第1页,共13页2020年高考数学模拟试卷(文科15)副标题题号一二三总分得分一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.已知全集𝑈={0,1,2,3,4},若𝐴={0,2,3},𝐵={2,3,4},则(∁𝑈𝐴)∩(∁𝑈𝐵)=()A.⌀B.{1}C.{0,2}D.{1,4}2.已知i是虚数单位,a,,得“𝑎=𝑏=1”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.AC为平行四边形ABCD的一条对角线,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(2,4),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(1,3),则𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=()A.(2,4)B.(3,7)C.(1,1)D.(−1,−1)4.一个口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.3,摸出白球的概率是0.2,那么摸出黑球的概率是()A.0.4B.0.5C.0.6D.0.955.设𝑎=log2𝑒,𝑏=𝑙𝑛2,𝑐=log1213,则()A.𝑎𝑏𝑐B.𝑏𝑎𝑐C.𝑏𝑐𝑎D.𝑐𝑏𝑎6.一个空间几何体的三视图如图所示,且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是()A.16𝜋B.12𝜋C.8𝜋D.25𝜋7.已知𝑐𝑜𝑠𝛼=−45,𝛼∈(−𝜋,0),则𝑡𝑎𝑛2𝛼=()A.247B.−247C.724D.−7248.中国古代《易经》一书中记载,远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳计数”.如图,一位古人在从右到左依次排列的绳子上打结,满五进一,用来记录捕鱼条数,由图可知,这位古人共捕鱼()A.89条B.113条C.324条D.445条9.已知m,n表示两条不同直线,𝛼表示平面,下列说法正确的是()A.若𝑚//𝛼,𝑛//𝛼,则𝑚//𝑛B.若𝑚⊥𝛼,𝑚⊥𝑛,则𝑛//𝛼C.若𝑚⊥𝛼,𝑛⊂𝛼,则𝑚⊥𝑛D.若𝑚⊥𝛼,𝑚⊥𝑛,则𝑛⊥𝛼10.将函数𝑦=cos(2𝑥+𝜑)(−𝜋2𝜑𝜋2)的图象向右平移3𝜋8个单位长度单位后得函数𝑓(𝑥)图象,若𝑓(𝑥)为偶函数,则()第2页,共13页A.𝑓(𝑥)在区间[−𝜋4,𝜋2]上单调递减B.𝑓(𝑥)在区间[−𝜋4,𝜋2]匀上单调递增C.𝑓(𝑥)在区间[𝜋4,𝜋2]上单调递减D.𝑓(𝑥)在区间[𝜋4,𝜋2]上单调递增11.已知直线𝑥+𝑎𝑦−1=0是圆C:𝑥2+𝑦2−4𝑥−2𝑦+1=0的对称轴,过点𝐴(−4,𝑎)作圆C的一条切线,切点为B,则|𝐴𝐵|=()A.2B.6C.4√2D.2√1012.函数𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑎𝑥2−(3+2𝑎)𝑥+1在𝑥=1处取得极大值,则实数a的取值范围为()A.(−∞,−3)B.(−3,+∞)C.(−∞,3)D.(3,+∞)二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测,若样本中有50件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为______件.14.已知△𝐴𝐵𝐶内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(𝑎+𝑏)(𝑠𝑖𝑛𝐴−𝑠𝑖𝑛𝐵)=(𝑐+𝑏)𝑠𝑖𝑛𝐶,则𝐴=______.15.如果双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)的离心率是椭圆D:𝑥24+𝑦23=1离心率的倒数,那么C的渐近线方程为______16.定义在R上的奇函数𝑓(𝑥)又是周期为4的周期函数,已知在区间[−2,0)∪(0,2]上,𝑓(𝑥)={𝑎𝑥+𝑏,−2≤𝑥0𝑎𝑥−1,0𝑥≤2,则𝑓(2020)=______;𝑏=______.三、解答题(本大题共7小题,共82.0分)17.如图,四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中,底面ABCD为矩形,𝑃𝐴⊥平面ABCD,点E在PD上.(1)若E为PD的中点,证明:𝑃𝐵//平面AEC;(2)若𝑃𝐴=1,𝑃𝐷═2𝐴𝐵=32,三棱锥𝐸−𝐴𝐶𝐷的体积为√38,证明:E为PD的中点.第3页,共13页18.2014年,中央和国务院办公厅印发《关于引导农村土地经营权有序流转发展农业适度规模经营的意见》,要求大力发展土地流转和适度规模经营.某种粮大户2015年开始承包了一地区的大规模水田种植水稻,购买了一种水稻收割机若干台,这种水稻收割机随着使用年限的增加,每年的养护费也相应增加,这批水稻收割机自购买使用之日起,5年以来平均每台水稻收割机的养护费用数据统计如下:年份20152016201720182019年份代码x12345养护费用𝑦(万元)1.11.622.52.8(1)从这5年中随机抽取2年,求平均每台水稻收割机每年的养护费用至少有1年多于2万元的概率;(2)求y关于x的线性回归方程;(3)若该水稻收割机的购买价格是每台16万元,由(2)中的回归方程,从每台水稻收割机的年平均费用角度,你认为一台该水稻收割机是使用满5年就淘汰,还是继续使用到满8年再淘汰?附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:𝑏=∑𝑥𝑖𝑛𝑖=1𝑦𝑖−𝑛⋅𝑥−⋅𝑦−∑𝑥𝑖2𝑛𝑖=1−𝑛⋅𝑥−2,𝑎̂=𝑦−−𝑏̂𝑥−.19.设{𝑎𝑛}是正数组成的数列,其前n项和为𝑆𝑛,并且对于所有的自然数n,𝑎𝑛与2的等差中项等于𝑆𝑛与2的等比中项.(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式;(2)设𝑏𝑛=8𝑎𝑛𝑎𝑛+1,数列{𝑏𝑛}的前n项和为𝑇𝑛,证明:23≤𝑇𝑛1.20.已知函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥−𝑎𝑥,𝑎0.(1)若𝑎=12,求函数𝑔(𝑥)=𝑥𝑓(𝑥)的单调区间;(2)证明:𝑎𝑓(𝑥)+2𝑎≤1.第4页,共13页21.经过抛物线C:𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)焦点F的直线与C相交于点𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2).(1)证明:𝑦1𝑦2=−𝑝2,𝑥1𝑥2=𝑝24(2)经过点A,B分别作C的切线,两条切线相交于点M,证明:(𝑖)𝑀𝐴⊥𝑀𝐵;(𝑖𝑖)点M在C的准线上.22.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为{𝑥=𝑚−√2𝑡𝑦=√5+√2𝑡(其中t为参数,𝑚0).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为𝜌=2√5𝑠𝑖𝑛𝜃,l被C截得的弦长为√2.(1)求实数m的值;(2)设l与C交于点A,B,若点P的坐标为(𝑚,√5),求|𝑃𝐴|+|𝑃𝐵|的值.23.设函数𝑓(𝑥)=13|𝑥−𝑎|.(1)若𝑎=2,解关于x的|𝑥−13|+𝑓(𝑥)≥1不等式;(2)当13≤𝑥≤12时,|𝑥−13|+𝑓(𝑥)≤𝑥,求实数a的取值范围.第5页,共13页答案和解析1.【答案】B【解析】解:∁𝑈𝐴={1,4},∁𝑈𝐵={0,1};∴(∁𝑈𝐴)∩(∁𝑈𝐵)={1}.故选:B.进行交集、补集的运算即可.考查列举法表示集合的概念,以及补集、交集的运算.2.【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识点是充分、必要条件的判断,复数的运算,属于简单题.利用复数的运算性质,分别判断“𝑎=𝑏=1”⇒“(𝑎+𝑏𝑖)2=2𝑖”与“(𝑎+𝑏𝑖)2=2𝑖”⇒“𝑎=𝑏=1”的真假,进而根据充分条件和必要条件的判断得到结论.【解答】解:当“𝑎=𝑏=1”时,“(𝑎+𝑏𝑖)2=(1+𝑖)2=2𝑖”成立,故“𝑎=𝑏=1”是“(𝑎+𝑏𝑖)2=2𝑖”的充分条件;当“(𝑎+𝑏𝑖)2=𝑎2−𝑏2+2𝑎𝑏𝑖=2𝑖”时,“𝑎=𝑏=1”或“𝑎=𝑏=−1”,故“𝑎=𝑏=1”不是“(𝑎+𝑏𝑖)2=2𝑖”的必要条件;综上所述,“𝑎=𝑏=1”是“(𝑎+𝑏𝑖)2=2𝑖”的充分不必要条件.故选A.3.【答案】D【解析】解:由平行四边形的性质可得𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(1,3)−(2,4)=(−1,−1).故选D.利用平行四边形的性质、向量相等、向量的三角形法则和运算即可得出.熟练掌握平行四边形的性质、向量相等、向量的三角形法则和运算是解题的关键.4.【答案】B【解析】解:根据题意可知,从中摸出1个球,摸出黑球与摸出红色和白色是互斥事件,故其概率𝑃=1−0.3−0.2=0.5.故选:B.由题意可知,从中摸出一个小球是黑色和是红或白色是互斥事件,根据互斥事件的概率公式即可求解本题主要考查了互斥事件的概率求解,属于基础试题.5.【答案】B【解析】解:∵𝑐=log23log2𝑒=𝑎1𝑙𝑛2=𝑏.∴𝑏𝑎𝑐.故选:B.利用指数对数函数的单调性即可得出.本题考查了指数对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.6.【答案】A【解析】解:由三视图知,几何体是一个三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1,该三棱柱的底面是边长为3的正三角形ABC,侧棱长是2,第6页,共13页三棱柱的两个底面的中心连接的线段MN的中点O与三棱柱的顶点A的连线AO就是外接球的半径,∵△𝐴𝐵𝐶是边长为3的等边三角形,𝑀𝑁=2,∴𝐴𝑀=23⋅(√32⋅3)=√3,𝑂𝑀=1,∴这个球的半径𝑟=√3+1=2,∴这个球的表面积𝑆=4𝜋×22=16𝜋,故选:A.几何体是一个三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1,该三棱柱的底面是边长为3的正三角形ABC,侧棱长是2,求出球的半径,可得这个球的表面积.本题主要考查三视图,空间结合体的结构,球的表面积,属于中档题.7.【答案】A【解析】解:∵已知𝑐𝑜𝑠𝛼=−45,𝛼∈(−𝜋,0),∴𝛼∈(−𝜋,−𝜋2),∴𝑠𝑖𝑛𝛼=−√1−cos2𝛼=−35,𝑡𝑎𝑛𝛼=𝑠𝑖𝑛𝛼cos𝛼=34,则𝑡𝑎𝑛2𝛼=2𝑡𝑎𝑛𝛼1−tan2𝛼=321−916=247,故选:A.由题意利用同角三角函数的基本关系,求出𝑡𝑎𝑛𝛼的值,再利用二倍角公式的正切公式,求得𝑡𝑎𝑛2𝛼的值.本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角公式的正切公式应用,属于基础题.8.【答案】A【解析】解:该图的五进制数为324,根据进位制的定义将五进制转换成十进制计算可得:324(5)=4×50+2×51+3×52=89,故选:A.利用进位制的定义可得答案,本题考查了进位制的计算,是基础题.9.【答案】C【解析】解:对于选项A,若𝑚//𝛼,𝑛//𝛼,则m与n可能相交、平行或者异面;故A错误;对于B,若𝑚⊥𝛼,𝑚⊥𝑛,则n与𝛼可能平行或者n在𝛼内;故B错误;对于C,若𝑚⊥𝛼,𝑛⊂𝛼,根据线面垂直的性质可得𝑚⊥𝑛;故C正确;对于D,若𝑚//𝛼,𝑚⊥𝑛,则𝑛⊥𝛼或者𝑛⊂𝛼;故D错误;故选:C.利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析解答.本题考查了线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理的运用;熟练掌握定理是关键.10.【答案】D【解析】解:将函数𝑦=cos(2𝑥+𝜑)(−𝜋2𝜑𝜋2)的图象向右平移3𝜋8个单位长度单位后得函数𝑓(𝑥)图象,则𝑓(𝑥)=cos[2(𝑥−3𝜋8)+𝜑]=cos(2𝑥+𝜑−3𝜋4),若𝑓(𝑥)为偶函数,则𝜑−3𝜋4=𝑘𝜋,𝑘∈𝑍,第7页,共13页即𝜑=3𝜋4+𝑘𝜋,𝑘∈𝑍,∵−𝜋2𝜑𝜋2,∴当𝑘=−1时,𝜑=−𝜋4,即𝑓(𝑥)=cos(2𝑥−𝜋4−3𝜋4)=cos(2𝑥−𝜋)=−𝑐𝑜𝑠2𝑥,当−𝜋4≤𝑥≤𝜋2时,−𝜋2≤2𝑥≤𝜋,此