求函数值域(最值)的方法大全

一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.常见函数的值域：一次函数0ykxbk的值域为R.二次函数20yaxbxca，当0a时的值域为24,4acba，当0a时的值域为24,4acba.，反比例函数0kykx的值域为0yRy.指数函数01xyaaa且的值域为0yy.对数函数log01ayxaa且的值域为R.正，余弦函数的值域为1,1，正，余切函数的值域为R.二、求函数值域（最值）的常用方法1.直接观察法适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域(最值)的简单函数例1、求函数y=211x的值域解：22111,011xx显然函数的值域是：0,1例2、求函数y=2－x的值域。解：x≥0－x≤02－x≤2故函数的值域是：[-∞，2]2、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。对于形如20yaxbxca或20Fxafxbfxca类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例3、求函数y=2x-2x+5，x[-1，2]的值域。解：将函数配方得：y=（x-1）2+4，x[-1，2]，由二次函数的性质可知：当x=1时，ymin=4当x=-1，时maxy=8故函数的值域是：[4，8]例4、求函数的值域：265yxx解：设2650xx，则原函数可化为：y.又因为2265344xxx，所以04，故，0,2，所以，265yxx的值域为0,2.3、判别式法2适用类型：分子.分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为0)()()(2yCxyBxyA的形式，再利用判别式加以判断。例5、求函数的值域22221xxyxx解：210xx恒成立，函数的定义域为R.由22221xxyxx得22120yxyxy。①当20y即2y时，300,0xxR；②当20y即2y时，xR时，方程22120yxyxy恒有实根.221420yy15y且2y.原函数的值域为1,5.例6、求函数y=x+)2(xx的值域。解：两边平方整理得：22x-2（y+1）x+y2=0（1）xR，△=4（y+1）2-8y≥0解得：1-2≤y≤1+2但此时的函数的定义域由x（2-x）≥0，得：0≤x≤2。由△≥0，仅保证关于x的方程：22x-2（y+1）x+y2=0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△≥0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[21，23]。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。0≤x≤2，y=x+)2(xx≥0，ymin=0，y=1+2代入方程（1），解得：1x=222224[0，2]，即当1x=222224时，原函数的值域为：[0，1+2]。注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4、反函数法适用类型：分子.分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型),也可用于其它易反解出自变量的函数类型。例7、求函数12xxy的值域。分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x,从而便于求出反函数。12xxy反解得yyx2即xxy2知识回顾：反函数的定义域即是原函数的值域。故函数的值域为：),2()2,(y。5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。适用类型：一般用于三角函数型，即利用]1,1[cos],1,1[sinxx等。例8、求函数y=11xxee的值域。解：由原函数式可得：xe=11yyxe＞0，11yy＞0解得：-1＜y＜1。故所求函数的值域为(-1,1).例9、求函数y=3sincosxx的值域。解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y可化为：12ysinx（x+β）=3y即sinx（x+β）=132yy∵x∈R，∴sinx（x+β）∈[-1，1]。即-1≤132yy≤1解得：-42≤y≤42故函数的值域为[-42，42]6、函数单调性法适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值。（原理：同增异减）例10、求函数)4(log221xxy的值域。分析与解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：)0)((4)(2xfxxxf配方得：)4,0)(4)2()(2（所以xfxxf由复合函数的单调性（同增异减）知：),2[y。例11、求函数y=25xlog31x（2≤x≤10）的值域解：令y1=25x，2y=log31x，则y1，2y在[2，10]上都是增函数。所以y=y1+2y在[2，10]上是增函数。当x=2时，ymin=32+log312=81，当x=10时，maxy=52+log39=33。故所求函数的值域为：[81，33]。例12、求函数y=1x-1x的值域。解：原函数可化为：y=112xx令y1=1x，2y=1x，显然y1，2y在[1，+∞）上为无上界的增函数，所以y=y1+2y在[1，+∞）上也为无上界的增函数。所以当x=1时，y=y1+2y有最小值2，原函数有最大值22=2。显然y＞0，故原函数的值域为(0,2]。7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。适用类型:无理函数、三角函数（用三角代换）等。例13、求函数y=x+1x的值域。解：令x-1=t，（t≥0）则x=2t+1∵y=2t+t+1=2)21(t+43，又t≥0，由二次函数的性质可知当t=0时，ymin=1，当t→0时，y→+∞。故函数的值域为[1，+∞）。例14、求函数y=x+2+2)1(1x的值域解：因1-2)1(x≥0，即2)1(x≤1故可令x+1=cosβ，β∈[0，∏]。∴y=cosβ+1+B2cos1=sinβ+cosβ+1=2sin（β+∏/4）+1∵0≤β≤∏，0≤β+∏/4≤5∏/4∴-22≤sin（β+∏/4）≤1∴0≤2sin（β+∏/4）+1≤1+2。故所求函数的值域为[0，1+2]。例15、求函数y=12243xxxx的值域解：原函数可变形为：y=-21212xx2211xx可令x=tgβ，则有212xx=sin2β，2211xx=cos2β∴y=-21sin2βcos2β=-41sin4β当β=k∏/2-∏/8时，maxy=41。当β=k∏/2+∏/8时，ymin=-41而此时tgβ有意义。故所求函数的值域为[-41，41]。例16、求函数y=（sinx+1）（cosx+1），x∈[-∏/12∏/2]的值域。解：y=（sinx+1）（cosx+1）=sinxcosx+sinx+cosx+1令sinx+cosx=t，则sinxcosx=21（2t-1）y=21（2t-1）+t+1=212)1(t由t=sinx+cosx=2sin（x+∏/4）且x∈[-∏/12，∏/2]可得：22≤t≤2∴当t=2时，maxy=23+2，当t=22时，y=43+22故所求函数的值域为[43+22，23+2]。例17、求函数y=x+4+25x的值域解：由5-x≥0，可得∣x∣≤5故可令x=5cosβ，β∈[0，∏]y=5cosβ+4+5sinβ=10sin（β+∏/4）+4∵0≤β≤∏，∴∏/4≤β+∏/4≤5∏/4当β=∏/4时，maxy=4+10，当β=∏时，ymin=4-5。故所求函数的值域为：[4-5，4+10]。8数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。适用类型:函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.例18、求函数y=)2(2x+)8(2x的值域。解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。由上图可知：当点P在线段AB上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10故所求函数的值域为：[10，+∞）例19、求函数y=1362xx+542xx的值域解：原函数可变形为：y=)20()3(22x+)10()2(22x上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，ymin=∣AB∣=)12()23(22=43，故所求函数的值域为[43，+∞）。例20、求函数y=1362xx-542xx的值域解：将函数变形为：y=)20()3(22x-)10()2(22x上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B（-2，1）到点P（x，0）的距离之差。即：y=∣AP∣-∣BP∣由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P¹，则构成△ABP¹，根据三角形两边之差小于第三边，有∣∣AP¹∣-∣BP¹∣∣＜∣AB∣=)12()23(22=26即：-26＜y＜26（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣=26。综上所述，可知函数的值域为：（-26，-26]。注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A，B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A，B在x轴的同侧。如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），（-2，-1），在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为：（3，2），（2，-1），在x轴的同侧。例21、求函数xxycos2sin3的值域.分析与解:看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式1212xxyyk,将原函数视为定点(2,3)到动点)sin,(cosxx的斜率,又知动点)sin,(cosxx满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题,作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得,从而解得:]3326,3326[y9、不等式法适用类型：能利用几个重要不等式及推论来求得最值。（如：abbaabba2,222）其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。xB例22、求函y=（sinx+1/sinx）+（cosx+1/cosx）的值域解：原函数变形为：y=（xsin2+xcos2）+1/xsin2+1/xcos2=1+xcsc2+xsec2=3+xtg2+xctg2≥3223xxtgctg+2=5当且仅当tgx=ctgx，即当x=k∏±∏/4时（k∈z），等号成立。故原函数的值域为：[5，+∞）。例23、求函数y=2sinxsin2x的值域解：y=2sinxsinxcosx=4xsin2cosxy2=16xsin4xcos2=8xsin2xsin2（2-2xsin2）≤8（xsin2+xsin2+2-xsin2）=8[（xsin2+xsin2+2-xsin2）/3]3=2764当且当xsin2=2-2xsin2，即当xsin2=时，等号成立。由y2≤2764，可得：-938≤y≤938故原函数的值域为：[-938，938）