2.5三元一次方程组及其解法

解二元一次方程组有哪几种方法？它们的实质是什么？二元一次方程组代入加减消元一元一次方程一副扑克牌共54张，老师将一副扑克分给甲、乙、丙三名小朋友，甲拿到的牌数是乙的2倍；若把丙拿到的牌分一半给乙，则乙的牌数就比甲多2张，问老师分给甲、乙、丙各几张牌？问题1分析：(1)这个问题中要求的未知数有几个？你能列岀关于这些未知数的几个方程？请试一试。(2)根据(1)中列出的方程，你能求出问题的解吗？请试一试.问题2小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元的纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张.分析：这个问题中包含有个相等关系：三1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张1元纸币的张数＝2元纸币的张数的4倍1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22元设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张根据题意，可以得到下面三个方程：X+y+z=12X=4yX+2y+5z=22①②③观察方程①、③你能得出什么？含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做三元一次方程三元一次方程的概念：这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成X+y+z=12X=4yX+2y+5z=22｛由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组三元一次方程组的概念：解三元一次方程组的基本思路与解二元一次方程组的基本思路一样，即三元一次方程组消元二元一次方程组消元一元一次方程分析：方程①+②消去z,再由②-③消去z，组成一个二元一次方程组例1解三元一次方程组x＋2Y-Z=1①2x-y＋z=-2②X=y-z③｛解：将③分别代入①②，消去x得解这个二元一次方程组，得｛所以原方程组的解是X=-2Y=5Z=7｛你还有其它解法吗？试一试，并与这种解法进行比较.｛3Y-2Z=1y-z=-2｛y=5z=7将y=5z=7代入③，得X=-2先消z:例2解：分析：5x+5y=25④5x-y=19⑤④-⑤，得6y=6，所以y=1⑤再将x=4，y=1代入①，得z=-1所以原方程组的解是｛X=4Y=1Z=-1｛3x＋2Y+Z=13①X+5y＋2z=7②2X+3y-z=12③①+③①x2-②①+③，得①x2-②，得将y=1代入⑤，得x=4你还有其它解法吗？请课后试一试，并与你的同桌比较.…例3在等式y=a＋bx＋c中,当x=-1时,y=0;当x=2时,Y=3;当x=5时,y=60.求a,b,c的值x2解：根据题意，得三元一次方程组a－b＋c=0①4a＋2b＋c=3②25a＋5b＋c=60③｛②－①，得a＋b=1④③－①，得4a＋b=10⑤④与⑤组成二元一次方程组a＋b=14a＋b=10｛a=3b=-2解这个方程组，得｛把代入①，得a=3b=-2｛C=-5a=3b=-2c=-5｛因此答：a=3,b=-2,c=-5.请你做课内练习1、2解三元一次方程组｛1.x=y+1①X+2z=-2②y-z=3③｛2.3a-b+c=4①2a+b-c=6②2a+3b-c=12③｛x=2Y=1z=-2a=2b=3c=1｛2.甲、乙、丙三人的年龄之和为20岁，甲年龄的2倍比乙大1岁，乙年龄的1/3等于丙的1/2，问甲、乙、丙三人各几岁？课堂小结1.解二元一次方程组的基本思路:解二元一次方程组消元转化(代入消元、加减消元)解一元一次方程2.解三元一次方程组也通过消元将三元转化为二元再转化为解一元一次方程研讨提高解三元一次方程组的基本思路与解二元一次方程组的基本思路一样，但具体问题又有各种不同的多样方法，请看下面几例…转化为解二元一次方程组,应如何消元？1.以下是解上述三元一次方程组的几种消元方案,试说明各种方案是否可行.方案(1)由①,得x=6-y-z分别代入②、③,得5zy3)zy6(210zy2)zy6(2方案(2)由②+③,得15y5x46zyx5zy3x210zy2x26zyx把解三元一次方程组①②③(1)可行研究练习一方案(3)由①+②-③,得x+3z=11方案(4)由②+③、②-③,得5z2y15y5x4方案(5)由①+③、①-②,得4yx11y4x3方案(6)由①+③、②+③,得15y5x411y4x3(5)可行(6)可行2.上述方案(1)、(5)、(6)是可行方案,其中较合理、简捷的消元方案是哪个？方案(1)由①,得x=6-y-z分别代入②、③,得5zy3)zy6(210zy2)zy6(2(1)可行(5)较简捷3.若要先消去x,用加减法怎样消元？①×2-②,③-②,得5z2y2z4.若要先消去y,用加减法怎样消元？①×2-②,①×3-③,得13z4x2z说明:在解二元一次方程组中,把方程组中的两个方程经过恰当变形后,一次加减就可以消去一个未知数.在解三元一次方程组时,当三个方程都是三元一次方程时,只把其中两个方程相加减,比如方案(2),就不能消去一个未知数.在解三元一次方程组时,不一定要把三个方程一次相加减来消元,比如方案(3)用了三个方程相加减,是不一定需要的.方案(2)由②+③,得15y5x46zyx方案(3)由①+②-③,得x+3z=11说明:要会灵活地用多种方法消元.由于三元一次方程组中,z的系数的绝对值相等,所以用加减法消去z较为恰当.事实上,方程①、②中x、y的系数相差同样的倍数,因此消去x或y比方案(5)、(6)更简便.方案(5)由①+③、①-②,得4yx11y4x3方案(6)由①+③、②+③,得15y5x411y4x3(5)可行(6)可行22zyx6:5z:y4:3y:x解方程组解法一:原方程组化为22zyx0z5y60y3x4①②③③×5-②,得5x-y=110④①与④组成方程组,得110yx50y3x4解这个方程组,得40y30x研究练习二、把x=30,y=40代入③,得z=4848z40y30x解法二:根据方程x:y=3:4,设x=3k,则y=4k.把y=4k代入y:z=5:6,得z=4.8k.把x=3k,y=4k,z=4.8k代入x+y-z=22,得3k+4k-4.8k=22,∴k=1048z40y30x解法一是用加减法逐步消元;解法二是根据方程组中两个比例式,用新的元“k”的代数式去替代x、y、z,于是原方程组可以转化为关于“k”的一元一次方程.