概率论与数理统计习题参考答案

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概率论与数理统计习题参考答案(仅供参考)第一章第1页(共101页)概率论与数理统计参考答案(附习题)第一章随机事件及其概率1.写出下列随机试验的样本空间:(1)同时掷两颗骰子,记录两颗骰子的点数之和;(2)在单位圆内任意一点,记录它的坐标;(3)10件产品中有三件是次品,每次从其中取一件,取后不放回,直到三件次品都取出为止,记录抽取的次数;(4)测量一汽车通过给定点的速度.解:所求的样本空间如下(1)S={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}(2)S={(x,y)|x2+y21}(3)S={3,4,5,6,7,8,9,10}(4)S={v|v0}2.设A、B、C为三个事件,用A、B、C的运算关系表示下列事件:(1)A发生,B和C不发生;(2)A与B都发生,而C不发生;(3)A、B、C都发生;(4)A、B、C都不发生;(5)A、B、C不都发生;(6)A、B、C至少有一个发生;(7)A、B、C不多于一个发生;(8)A、B、C至少有两个发生.解:所求的事件表示如下(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)ABCABCABCABCABCABCABBCACABBCCA3.在某小学的学生中任选一名,若事件A表示被选学生是男生,事件B表示该生是三年级学生,事件C表示该学生是运动员,则(1)事件AB表示什么?(2)在什么条件下ABC=C成立?(3)在什么条件下关系式CB是正确的?(4)在什么条件下AB成立?解:所求的事件表示如下(1)事件AB表示该生是三年级男生,但不是运动员.(2)当全校运动员都是三年级男生时,ABC=C成立.概率论与数理统计习题参考答案(仅供参考)第一章第2页(共101页)(3)当全校运动员都是三年级学生时,关系式CB是正确的.(4)当全校女生都在三年级,并且三年级学生都是女生时,AB成立.4.设P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,试求()PAB解由于AB=A–AB,P(A)=0.7所以P(AB)=P(AAB)=P(A)P(AB)=0.3,所以P(AB)=0.4,故()PAB=10.4=0.6.5.对事件A、B和C,已知P(A)=P(B)=P(C)=14,P(AB)=P(CB)=0,P(AC)=18求A、B、C中至少有一个发生的概率.解由于,()0,ABCABPAB故P(ABC)=0则P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)–P(AB)–P(BC)–P(AC)+P(ABC)11115000444886.设盒中有α只红球和b只白球,现从中随机地取出两只球,试求下列事件的概率:A={两球颜色相同},B={两球颜色不同}.解由题意,基本事件总数为2abA,有利于A的事件数为22abAA,有利于B的事件数为1111112abbaabAAAAAA,则2211222()()ababababAAAAPAPBAA7.若10件产品中有件正品,3件次品,(1)不放回地每次从中任取一件,共取三次,求取到三件次品的概率;(2)每次从中任取一件,有放回地取三次,求取到三次次品的概率.解(1)设A={取得三件次品}则333333101016()()120720或者CAPAPACA.(2)设B={取到三个次品},则33327()101000PA.8.某旅行社100名导游中有43人会讲英语,35人会讲日语,32人会讲日语和英语,9人会讲法语、英语和日语,且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种,求:(1)此人会讲英语和日语,但不会讲法语的概率;(2)此人只会讲法语的概率.解设A={此人会讲英语},B={此人会讲日语},C={此人会讲法语}根据题意,可得概率论与数理统计习题参考答案(仅供参考)第一章第3页(共101页)(1)32923()()()100100100PABCPABPABC(2)()()()PABCPABPABC()01()PABPAB1()()()PAPBPAB4335325411001001001009.罐中有12颗围棋子,其中8颗白子4颗黑子,若从中任取3颗,求:(1)取到的都是白子的概率;(2)取到两颗白子,一颗黑子的概率;(3)取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率;(4)取到三颗棋子颜色相同的概率.解(1)设A={取到的都是白子}则3831214()0.25555CPAC.(2)设B={取到两颗白子,一颗黑子}2184312()0.509CCPBC.(3)设C={取三颗子中至少的一颗黑子}()1()0.745PCPA.(4)设D={取到三颗子颜色相同}3384312()0.273CCPDC.10.(1)500人中,至少有一个的生日是7月1日的概率是多少(1年按365日计算)?(2)6个人中,恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少?解(1)设A={至少有一个人生日在7月1日},则500500364()1()10.746365PAPA(2)设所求的概率为P(B)412612611()0.007312CCPB11.将C,C,E,E,I,N,S7个字母随意排成一行,试求恰好排成SCIENCE的概率p.解由于两个C,两个E共有2222AA种排法,而基本事件总数为77A,因此有2222770.000794AApA概率论与数理统计习题参考答案(仅供参考)第一章第4页(共101页)12.从5副不同的手套中任取款4只,求这4只都不配对的概率.解要4只都不配对,我们先取出4双,再从每一双中任取一只,共有4452C中取法.设A={4只手套都不配对},则有445410280()210CPAC13.一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件,第i只零件是不合格的概率为11ipi,i=1,2,3,若以x表示零件中合格品的个数,则P(x=2)为多少?解设Ai={第i个零件不合格},i=1,2,3,则1()1iiPApi所以()11iiiPApi123123123(2)()()()PxPAAAPAAAPAAA由于零件制造相互独立,有:123123()()()()PAAAPAPAPA,123123()()()()PAAAPAPAPA123123()()()()PAAAPAPAPA11112111311,(2)23423423424Px所以14.假设目标出现在射程之内的概率为0.7,这时射击命中目标的概率为0.6,试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率p.解设A={目标出现在射程内},B={射击击中目标},Bi={第i次击中目标},i=1,2.则P(A)=0.7,P(Bi|A)=0.6另外B=B1+B2,由全概率公式12()()()()()(|)()(()|)PBPABPABPABPAPBAPAPBBA另外,由于两次射击是独立的,故P(B1B2|A)=P(B1|A)P(B2|A)=0.36由加法公式P((B1+B2)|A)=P(B1|A)+P(B2|A)-P(B1B2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84因此P(B)=P(A)P((B1+B2)|A)=0.7×0.84=0.58815.设某种产品50件为一批,如果每批产品中没有次品的概率为0.35,有1,2,3,4件次品的概率分别为0.25,0.2,0.18,0.02,今从某批产品中抽取10件,检查出一件次品,求该批产品中次品不超过两件的概率.概率论与数理统计习题参考答案(仅供参考)第一章第5页(共101页)解设Ai={一批产品中有i件次品},i=0,1,2,3,4,B={任取10件检查出一件次品},C={产品中次品不超两件},由题意01914911050192482105019347310501944611050(|)01(|)516(|)4939(|)98988(|)2303PBACCPBACCCPBACCCPBACCCPBAC由于A0,A1,A2,A3,A4构成了一个完备的事件组,由全概率公式40()()(|)0.196iiiPBPAPBA由Bayes公式000111222()(|)(|)0()()(|)(|)0.255()()(|)(|)0.333()PAPBAPABPBPAPBAPABPBPAPBAPABPB故20()(|)0.588iiPCPAB16.由以往记录的数据分析,某船只运输某种物品损坏2%,10%和90%的概率分别为0.8,0.15,0.05,现在从中随机地取三件,发现三件全是好的,试分析这批物品的损坏率是多少(这里设物品件数很多,取出一件后不影响下一件的概率).解设B={三件都是好的},A1={损坏2%},A2={损坏10%},A1={损坏90%},则A1,A2,A3是两两互斥,且A1+A2+A3=Ω,P(A1)=0.8,P(A2)=0.15,P(A2)=0.05.因此有P(B|A1)=0.983,P(B|A2)=0.903,P(B|A3)=0.13,由全概率公式31333()()(|)0.80.980.150.900.050.100.8624iiiPBPAPBA由Bayes公式,这批货物的损坏率为2%,10%,90%的概率分别为313233()(|)0.80.98(|)0.8731()0.8624()(|)0.150.90(|)0.1268()0.8624()(|)0.050.10(|)0.0001()0.8624iiiiiiPAPBAPABPBPAPBAPABPBPAPBAPABPB由于P(A1|B)远大于P(A3|B),P(A2|B),因此可以认为这批货物的损坏率为0.2.概率论与数理统计习题参考答案(仅供参考)第一章第6页(共101页)17.验收成箱包装的玻璃器皿,每箱24只装,统计资料表明,每箱最多有两只残次品,且含0,1和2件残次品的箱各占80%,15%和5%,现在随意抽取一箱,随意检查其中4只;若未发现残次品,则通过验收,否则要逐一检验并更换残次品,试求:(1)一次通过验收的概率α;(2)通过验收的箱中确定无残次品的概率β.解设Hi={箱中实际有的次品数},0,1,2i,A={通过验收}则P(H0)=0.8,P(H1)=0.15,P(H2)=0.05,那么有:042314244222424(|)1,5(|),695(|)138PAHCPAHCCPAHC(1)由全概率公式20()()(|)0.96iiiPAPHPAH(2)由Bayes公式得00()(|)0.81(|)0.83()0.96iPHPAHPHAPA18.一建筑物内装有5台同类型的空调设备,调查表明,在任一时刻,每台设备被使用的概率为0.1,问在同一时刻(1)恰有两台设备被使用的概率是多少?(2)至少有三台设备被使用的概率是多少?解设5台设备在同一时刻是否工作是相互独立的,因此本题可以看作是5重伯努利试验.由题意,有p=0.1,q=1p=0.9,故(1)223155(2)(0.1)(0.9)0.0729PPC(2)2555(3)(4)(5)PPPP332441550555(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.00856CCC19.甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛,如果每一局甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4,比赛时可以采用三局二胜制或五局三胜制,问在哪一种比赛制度下甲获胜的可能性较大?解在三局两胜时,甲队获胜的概率为3322133033(2)(3)(0.6)(0.4)(0.6)(0.4)0.648APPPCC在五局三胜的情况下,甲队获胜的概率为555332441550555(3)(4)(5)(0.6)(0.4)(0.6)(0.4)(0.6)(0.4)0.682BPPPPCCC因此,采用五局三胜制的情况下,甲获胜的可能性较大.20.4次重

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