搜索
三角形的三条重要线段4.1认识三角形(3)复习引入1.什么叫线段的中点？2.角平分线是怎样定义的？在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线(median).三角形的“中线”BE=ECBACEA如图，AE是BC边上的中线.(1)在纸上画出一个锐角三角形，并画出它的三条中线.议一议它们有怎样的位置关系?与同伴进行交流.(2)钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗?折一折，画一画，并与同伴进行交流·三角形的三条中线的性质三角形的三条中线交于一点.重心议一议在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗?BAC注意!用量角器画最简便。用圆规也能作你能通过折纸的方法得到它吗?在一张纸上画出一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合。折痕AD即为三角形的∠A的角平分线。ABCAD三角形的角平分线以前所学的“角平分线”是一条射线，BAC“三角形的角平分线”还是射线吗?在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。“三角形的角平分线”是一条线段。注意!D∠1=∠212三角形的角平分线的性质每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个。(1)你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗?(2)你能用折纸的办法得到它们吗?做一做(3)在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系?将你的结果与同伴进行交流.三角形的三条角平分线交于同一点.回顾思考你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗?012345012345画法靠、移、012345012345012345012345画。过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗?BAC三角形的高A从三角形的一个顶点BC向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足D之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。如图,线段AD是BC边上的高.任意画一个锐角△ABC,和垂足的字母.ABC请你画出BC边上的高.注意!标明垂直的记号D锐角三角形的三条高每人准备一个锐角三角形纸片。(1)你能画出这个三角形的三条高吗?做一做(3)这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流.锐角三角形的三条高交于同一点.(2)你能用折纸的办法得到它们吗?O锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?使折痕过顶点，顶点的对边边缘重合锐角三角形的三条高都在三角形的内部。直角三角形的三条高在纸上画出一个直角三角形。议一议将你的结果与同伴进行交流.ABC(1)画出直角三角形的三条高,直角边BC边上的高是;AB边直角边AB边上的高是;BC边它们有怎样的位置关系？直角三角形的三条高交于直角顶点.D折、画钝角三角形的三条高在纸上画出一个钝角三角形。议一议(2)你能折出钝角三角形的三条高吗？需要把CB延长。ACBBABCDF为了便于折出AB边上的高，需要把AB延长。ABCDFABCDFE为了便于折出BC边上的高，你能画出钝角三角形的三条高吗？ABCBC边上的高是在三角形的内部还是外部?外部DAB边上的高呢？EF钝角三角形的三条高ABCDEF议一议ABCDF(3)钝角三角形的三条高交于一点吗？钝角三角形的三条高不相交于一点它们所在的直线交于一点吗？将你的结果与同伴进行交流.钝角三角形的三条高所在直线交于一点OE例1.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长．解：∵AD是BC边上的中线，∴D为BC的中点，即CD=BD．∵△ADC的周长﹣△ABD的周长=5cm．∴AC﹣AB=5cm．又∵AB+AC=11cm，∴AC=8cm．即AC的长度是8cm．知识点1三角形的中线类比精练.1.如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是（）A．2B．3C．6D．不能确定解：∵BD是△ABC的中线，∴AD=CD，∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）=AB﹣BC=5﹣3=2．故选A．A例2．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°．求：（1）∠BAE的度数；（2）∠DAE的度数；解：（1）∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣70°﹣30°=80°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠BAC=40°；知识点2三角形的角平分线（2）∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∴∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°，∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=40°﹣20°=20°；类比精练.2.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°，∠2=20°，则∠B=．解：∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠EAD+∠2，∴∠EAD=∠1﹣∠2=30°﹣20°=10°，Rt△ABD中，∠B=90°﹣∠BAD=90°﹣30°﹣10°=50°．故答案为50°．50°例3．如图所示：在△AEC中，EF⊥BC，AB⊥BC，AD⊥DC，AE边上的高是．解：在△AEC中，AE边上的高是CD．故答案为CD．知识点3三角形的高CD类比精练.3.如图，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角形有个．解：∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个．故答案为：66BD∠1=∠212ACBE=ECBACEA在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。三角形的三条中线交于一点.三角形的三条角平分线交于一点.在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线(median).课堂小结小结从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。三角形的三条高的特性：高之间是否相交高所在的直线是否相交高在三角形内部的数量钝角三角形直角三角形锐角三角形311相交相交不相交相交相交相交三角形的三条高所在直线交于一点三条高所在直线的交点的位置拓展练习2、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形B3、三角形的三条高相交于一点，此一点定在（）A.三角形的内部B.三角形的外部C.三角形的一条边上D.不能确定D1、下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC的高()ADCBABCDABCDABCD(A)(B)(C)(D)D4．如图，如果∠1=∠2=∠3，则AM为△____的角平分线，AN为△的角平分线．5．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BE是AC边上的中线，如果AC=10cm，则AE=cm，如果∠ABD=30°，则∠ABC=．ABNAMC560°6.如图，在△ABC中，BP、CP分别是∠B、∠C的平分线，求证：∠BPC=90˚+∠A。12BACP证明：∵BP、CP分别是∠B、∠C的平分线(已知)∴∠1=112∠ABC∠2=212∠ACB∵∠BPC+∠1+∠2=180˚∠A+∠ABC+∠ACB=180˚∴∠BPC=180˚−(∠1+∠2)=180˚−(+)21∠ABC21∠ACB=180˚−(∠ABC+∠ACB)21=180˚−(180˚−∠A)21=90˚+∠A.21