专题28-三角函数的应用(解析版)

中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师专题28三角函数的应用专题知识梳理1．角的有关概念(1)仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1)．(2)方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图2)．(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数，常用解直角三角形的方法求解．坡比：坡面的垂直高度与水平长度之比．2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题，计算面积问题、航海问题、物理问题等．3．解斜三角形在实际中的应用，解题的一般步骤是：(1)准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方向角、方位角等．(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图中标出．(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理和余弦定理正确求解并作答．4.数学建模：三角形在实际应用中非常广泛，通过抽象概括，建立三角形模型，利用解三角形达到解决实际问题的目的．中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师考点探究考向1利用正、余弦定理解决距离及角度问题【例】如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(3－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船．此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：6≈2.449)．【解析】设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则有CD＝103t(海里)，BD＝10t(海里)．在△ABC中，∵AB＝(3－1)海里，AC＝2海里，∠BAC＝45°＋75°＝120°，根据余弦定理，可得BC＝3－12＋22－2×2×3－1cos120°＝6(海里)．根据正弦定理，可得sin∠ABC＝ACsin120°BC＝2×326＝22.∴∠ABC＝45°，易知CB方向与正北方向垂直，从而∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD中，根据正弦定理，可得sin∠BCD＝BDsin∠CBDCD＝10t·sin120°103t＝12，∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝6(海里)，则有10t＝6，t＝610≈0.245小时＝14.7分钟．故缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船.题组训练1.如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为____m.中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师【解析】∠B＝180°－45°－105°＝30°.由正弦定理得ABsin45°＝50sin30°得AB＝502.2.某人要利用无人机测量河流的宽度，如图，从无人机A处测得正前方河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时无人机的高是60米，则河流的宽度BC等于____米．【解析】如图可知，∠DAB＝15°，tan15°＝tan(45°－30°)＝2－3.在Rt△ADB中，又AD＝60，∴DB＝AD·tan15°＝60×(2－3)＝120－603.在Rt△ADC中，又∠DAC＝60°，AD＝60，∴DC＝AD·tan60°＝603.∴BC＝DC－DB＝603－(120－603)＝120(3－1)，∴河流的宽度BC等于120(3－1)m.3.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是________海里．【解析】如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得BCsin30°＝ABsin45°，解得BC＝102(海里)．4.如图，游客从某旅游景区的景点处下山至C处有两种路径．一种是从沿A直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝1213，cosC＝35.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【解析】(1)∵cosA＝1213，cosC＝35，∵0Aπ，0Bπ，0Cπ，∴sinA＝513，sinC＝45，∵A＋B＋C＝π，∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝513·35＋1213·45＝6365，∵ACsinB＝ABsinC＝BCsinA，∴AB＝sinCsinB·AC＝45·6563·1260＝1040m.(2)BC＝sinAsinB·AC＝500m.设乙出发t(t≤8)分钟后，甲到了D处，乙到了E处，则有AD＝50t＋100，AE＝130t.根据余弦定理DE2＝AE2＋AD2－2AE·AD·cosA，即DE2＝7400t2－14000t＋10000.∴当t＝140002·7400＝3537时，DE2有最小值DE＝2507437.(3)设甲所用时间为t甲，乙所用时间为t乙，乙步行速度为V乙．由题意t甲＝126050＝1265min，t乙＝2＋1040130＋1＋500V乙＝11＋500V乙min.∴－3≤1265－11＋500V乙≤3，解不等式得125043≤V乙≤62514.考向2利用正、余弦定理解决高度问题【例】如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1200m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，求电视塔CD的高度.中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师【解析】在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得AMsin∠MCA＝ACsin∠AMC，即120022＝AC32，解得AC＝6006.在△ACD中，∵tan∠DAC＝DCAC＝33，∴DC＝6006×33＝6002.∴电视塔CD的高度为6002m题组训练1.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为____km(精确到0.1km，参考数据：3≈1.732)．【解析】∵AB＝1000×160＝503km，∴BC＝ABsin45°·sin30°＝5032km.∴航线离山顶h＝5032×sin75°＝5032×sin(45°＋30°)≈11.4km.∴山高为18－11.4＝6.6km.2.如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A，B的距离是84m，则塔高CD为_________m.中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师【解析】设塔高CD＝xm，则AD＝xm，DB＝3xm.又由题意得∠ADB＝90°＋60°＝150°，在△ABD中，利用余弦定理，得842＝x2＋(3x)2－23·x2cos150°，解得x＝127(负值舍去)，故塔高为127m.3.如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心，半径为103m的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB(不计B离河岸的距离)，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为E.经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45°，30°和60°.(1)求烟囱AB的高度；(2)如果要在CE间修一条直路，求CE的长．【解析】(1)设AB的高度为hm．在△CAB中，因为∠ACB＝45°，所以CB＝h.在△OAB和△ABE中，因为∠AOB＝30°，∠AEB＝60°，所以OB＝3h，EB＝3h3.由题意得3h－3h3＝103，解得h＝15.故烟囱AB的高度为15m.(2)在△OBC中，cos∠COB＝OC2＋OB2－BC22OC·OB＝300＋225×3－2252×103×153＝56.所以在△OCE中，CE2＝OC2＋OE2－2OC·OE·cos∠COE＝300＋300－600×56＝100(m)．故CE的长为10m.考向3解三角形与三角函数结合【例】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(x)＝2sin(x－A)cosx＋sin(B＋C)(x∈R)，函数f(x)的图象关于点π6，0对称．(1)当x∈0，π2时，求函数f(x)的值域；中高考数理化思维训练尖子生培优艺考生文化课辅导三步作文法全国名校名师一对一精品小班授课咨询电话[phone]陈老师18118913693张老师18112398139叶老师(2)若a＝7，且sinB＋sinC＝13314，求△ABC的面积．【解析】(1)∵f(x)＝2sin(x－A)cosx＋sin(B＋C)＝2(sinxcosA－cosxsinA)cosx＋sinA＝2sinxcosAcosx－2cos2xsinA＋sinA＝sin2xcosA－cos2xsinA＝sin(2x－A)，又函数f(x)的图象关于点π6，0对称，则fπ6＝0，即sinπ3－A＝0，又A∈(0，π)，则A＝π3，则f(x)＝sin2x－π3.由于x∈0，π2，则2x－π3∈－π3，2π3，即－32sin2x－π3≤1，则函数f(x)的值域为－32，1.(2)由正弦定理，得asinA＝bsinB＝csinC＝143，则sinB＝314b，sinC＝314c，sinB＋sinC＝314(b＋c)＝13314，即b＋c＝13.由余弦定理，得a2＝c2＋b2－2bccosA，即49＝c2＋b2－bc＝(b＋c)2－3bc，即bc＝40.则△ABC的面积S＝12bcsinA＝12×40×32＝103.题组训练1.已知函数f(x)＝3cos2ωx＋sinωxcosωx(ω0)的周期为π.(1)当x∈0，π2时，求函数f(x)的值域；(2)已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若fA2＝3，且a＝4，b＋c＝5，求△ABC的面积．【解析】(1)f(x)＝32(1＋cos2ωx)＋12sin2ωx＝sin2ωx＋π3＋32.因为f(x)的周期为π，且ω0，所以2π2ω＝π，解得ω＝1.所以f(x)＝sin2x＋π3＋