2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习理科数学-三角函数第四章---(4)

第23讲简单三角恒等变换【学习目标】1.能利用两角和与差以及二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角恒等变换；2.能利用上述公式及三角恒等变换的基本思想方法对三角函数式进行化简、求值及恒等式的证明.【基础检测】1.化简：sin2α－2cos2αsinα－π4＝________.【解析】原式＝2sinαcosα－2cos2α22（sinα－cosα）＝22cosα.【答案】22cosα2.已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanα·tanβ＝________________________________.【解析】tanα·tanβ＝1－tanα＋tanβtan（α＋β）＝1－24＝12.【答案】123.若tanθ＋1tanθ＝4，则sin2θ＝()A.15B.14C.13D.12【解析】∵tanθ＋1tanθ＝sinθcosθ＋cosθsinθ＝sin2θ＋cos2θsinθcosθ＝112sin2θ＝4，∴sin2θ＝12.【答案】D4.已知α∈－π，－π2，tanα＝34，则cos3π2－α＋2sin2α2＝()A.65B.125C.1D.－25或125【解析】∵α∈－π，－π2，tanα＝34，∴sinα＝－35，cosα＝－45，则cos3π2－α＋2sin2α2＝－sinα＋(1－cosα)＝35＋1＋45＝125.【答案】B5.化简tan70°cos10°(3tan20°－1)的值为()A.1B.2C.－1D.－2【解析】原式＝sin70°cos70°·cos10°3sin20°cos20°－1＝cos20°cos10°sin20°·3sin20°－cos20°cos20°＝cos10°sin20°×2sin(20°－30°)＝－sin20°sin20°＝－1.【答案】C【知识要点】1.三角变换的一般方法(1)角的变换，一般包括角的分解和角的组合，如α＝(α＋β)－β，π4＋x＝π2－π4－x，α＝2·α2等；(2)函数名称的变换，一般包括将三角函数统一成弦，以减少函数种类，对齐次式也可化成切；(3)注意结构的变换，如升幂与降幂，辅助角公式等；(4)角变换中以角的变换为中心；解题时，一看角，二看名称，三看结构.2.三角变换的常见题型(1)化简：灵活选用和、差、倍、辅助角公式进行三角恒等变换是化简三角函数式的难点，解题时应注意降次，减少角的种类及三角函数的种类，注意角的范围及三角函数的正负.(2)求值：给值求值时，注意要求角与已知角及特殊角的关系.(3)证明：证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一.考点1三角函数的化简问题例1(1)化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2x＋π4；(2)已知－π2＜x＜0，sinx＋cosx＝15.求3sin2x2－2sinx2cosx2＋cos2x2tanx＋1tanx的值.【解析】(1)原式＝12（4cos4x－4cos2x＋1）2·sinπ4－xcosπ4－x·cos2π4－x＝（2cos2x－1）24sinπ4－xcosπ4－x＝cos22x2sinπ2－2x＝cos22x2cos2x＝12cos2x.(2)由sinx＋cosx＝15，两边平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝125，即2sinxcosx＝－2425.∴3sin2x2－2sinx2cosx2＋cos2x2tanx＋1tanx＝2sin2x2－sinx＋1sinxcosx＋cosxsinx＝sinxcosx(2－cosx－sinx)＝－1225×2－15＝－108125.【点评】①三角函数式的变形，主要思路为角的变换、函数变换、结构变换，常用技巧有“辅助角”“1的代换”“切弦互化”等，其中角的变换是核心.②三角函数式的化简原则：尽量使函数种类最少，次数相对较低，项数最少，尽量使分母不含三角函数，尽量去掉根号或减少根号的层次，能求值的应求出其值.考点2三角函数的求值问题例2已知tanα＝2.(1)求tanα＋π4的值；(2)求sin2αsin2α＋sinαcosα－cos2α－1的值.【解析】(1)tanα＋π4＝tanα＋tanπ41－tanαtanπ4＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin2αsin2α＋sinαcosα－cos2α－1＝2sinαcosαsin2α＋sinαcosα－2cos2α＝2tanαtan2α＋tanα－2＝2×24＋2－2＝1.例3已知α，β为锐角，cosα＝17，sin(α＋β)＝5314，则cosβ＝________.【解析】因为α，β为锐角，cosα＝17，sin(α＋β)＝5314，所以sinα＝1－cos2α＝437，cos(α＋β)＝±1－sin2（α＋β）＝±1114，当cos(α＋β)＝1114时，sinβ＝sin（α＋β）－α＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝5314×17－1114×4370，与sinβ0矛盾，所以cosβ＝cos（α＋β）－α＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－1114×17＋5314×437＝12.【答案】12【点评】三角函数求值的3类求法(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系.(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.考点3三角恒等式的证明问题例4求证2－2sinπ4－αcosα＋π4cos4α－sin4α＝1＋tanα1－tanα.【解析】左边＝2－cosα－sinα2cos2α－sin2α＝1＋2sinαcosαcos2α－sin2α＝cosα＋sinαcosα－sinα＝1＋tanα1－tanα＝右边.【点评】三角恒等式的证明一般有三种方式：从左到右，从右到左，左＝右＝某一三角式.一般来说都是从复杂的一端向简单的一端证明.1.三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角.2.三角函数式的证明应从消去等式两端的差异去思考，或“从左证到右”或“从右证到左”或“从两边到中间”去具体操作.3.证明三角函数恒等式，首先观察条件与结论的差异，从解决差异入手，确定从结论开始，通过变换将已知表达式代入得出结论，或变换已知条件得出结论，常用消去法等.1.(2014·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为________.【解析】因为f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)·cosφ＋cos(x＋φ)·sinφ－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)·cosφ－cos(x＋φ)·sinφ＝sinx≤1.所以最大值为1.【答案】12.(2015·重庆)若tanα＝2tanπ5，则cosα－3π10sinα－π5＝()A.1B.2C.3D.4【解析】cosα－3π10sinα－π5＝sinα－3π10＋π2sinα－π5＝sinα＋π5sinα－π5＝sinαcosπ5＋cosαsinπ5sinαcosπ5－cosαsinπ5＝sinαcosαcosπ5＋sinπ5sinαcosαcosπ5－sinπ5＝2·sinπ5cosπ5cosπ5＋sinπ52·sinπ5cosπ5cosπ5－sinπ5＝3sinπ5sinπ5＝3.【答案】C3.(2018·江苏)已知α，β为锐角，tanα＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值.【解析】(1)因为tanα＝43，tanα＝sinαcosα，所以sinα＝43cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝925.因此，cos2α＝2cos2α－1＝－725.(2)因为α、β为锐角，所以α＋β∈(0，π).又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝43，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tan（α＋β）1＋tan2αtan（α＋β）＝－211.A组题1.若cos2αsinα＋7π4＝－22，则sinα＋cosα的值为()A.－22B.－12C.12D.72【解析】由已知得cos2α－sin2α22（sinα－cosα）＝（cosα＋sinα）（cosα－sinα）22（sinα－cosα）＝－22，整理得sinα＋cosα＝12.【答案】C2.已知sin2α＝35π22απ，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)等于()A.－2B.－1C.－211D.211【解析】由题意，可得cos2α＝－45，则tan2α＝－34，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan2α－tan（α－β）1＋tan2αtan（α－β）＝－2.【答案】A3.已知tanα＝2，则3sin2α－cosαsinα＋1＝()A.3B.－3C.4D.－4【解析】3sin2α－cosαsinα＋1＝4sin2α－cosαsinα＋cos2α4sin2α－sinαcosα＋cos2αsin2α＋cos2α＝4tan2α－tanα＋1tan2α＋1＝3.【答案】A4.已知锐角α满足cos2α＝cosπ4－α，则sin2α等于()A.12B.－12C.22D.－22【答案】A5.已知0απ，sinα·cosα＝－12，则11＋sinα＋11＋cosα＝__________.【解析】因为0απ，sinα·cosα＝－12，所以(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝0，即sinα＋cosα＝0，则11＋sinα＋11＋cosα＝2＋sinα＋cosα1＋sinαcosα＋sinα＋cosα＝21－12＝4.【答案】46.不查表计算：3－sin70°2－cos210°的值等于________.【解析】3－sin70°2－cos210°＝3－cos20°2－cos210°＝3－2cos210°＋12－cos210°＝4－2cos210°2－cos210°＝2.【答案】27.已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，则2α－β＝________.【解析】因为tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tan（α－β）＋tanβ1－tan（α－β）tanβ＝12－171－12×－17＝131，所以0απ4.又因为tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝341，所以02απ4.所以tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34－－171＋34×－17＝1.因为0βπ，所以－π2α－βπ4，所以2α－β＝－3π4.【答案】－3π48.(1)已知sinα＝35，cosβ＝45，其中α∈π2，π，β∈0，π2，求cos(α＋β)；(2)已知cosα＝17，