格子矢量晶面族的面间距222)()()(1clbkah——面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，这样的晶面越容易解理倒格子基矢1.9指出立方晶格(111)面与(100)面，(111)面与(110)面的交线的晶向(111)面与(100)面的交线的AB——晶向指数——AB平移，A与O点重合(111)面与(100)面的交线的晶向[011]B点位矢1.9(111)面与(110)面的交线的AB——晶向指数——将AB平移，A与原点O重合，B点位矢(111)面与(110)面的交线的晶向[110]补充例题001试做出简单立方晶格、面心立方晶格和体心立方晶格的维格纳—塞茨原胞(Wingner-Seitz)维格纳—塞茨原胞：选取某一个格点为中心，做出最近各点和次近各点连线的中垂面，这些所包围的空间——维格纳—塞茨原胞如图所示为一种二维格子的维格纳—塞茨原胞001简单立方晶格维格纳——塞茨原胞为原点和6个近邻格点连线的垂直平分面围成的立方体面心立方格子维格纳——塞茨原胞为原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体体心立方格子维格纳——塞茨原胞为原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，沿立方轴的6个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的14面体——八个面是正六边形，六个面是正四边形维格纳——塞茨原胞——14面体——八个面正六边形——六个面正四边形2.1证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为马德隆常数对于一维一价离子，选定某一个离子为参考离子，假定离子数目很大，参考离子左右两边各有一个异号离子2ln2当——一维一价离子2.12.3若一晶体两个离子之间的相互作用能可以表示为计算1)平衡间距r02)结合能W（单个原子的）3)体弹性模量4)若取计算的值2.31)平衡间距r0的计算平衡条件2)单个原子的结合能1(1)()2mnmmnWnmmnmnr10)(晶体内能3)体弹性模量晶体的体积——A为常数，N为原胞数目晶体内能nmrnrm00体弹性模量由平衡条件nmrnrm00)(2000nmrrNU009VmnUK体弹性模量4)若取计算的值10-95102.1meV219105.7meV*2.01已知有N个离子组成的NaCl晶体，其结合能为现以来代替排斥项，且当晶体处于平衡时，这两者对互作用势能的贡献相同，试求n和的关系。将结合能在平衡位置处展开2.01以代替后根据题意结合能在平衡位置处展开00rncer02010rnercrn00rncer02010rnercrnncne1)(3.2讨论N个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a），其2N个格波解，当M=m时与一维单原子链的结果一一对应质量为M的原子位于2n-1，2n+1，2n+3……。质量为m的原子位于2n，2n+2，2n+4……。牛顿运动方程——N个原胞，有2N个独立的方程方程的解代回到运动方程A、B有非零解两种不同的格波的色散关系1222212222()4{1[1sin]}()()4{1[1sin]}()mMmMaqmMmMmMmMaqmMmM——对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波。总的格波数目为2N——两种色散关系如图所示4cos24sin2aqmaqm长波极限情况下——与一维单原子晶格格波的色散关系一致3.3质量相同两种原子形成一维双原子链，最近邻原子间的力常数交错等于和，并且最近邻的间距1)求出色散关系和分析计算处格波的频率值2)大致画出色散关系图绿色标记的原子位于2n-1，2n+1，2n+3……红色标记原子位于2n，2n+2，2n+4……——第2n个原子和第2n＋1个原子的运动方程——体系N个原胞，有2N个独立的方程——方程的解令——A、B有非零的解，系数行列式满足——220(1120cos101)qa——两种色散关系220(1120cos101)qa——色散关系图——两种色散关系3.6计算一维单原子链的频率分布函数()设单原子链长度波矢取值每个波矢的宽度状态密度dq间隔内的状态数对应q，取值相同，d间隔内的状态数目dqNad22)(dqNad22)(一维单原子链色散关系)2(sin422aqm令两边微分得到d间隔内的状态数目22012)(N代入频率分布函数3.7设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有：证明：频率分布函数三维晶格振动的态密度dq间隔内的状态数dqqV234)2(对两边微分得到将dq和代入得到02/102/32)(14)(AVf时为虚数，有()0f方法2振动模式密度函数——对于q空间的等频率面，波矢q为常数已知三维色散关系因为对于光学波，在处振动频率具有最大值1/20023/201()()40VfA频率分布函数4.2写出一维近自由电子近似，第n个能带（n=1,2,3）中，简约波矢的零级波函数一维近自由电子近似中，用简约波矢表示的波函数第n个能带零级波函数第一个能带xaieL21第二个能带xaieL231第三个能带xaieL2514.3电子在周期场中的势能函数且a=4b，是常数。1)画出此势能曲线，并计算势能的平均值；2)用近自由电子模型，计算晶体的第一个和第二个带隙宽度势能的平均值势能的平均值令2296aVm在近自由电子近似模型中，势能函数的第n个傅里叶系数第一个带隙宽度第二个带隙宽度112VEg222VEg补充习题一维周期势场中电子的波函数应当满足布洛赫定理。如果晶格常数为a,电子的波函数为求电子在这些态中的波矢根据布洛赫定理一维情形布洛赫定理1）电子的波函数ak电子的波矢2）电子的波函数ak2电子的波矢3）电子的波函数ak电子的波矢4）电子的波函数0k电子的波矢4.4用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格s态原子能级相对应的能带函数面心立方晶格——s态原子能级相对应的能带函数——任选取一个格点为原点O——最近邻格点有12个——s原子态波函数具有球对称性12个最邻近格点的位置O01()4(coscoscoscoscoscos)222222ssyyxxzzEkJkakakakakakaJ——类似的表示共有12项——归并化简后得到面心立方s态原子能级相对应的能带——对于体心立方格子，任选取一个格点为原点——有8个最邻近格点O——最近邻格点的位置——类似的表示共有8项2cos2cos2cos8)(10akakakJJkEzyxss——归并化简后得到体心立方s态原子能级相对应的能带只计入最近邻格点原子的相互作用时，s态原子能级相对应的能带函数表示为4.7一维单原子链，原子间距a，总长度为L＝Na1)用紧束缚近似方法求出与原子s态能级相对应的能带函数2)求出其能带密度函数的表达式3)如每个原子s态中只有一个电子，计算T=0K时的费密能级和处的能态密度对于一维情形,任意选取一个格点为原点——有两个最近邻的格点，坐标为：a和－akaJJkEsscos2)(10能带密度函数的计算对于一维格子，波矢为具有相同的能量，此外考虑到电子自旋有2种取向，在dk区间的状态数22102()()4(())sssdZNNEdEkJEkJ能带密度T=0K的费密能级计算总的电子数其中00FsEJT=0K的费密能级1()NNEJT=0K费密能级处的能态密度由于能带的交叠，能带1中的部分电子转移到能带2中，而在能带1中形成空穴，讨论时的费密能级其中为能带1的带顶，为能带2的带底4.9半金属交叠的能带半金属的能带1和能带2如图所示能带1的能态密度同理能带2的能态密度——半金属如果不发生能带重合，电子刚好填满一个能带。由于能带交叠，能带1中的电子填充到能带2中，满足01122012(0)()FmEmEkEmm020()0.075FEEkeV4.12设有二维正方晶格，晶体势场用近自由电子近似的微扰论，近似求出在布里渊顶角(/a,/a)处的能隙晶体布里渊顶角(/a,/a)处的能隙在近自由电子近似模型中，势能函数的第n个傅里叶系数aGidUeanVn02)(1)(晶体势场))((),(2211222221aiaiaiaieeeeUU)2cos()2cos(4),(yaxaUyxU布里渊顶角代入UEg21布里渊顶角处的能隙*补充习题限制在边长为L的正方形中的N个电子，电子的能量：1）求能态密度2）求二维系统在绝对零度时的费米能量将改写为——对于给定的能量，该方程在波矢k空间表示的是一个圆k空间，单位面积内的状态数半径的圆内的状态数能量E到E+dE之间的状态数能态密度22)(mLEN能量电子的数目绝对零度时的费米能量220mLNEF*补充习题电子的能量为求能态密度将电子能量改写为——k空间的一个椭球方程——半轴a,b,c分别为椭球在k空间的体积2/12/12/3223)()()2(2)(kzyxEEmmmLENk空间的状态密度椭球内的状态数能态密度5.1设一维晶体的电子能带可以写成式中a为晶格常数。计算1）能带的宽度；2）电子在波矢k的状态时的速度；3）能带底部和能带顶部电子的有效质量1）能带的宽度能带底部能带顶部)0()(EaEE能带宽度222ma电子在波矢k的状态时的速度)2sin41(sin)(kakamakvmm2*mm32*电子的有效质量能带底部能带顶部有效质量有效质量5.5设电子等能面为椭球外加磁场B相对于椭球主轴方向余弦为1)写出电子的准经典运动方程2)证明电子绕磁场回转频率为其中恒定磁场中电子运动的基本方程()dkqvkBdt)(1)(kEkvk电子的速度电子能量电子的速度磁感应强度代入电子运动方程应用关系电子运动方程0)(0)(0)(221131133233221mkmkqBdtdkmkmkqBdtdkmkmkqBdtdk令000022011030110330203302201kmqBkmqBkikmqBkmqBkikmqBkmqBki有非零解，系数行列式为零0})()()({2312221223222mmqBmmqBmmqBi无意义321232221mmmmmmqB*mqB旋转频率其中*6.2在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成如果一个摩尔的金属钾有个电子，求钾的费米温度和德拜温度一摩尔的电子对热容的贡献BFBVkETkNC)(2020KkNTBF196241008.223-2