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2010考研数学之极限与微分1一、极限的计算方法未定式极限的计算是必考题型，最主要的计算方法为等价无穷小代换和洛必达（L’Hospital）法则。1．等价无穷小代换若在某变化过程下，)(~)(xxβα，则).()(lim)()(limxxfxxfβ=α当x→0时，有xx~sin，xx~tan，xx~arcsin，xx~arctan，221~cos1xx−，xex~1−，axaxln~1−，xx~)1ln(+，nxxn~11−+，xxαβ−β+α~1)1(.以上的等价无穷小中的x可以用相同形式的无穷小代替。如当x→0时，有2111cos~()22xxx−=2010考研数学之极限与微分2例1．010202（2）设当x→0时，))ln(1cos(12xx+−是比nxxsin高阶的无穷小，而nxxsin是比12−xe高阶的无穷小，则正整数n=。A．1；B．2；C．3；D．4；例2．040215（本题满分10分）求极限3012coslim13xxxx→⎡⎤+⎛⎞−⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦.例3．070101当0x+→时，与x等价的无穷小量是【】(A)1xe−.(B)1ln1xx+−.(C)11x+−.(D)1cosx−.2010考研数学之极限与微分3【真题】090215（本题满分9分）求40[ln(1tan)](1cos)lim.sinxxxxx→−+−080115（080215）（本题满分10分）求40[sinsin(sin)]sinlim.xxxxIx→−=090309cos320lim11xxeex→−=+−080209080315（080415）060101（1）050301040315030201（1）030203030303990101（1）2010考研数学之极限与微分4000201（1）010202（2）020201（1）970101（1）020303910203（3）920201（3）、920103【注1】被替换的无穷小与表达式的剩余部分应是乘积关系，可讨论：21sintanlim30=−→xxxx.2．恒等变形法1）提取非零因子法若0)(lim≠=Axf，则)(lim)()(limxgAxgxf=.2010考研数学之极限与微分52）有理化法当分子或分母含有根号时，有理化法是经常使用的方法。3）通分法4）分离无穷小法例4．050205若当0→x时，2)(kxx=α与xxxxcosarcsin1)(−+=β是等价无穷小，则k=例5（1）．计算)11(lim22+−−+++∞→xxxxx例5（2）．990101（1）⎟⎠⎞⎜⎝⎛−→xxxxtan11lim201.3=2010考研数学之极限与微分6例5（3）．确定常数λ和μ，使得0)1(lim33=μ−λ−−∞→xxx.【真题】060315990203.010201（1）930203（2）920103950203（1）3．洛必达法则洛必达法则解决的未定式的基本形式是ax→（∞→x）时的00和∞∞，其他的未定式诸如∞1，0∞，00，∞⋅0，∞−∞等可以通过取对数、通分、有理2010考研数学之极限与微分7化等方法变形为以上两种基本形式。洛必达法则在一个题目中往往多次使用。例6．设)(xf′连续，0)0(=f，0)0(≠′f，求20200()dlim()dxxxfttxftt→∫∫．【真题】050215（本题满分11分）设函数)(xf连续，且0)0(≠f，求极限.)()()(lim000∫∫−−→xxxdttxfxdttftx【参考题】设0)(≠af，)(af′存在，n是自然2010考研数学之极限与微分8数，计算nnnafnaf⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞→11lim.（答：)()(2afafe′）.关于两个重要极限的使用一定要注意它们的标准形式，比如0sinlim=∞→xxx不等于1；()31031limexxx=+→而不等于e。第二个重要极限的类型十分重要。例7．计算xxx2tan1)2(limπ→−.解：本例涉及到∞1的求法，有2种方法可以使用。①化幂指函数为指数函数.原式1explimtanln(2)2xxxπ→=⋅−2010考研数学之极限与微分911sinln(2)ln(2)2explimexplimcoscos22xxxxxxxπππ→→⋅−−==（①改∞⋅0为00；②变正切函数为正余弦函数的商为常用手法）π=ππ−=→2exp2sin2)2(1limexp1xxx（洛比达法则）.②取对数法.设xxy2tan)2(π−=，两端同时取对数，得)2ln(2tanlnxxy−⋅π=，⇒)2ln(2tanlim)limln(lnlim111xxyyxxx−⋅π==→→→=……2010考研数学之极限与微分10⇒π=→2explim1yx.【真题】030401（1）030101（1）000401（2）000201（4）900101（2）950101（1）010304020205020301（1）880201（3）890202（3）910103（1）920203（1）930103（1）2010考研数学之极限与微分11940203（3）980201（5）020202（3）940101（1）960201（4）4．极限存在准则例8．对数列}{nx，已知00=x，11121−−++=nnnxxx，(,3,2,1=n)，证明nnx+∞→lim存在并求出其极限值。【注3】设有)(1nnafa=+，Ian∈，且)(xf在区间I单调增加。则当12aa时，数列{na}单调增加；当12aa时，2010考研数学之极限与微分12数列{na}单调减少。（即只要数列的前两项不相等，数列总是有单调性）上述例题中，xxxxf+−=++=112121)(，有()011)(2+=′xxf.【注4】分析和证明此类极限时，可引用下述结论：对于任意数列}{nx，若存在自然数N和常数λ（0λ1），使得Nn≥时，−axnaxn−λ−1，则nnx+∞→lim=a.（注意，满足本定理的数列可以不具有单调性。）【参考题】2010考研数学之极限与微分131.设01a，nnnaaa++=+3)1(31（n=1，2，…）.求nna∞→lim.【提示】lim3nna→∞=2.对数列}{nx，已知21=x，nnxx121+=+，(,3,2,1=n)，证明nnx+∞→lim存在并求出其极限值(21+).例9（1）．设)(xf是周期为T的非负连续函数，求证：∫∫=+∞→TxxttfTttfx00)d(1)d(1lim例9（2）．000206设∫=xdttxS0cos)(。（1）当n为正整数，且π+≤π)1(nxn时，证明)1(2)(2+≤nxSn；（2）求xxSx)(lim+∞→。2010考研数学之极限与微分14【真题】080401060218（060116）020208960103（2）960202（2）950201（4）970106980107990210000302（1）5．Taylor公式法利用常见函数的带有皮亚诺余项的Taylor公式可以方便地求出某些极限，以下是一些常用公式。2010考研数学之极限与微分15)(!!212nnxxonxxxe+++++=；)()!12()1(!3sin121213−−−+−−++−=nnnxonxxxx)()!2()1(!21cos222nnnxonxxx+−++−=；)()1(2)1ln(12nnnxonxxxx+−++−=+−；+−++=+2!2)1(1)1(xmmmxxm)(!)1()1(nnxoxnnmmm++−−+；无穷小运算规律—)()(nmnmxoxox+=⋅；)()()(nmnmxoxoxo+=⋅；)()()(mnmxoxoxo=±±（nm≤）；)()(nnxoxko=（k是常数）。2010考研数学之极限与微分16例10．计算4202coslimxexxx−→−含有参数的极限或者需要确定无穷小的阶时，常常使用Taylor公式。例11（1）．设)(xf在0=x的某邻域3阶可导，2cos1)(lim0=−→xxfx，求)0(f，)0(f′，)0(f′′。例11（2）．000202（4）若0)(6sinlim30=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+→xxxfxx，则⎟⎠⎞⎜⎝⎛+→20)(6limxxfx=A．0；B．6；C．36；D．∞.例11（3）．设)(xf在0=x的某邻2010考研数学之极限与微分17域3阶可导，0)(6sinlim30=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+→xxxfxx，求)0(f，)0(f′，)0(f′′。【真题】060215020210960202（1）6．利用定积分定义对∞→n时的无穷多个无穷小之和，可考虑利用下列方式转化为定积分求出。∑∫=→λΔξ=niiibaxfxxf10)(limd)(∑=+∞→−+−=nininabafnab1)(lim；∑=+∞→−−+−=nininabafnab1)]1([lim；2010考研数学之极限与微分18∑∑∫=+∞→=→λ=Δξ=ninniiinifnxfxxf11010)(1lim)(limd)(；∑∑∫=+∞→=→λ−=Δξ=ninniiinifnxfxxf11010)1(1lim)(limd)(（尤其以后面两式最为常用）；例12．04020922212limln(1)(1)(1)nnnnnn→∞+++等于【】（A）221lnxdx∫；（B）212lnxdx∫；（C）212ln(1)xdx+∫；（D）221ln(1)xdx+∫.【真题和参考题】◇020201（4）2010考研数学之极限与微分19◇980107◇计算⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++∞→4343431212)1(1limnnnnnn二．极限的典型问题1．无穷小（大）的比较此类问题本质上是求极限问题，但需搞清两个问题：（1）无穷小比较的有关定义；（2）)(0∞→x时，一些常见无穷小（大）之间的比较关系，比如当+∞→x时，xxxaxxαln（0α，1a）。2010考研数学之极限与微分20例13．000202（1）设bxeaxxf+=)(在),(∞+−∞内连续，且0)(lim=−∞→xfx，则常数a,b的值满足A．0a，0b；B．0a，0b；C．0≤a，0b；D．0≥a，0b；【真题】0704113231lim(sincos)2→+∞+++=+xxxxxxx.例14．000202（2）设[]xxfxf=′+′′2)()(，且0)0(=′f，则。A．)0(f是)(xf的极大值；B．)0(f是)(xf的极小值；C．))0(,0(f是曲线)(xf的拐点；D．)0(f不是)(xf的极值，))0(,0(f也不是曲线)(xf的拐点。2010考研数学之极限与微分21【参考题】设)(xfy=在),(+∞−∞内有二阶连续导数，且满足关系式xeyxyx−−=′+′′1321）若)(xf在cx=)0(≠c处有极值，证明)(cf为极小值；2）若)(xf在0=x处有极值，)0(f是极大值还是极小值?（为极小值）例15．030102（3）已知函数f（x，y）在点（0，0）的某个邻域内连续，且1)(),(lim22200=+−→→yxxyyxfyx，则[A]A．点（0，0）不是f（x，y）的极值点；B．点（0，0）是f（x，y）的2010考研数学之极限与微分22极大值点；C．点（0，0）是f（x，y）的极小值点；D．根据所给条件无法判断点（0，0）是否为()yxf,的极值点。【真题】990202（2）930102（1）2．含有参数的极限1）在极限等式中确定参数讨论此类问题经常结合以下结论：若0)()(lim≠=cxvxu，且0)(lim=xu（或0)(lim=xv），则有0)(lim=xv（或2010考研数学之极限与微分230)(lim=xu）.【参考题】1．若011lnarctan2lim0≠=−+−→cxxxxpx，试求p和c（p=3，34−=c）.2．确定常数λ和μ，使得0)1(lim33=μ−λ−−∞→xxx.【真题