导数及其应用复习

导数导数概念导数运算导数应用函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线斜率基本初等函数求导导数的四则运算法则简单复合函数的导数函数单调性研究函数的极值、最值曲线的切线变速运动的速度最优化问题第一章导数及其应用复习本章知识结构1.函数的平均变化率yx121)()fxxx2f(x函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2平均变化率为:(2.函数的瞬时变化率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y'()lim()fxfxx0x121)()limfxxx2f(x21xx()limfxx0x导数分母是分子中两个自变量的差.12212121-21212121,2-21-)21(:0000k000k000x0limlimlimxfkxfkxfkxfkxfkxkxfkxfxf解_________21,210000limkxfkxfxfk求已知例可将分母的系数直接乘过去000k0:12,_____2limfxkfxfxk练习若则_______2,420000limhhxfxfxfh则若20000limkxfkxfxfk-1240000limhhxfxfxfh3.导数的概念：1．导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给自变量x以增量△x，函数y相应有增量△y=f(x0+△x)－f(x0)，若极限存在，则此极限称为f(x)在点x=x0处的导数，记为f/(x0)，或y|0000()()limlimxxfxxfxyxx0xx2．导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数f/(x0)就是曲线在(x0，f(x0))处的切线的斜率，所以曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为yy0=f/(x0)·(x－x0)．3．导数的物理意义：物体作直线运动时，路程s关于时间t的函数为：s=s(t)，那么瞬时速度v就是路程s对于时间t的导数，即v(t)=s/(t).加速度a=v/(t),加速度a=s//(t)例2．已经曲线C：y=x3－x+2和点A(1,2)求在点A处的切线方程？解：f/(x)=3x2－1，∴k=f/(1)=2∴所求的切线方程为：y－2=2(x－1),即y=2x变式：求过点A的切线方程？例2．已经曲线C：y=x3－x+2和点(1,2),求在点A处的切线方程？解：设切点为P（x0，x03－x0+2），∴切线方程为y－(x03－x0+2)=(3x02－1)(x－x0)21又∵切线过点A(1,2)∴2－(x03－x0+2)=(3x02－1)(1－x0)化简得(x0－1)2(2x0+1)=0，2114①当x0=1时，所求的切线方程为：y－2=2(x－1),即y=2x解得x0=1或x0=－k=f/(x0)=3x02－1，②当x0=－时，所求的切线方程为：y－2=－(x－1),即x+4y－9=0点评:①在A点的切线,A为切点②过A点的切线,A可能是切点也可能不是切点,求过A点的切线时,先设出切点,再利用导数求切线变式:求曲线3232fxxxx过原点的切线方程.所求曲线的切线方程为y=2x与xy4123023263230,026323263,23,0030300020020300020020300200020300xxxxxxxxxxxxxxxxxyxxxfkxxxxA或过切线为设切点为（4）对数函数的导数:.1)(ln)1(xx.ln1)(log)2(axxa（5）指数函数的导数:.)()1(xxee).1,0(ln)()2(aaaaaxxxxcos)(sin1）（（3）三角函数：xxsin)(cos2）（（1）常函数：(C)/0,(c为常数)；（2）幂函数：(xn)/nxn14公式①.基本初等函数的导数公式乘以lna(3)(tanx)/=?_________)(________,)3(_______)(_______)(:3xxaxax例与易混的是2111xx122xx常用的还有:axlnaaxa-13xln33x2②.导数的运算法则（1）函数的和或差的导数(u±v)/＝u/±v/.（3）函数的商的导数（）/=(v≠0)。uv2''uvuvv（2）函数的积的导数(uv)/＝u/v+uv/.xgvxfu,特例:(Cu)/=Cu/(C为常数)1)如果恒有f′(x)0，那么y=f（x)在这个区间（a,b)内单调递增；2)如果恒有f′(x)0，那么y=f（x）在这个区间(a,b)内单调递减。一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内5.导数与单调性aby=f(x)xoyf'(x)0y=f(x)xoyabf'(x)0如果在某个区间内恒有,则为常函数.0)(xf)(xf返回极小值点、极大值点统称极值点，极大值和极小值统称为极值.6.极值点与极值值叫极值点叫极则右侧的左侧值叫极值点叫极则右侧的左侧若点在函数__,__,0,0.__,__,0,0,0,'''''afaxfxfaafaxfxfaxfaxxfy注意:1,极值点指x的值.极值指y的值..,0,.20'00'0异号两侧满足是极值点xfxxfx.____________0'.300条件为极值点的是xxf4.极大值不一定大于极小值.大小大小必要不充分xy0abx1x2x3x4gg1．存在性定理：在闭区间[a，b]上连续函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．2．求最大（小）值的方法：函数f(x)在闭区间[a，b]上最值求法：①求出f(x)在(a，b)内的极值；②将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中较大的一个是最大值，较小的一个是最小值.7.函数的最大（小）值与导数xy0abx1x2x3x4gg最值与极值的区别与联系1.最值是整个定义域内最大(小)值,而极值只是在极值点附近最大(小)的值.2.极值可以有多个,最值若有则只能有一个.3.极值只能在区间内取得,而最值可以在区间端点取得.4.有极值未必有最值,有最值也未必有极值.5.极值有可能是最值,但最值只要不在端点处必定是极值.8.复合函数的导数:复合函数y=f(g(x))的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间关系为:;xuxuyy例如:求y=(2x+3)2的导数y=u2,u=2x+3y/x=y/u.u/x=2u.2=2(2x+3)=4x+6___________1,1,8822.12处的切线方程是在点则曲线上满足在已知函数fxfyxxxfxfRxf复合函数求导y=2x-1例3(05山东19)已知1x是函数32()3(1)1fxmxmxnx的一个极值点，其中,,0mnRm，（I）求m与n的关系表达式；（II）求()fx的单调区间；解:(I)2()36(1)fxmxmxn因为1x是函数()fx的一个极值点,所以(1)0f,即36(1)0mmn所以36nm.（II）由（I）知，2()36(1)36fxmxmxm=23(1)1mxxm当0m时,有211m,当x变化时,()fx与()fx的变化如下表：x2,1m21m21,1m11,()fx00()fx极小值极大值故由上表知,当0m时,()fx在2,1m单调递减,在21,1m单调递增,在(1,)上单调递减.32:(2005)391.2-2,220,fxxxxafxfx变式北京已知函数求的单调递减区间若在区间上的最大值为求它在该区间上的最小值7-2,3,1,--1最小值是减区间是【函数的极值和最值问题】例6(05北京15)已知函数3239fxxxxa.（Ⅰ）求fx的单调递减区间；解：（Ⅰ）2369fxxx.令0fx,解得1x或3x,所以函数fx的单调递减区间为,1,3,．(Ⅱ)当2,2x时x22,111,22fx0fx2a极小22a因为22fa,222fa,所以22ff.例6已知函数3239fxxxxa.（Ⅱ）若fx在区间2,2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值．2220a,解得2a．故32392fxxxx,因此113927f,即函数fx在区间2,2上的最小值为7．例7（06北京16）已知函数32()fxaxbxcx在点0x处取得极大值5,其导函数()yfx的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示.求:（Ⅰ）0x的值;（Ⅱ）,,abc的值.21Oyx解法一:（Ⅰ）由图象可知,在,1上0fx,在1,2上0fx,在2,上0fx,故fx在1x处取得极大值,所以01x.（Ⅱ）232fxaxbxc,由10,20,15fff,得320,1240,5.abcabcabc解得2,9,12abc.解法二:（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）设21232fxmxxmxmxm,又232fxaxbxc,所以3,,232mabmcm.323232mfxxxmx,由15f,即32532mm,得6m.所以2,9,12abc.说明:1.在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在函数的定义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.3.注意在某一区间内f/(x)()0只是函数f(x)在该区间上为增(减)函数的充分不必要条件.2.若函数f(x)在开区间(a,b)上具有单调性.则当函数f(x)时在闭区间[a,b]上连续,那么单调区间可以扩大到闭区间[a,b]上.